對一道橢圓聯考題的解法與延伸探究

朱彬　胡曉靜

1 試題呈現

題目 （2023屆江西省“新八校”高三上學期第一次聯考理數第20題） 已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）經過點A（1，[KF（]2[KF）]/2），點F（1，0）為橢圓C的右焦點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F（1，0）作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線l1、l2，直線l1、l2與橢圓相交于四點為A1、A2、B1、B2，求四邊形A1A2B1B2的面積S的最小值.

2 解法探究

首先看第（1）小題的解法.利用待定系數法，設橢圓C的焦距為2c（0＜c＜a），則1/a2+2/4b2=1，c=1，b2=a2-c2，聯立上式解得a2=2，b2=1，故橢圓的方程為x2/2+y2=1.

結語：我們平時的解題過程中，要適時地將問題推廣延伸為一般性的結論用于解決相關問題.久而久之，就能逐步培養學生靈活多變的思維品質，培養其探索精神和創新意識，從而真正把對能力的培養落到實處，提高其數學核心素養.