一道全國高中聯(lián)賽題的解法賞析及溯源

王東海

1 真題呈現(xiàn)

（2022年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第10題） 給定正實數(shù)mm≥3.設(shè)正項等差數(shù)列an與正項等比數(shù)列bn滿足：an的首項等于bn的公比，bn的首項等于an的公差，且am=bm，求am的最小值，并確定當(dāng)am取最小值時a1與b1的比值.

分析：觀察此題，應(yīng)首先用盡量少的變量表示am，得到am的函數(shù)式，然后考慮使用導(dǎo)數(shù)法或均值不等式來求解am 最值.

2 解法探究

探求思路一 設(shè)出an和bn的公差和公比，用這兩個變量去表示am.

4 結(jié)語

本題題目新穎，將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、均值不等式相結(jié)合，在知識的交匯處命題.處理時切入點較多，本文呈現(xiàn)了幾種常見的解法，事實上還有其它解法，囿于篇幅，不一一介紹，希望能拋轉(zhuǎn)引玉，同廣大讀者共同探討解法.