例探圓錐曲線問題中的易錯點

孫微微

圓錐曲線是高考中重點考查的內容，主要重點考查圓錐曲線的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系.本文就針對圓錐曲線中的幾類易錯點進行舉例分析.

易錯點1：忽視圓錐曲線標準方程要焦點位置的討論

例1 已知雙曲線mx2+ny2=1的漸近線方程為y=±3x，則該雙曲線的離心率為（）.

A．2或23/3 B．6或23/3

C．2或3 D．2或6

解析：當雙曲線的焦點在x軸時，b/a=3，所以e=c/a=c2/a2=a2+b2/a2=1+b2/a2=2.

當雙曲線的焦點在y軸時，a/b=3，所以e=c/a=1+b2/a2=23/3.故選A.

易錯警示：雙曲線方程因焦點位置不同導致對應的漸近線方程也不一樣，因此要討論焦點的位置.

知識點撥：當雙曲線的焦點在x軸時，標準方程為x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），對應的漸近線方程為y=±b/ax；當雙曲線的焦點在x軸時，標準方程為y2/a2－x2/b2=1（a>0，b>0），對應的漸近線方程為y=±a/bx.

易錯點2：忽視橢圓中a、b、c的大小關系

例2 已知直線y=kx+2與橢圓x2/9+y2/m=1總有公共點，則m的取值范圍是（）.

A．m≥4B．0

C．4≤m<9D．m≥4且m≠9

解析：因為直線y=kx+2恒過（0，2）點，要使直線y=kx+2與橢圓x2/9+y2/m=1恒有公共點，只需點（0，2）在橢圓上或橢圓內，所以02/9+22/m≤1，即m≥4.又m≠9，所以m≥4且m≠9.故選D.

易錯警示：本題容易錯選A，方程x2/a2+y2/b2=1中a=b表示圓，不是橢圓.

知識點撥：方程x2/a2+y2/b2=1中，若a>b>0，則表示橢圓；若a=b，則表示圓.

易錯點3：忽視檢驗結論

例3 已知Rt△ABC的斜邊為AB，點A（－2，0），B（4，0），則點C滿足的方程為．

解析：設C（x，y），由于直角三角形斜邊上的中點為M（1，0），如圖1所示，則半徑為3，即得圓的方程為（x－1）2+y2=9.但是頂點C不能在直線AB上，因此y≠0.因此C點滿足的方程為（x－1）2+y2=9（y≠0）．

易錯警示：忽視檢驗結論致錯.點C是直角三角形的頂點，即C點不能在直線AB上，所以y≠0．

知識點撥：畫圖，通過數形結合找到解題方法及限制條件.

易錯點4：忽視隱含條件.

例4 已知2x2+y2=6x，則x2+y2的取值范圍為．

解析：由已知得y2=6x－2x2，因y2=6x－2x2≥0，故0≤x≤3，故x2+y2=－x2+6x=－（x－3）2+9.當x=0時，x2+y2有最小值為0；當x=3時，x2+y2有最大值9，故x2+y2的取值范圍是［0，9］.

易錯警示：題中條件包含兩個意思：一是y2=6x－2x2，即y2可以用x的代數式表示，二是y2=6x－2x2≥0，即0≤x≤3，這個條件往往被忽略，產生錯解.

知識點撥：利用函數與方程的思想是解決本題的突破口.

易錯點5：忽視Δ>0這一前提條件

例5 已知橢圓x2/4+y2=1，過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

解析：設直線l的方程為y=kx+2（k≠0），設A（x1，y1），B（x1，y1），把直線l的方程代入橢圓方程得（4k2+1）x2+16kx+12=0，△=16（4k2－3）>0，得k<－3/2或k>3/2.x1+x2=－16k/4k2+1，x1x2=12/4k2+1，因為∠AOB為銳角，所以OA·OB=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=4（4－k2）/1+4k2>0，解得－2

綜上，k的取值范圍為（－2，－3/2）∪（3/2，2）.

易錯警示：在解決直線與圓錐曲線相交且有交點時，需考慮一元二次方程根的判別式大于0，否則容易出錯.

知識點撥：運用“一元二次方程根的判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有交點的重要方法.