“小先生制”在高中數學課堂中的應用初探

吳靜

陶行知先生倡導的“小先生制”指引人人都要將自己認識的字和學到的文化隨時隨地教給別人；愛德加·戴爾的金子談學習理論認為“教別人”或者“馬上應用”可以記住90%的學習內容.可見參與式學習是最有效果的.加入“小先生”的課堂，學生自幼即教人，為服務社會的實際工作，有利于培養學生的社會適應性；加入“小先生”的課堂，學生充分進行數學語言、數學思維及膽量的訓練，促進學生能夠大膽地將自己的見解通過語言表達出來，進而形成自己的獨立見解；加入“小先生”的課堂，優化了教學環節，為學生創設一個能夠充分表現自我的氛圍，為每個學生個體提供更多的機遇，促進學生綜合素質的全面發展，激發學生學習數學的興趣，活躍了數學課堂.本文將結合在三個日常教學情境中實施的“小先生制”案例，談談如何在常規課堂中應用“小先生制”，進而達到數學教育像空氣一樣普遍.

一、各抒己見百思齊放

“仁者見仁，智者見智”解決數學問題時常有很多種解法，在處理一些多解法問題時可以請學生上臺交流解決方法，為何選此法，能否推廣一般，引導學生對比方法，教會學生從不同的角度分析問題，加深理解，發展思維，提升能力.此種情境下，會解題的學生即為小先生，他們站上講臺，表達自己的所思所想.

案例1如圖1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=5，E是DC的中點，P是線段BC上的動點，則EP·BP的最小值是．

師：數量積的解法我們常用的是四種：數量積公式法，投影向量定義法，平面向量基本定理轉化成基底法，建系轉化成代數運算（坐標）法.針對本題你有什么樣的做法呢？為什么選擇這個做法，能否推廣到一般情形？

生1：此處有等腰梯形，可以以A點為坐標原點建立直角坐標系，轉化成坐標運算.如圖2，易得B（4，0），E（2，2），C（3，2），則直線BC對應的函數是一次函數y=－2x+8，于是可設P（x，－2x+8），x∈［3，4］，此時EP=（x－2，－2x+6），BP=（x－4，－2x+8），則EP·BP=5x2－34x+56=5（x－17/5）2－9/5，故當x=17/5∈［3，4］時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：以后在方便建系的情況下都可以建立直角坐標系轉化成坐標運算，比如有直角或者等腰條件，還有一些特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°，150°等也可以.重點在于要寫清楚各個點的坐標，準確轉化到代數運算，突破方法是提升學生的運算素養.

生2：這道題四邊長都知道，也很容易算四個角，因此我想采用平面向量基本定即基底轉化法，將EP用四邊向量基底表示再用定義即可.

易知EP=EC+CP，cosC=－cosB=－5/5，于是EP·BP=（EC+CP）·BP=EC·BP+CP·BP=|EC||BP|cosC+|CP||BP|cosπ =－5/5|BP|－（5－|BP|）|BP|=|BP|2－65/5|BP|=（|BP|－35/5）2－9/5，所以當|BP|=35/5時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：當所求向量數量積長度和夾角不明確時，可以選擇其他合適的向量來表示進而完成運算，一般是題中已知向量或者已知模長和夾角的都適合做基底.重點在于準確選定基底，有時不止一對基底，且夾角也要小心不能出錯，突破方法是提升學生的數據分析的素養.

生3：本題直接用定義感覺不好做，長度和夾角都在變，于是考慮作出向量EP在向量BP上的投影向量，投影一作角度不變，長度在變.具體操作：如圖3，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，則向量EP在向量BP上的投影向量為FP，而在RtΔEFC中 EC=1，cosC=－cosB=－5/5，則FC=EC·cos（π－C）=5/5.于是

EP·BP=FP·BP=|FP||BP|cosπ=－|BP|（65/5－|BP|） =（|BP|－35/5）2－9/5，所以當|BP|=35/5時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：投影向量法是向量數量積幾何意義的表達，所以能夠采用投影法求數量積大小尤其是取值范圍問題是非常省時省力的一個方法.重點在于理解向量數量積的本質意義，能夠在具體的問題中準確找到一個向量在另一個向量上的投影向量，這對學生思維的深度是有一定要求的，需要學生多加練習，體會知識發生的過程，突破方法是提升學生的邏輯推理素養.

生4：因為EP·BP=PE·PB是共起點的兩個向量求數量積，覺得可以取BE中點G然后用極化恒等式，即PE·PB=PG2－GB2，易得|GB|=2，則當|PG|最小時，EP·BP有最小值.如圖4，P是線段BC上的動點，當PG⊥CB時，|PG|有最小值.易得sin∠CBA=2/5，sin∠EBA=2/2，于是sin∠PBG=sin（∠CBA－∠EBA）=10/10，從而|PG|=|GB|·sin∠PBG=5/5，（EP·BP）min=（|PG|min）2－|GB|2=（5/5）2-（2）2=－9/5.

方法推廣：對于共起點的兩個向量求數量積通過取兩向量終點連線的中點運用極化恒等式可以起到事半功倍的效果.重點在于此法適合的是“共起點”的兩個向量求數量積，具有一定的特殊性，突破方法是提升數據分析、邏輯推理等素養.

數學課堂上一題多解的情境是非常之多的，很多教師也會請學生講解方法，但是缺乏思維的提煉，而“小先生制”的數學課堂，讓學生扮演教師對一個問題解法從思維的切入點到具體操作再到方法的推廣以及對學生能力素養要求一一剖析，真正體現了“先生”的傳道授業解惑.對于分享解法的學生而言，參與了研究學習，必定印象深刻，增強信心；對于聽得學生而言，則是在集體的思維中暢游，積累了更多感悟，必將激發思維，正像英國作家蕭伯納所說：“如果你有一種思想，我有一種思想，彼此交換，我們每個人就有了兩種思想，甚至多于兩種思想.”

二、孰對孰錯辯中求真

數學中有許多容易混淆的概念、知識點，他們既有相似之處也有不同，學生在解決此類問題時經常會因概念不清導致不同結果.此時教師不要做“法官”直接下結論，而是交由學生組織“搜證”辯論，對比結果反查過程.此種情境下，慎辨析的學生即為小先生，他們匯總一些易混點，深度挖掘剖析理解.

三個同學不同的解法得到三個不同的答案，孰對孰錯呢？教師引導學生成立討論小組，反查過程，尋找錯因.

經討論發現，生1做法錯在認為復數滿足x2=|x|2，事實上從代數運算上看，設復數x=a+bi（a，b∈R），則x2=a2+2abi－b2，|x|2=a2+b2，當且僅當b=0時x2=|x|2成立，即x為實數時成立，生1的解法確實所得都是實數解；從幾何意義上看，x2是復數的乘法，表示了向量的旋轉，而|x|2是復數模的平方，表示的是長度，兩者沒有等價關系.

生2的做法錯在解方程過程中忽略了范圍，從而產生增根.事實上，當a=0時，－b2－5|b|+6=0，若b≥0則－b2－5b+6=0，解得b=－6（舍）或1；若b<0則－b2+5b+6=0，解得b=6（舍）或－1，即是兩組解a=0，

b=±1；而當b=0時，a2－5|a|+6=0，若a≥0則a2－5a+6=0，得a=2或3（都符合）；若a<0則a2+5a+6=0，得a=－2或－3（也都符合），即是b=0，

a=±2，±3.

生3的做法是可以和生1，生2的做法形成對比的，先待定系數設復數代入，然后再實數范圍內解含絕對值的方程利用實現等價轉化，避免了討論，結果正確.

復數集是在實數集上的擴充，很多的運算法則也是類比推廣的，而復數的幾何意義對應向量，復數加法、減法運算也對應了向量的加法、減法運算，因此三者有著很緊密的聯系，既有相似但也存在區別.針對這個混淆點，教師再次引導各小組翻查資料提出一些向量、實數與復數運算的對比，供學生深度辨析.這里總結各小組提出的辨析問題：

數學課堂上當不同結果出現時，老師如果簡單判定給出正確答案，則學生不知為何而錯，而“小先生制”的數學課堂，讓學生對比結果判定正誤，搜集資料，參與設計辨析題，意在通過多角度大范圍地對比辨析，真正體會知識發生的過程，掌握方法的遷移而不是知識簡單的復制，從而提升數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養.

三、開放探究發散創新

發散思維是思考者根據已有的知識、經驗等，從不同角度、沿不同的方向、進行各種不同層次的思考，多觸角全方位的尋求與探索新知識.一堂開放的探究課堂上，每一個有思想的學生即為小先生，他們自由地展示自己的想法，不論好差.

這是一個開放的話題，學生根據所學函數比如一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數，結合四則運算、絕對值、分段等能夠構造很多的函數.每個學生從提出函數到研究函數得到結果再和同組同學交流糾正，無論所舉函數簡單或復雜，小先生們都相當于在上“冪函數”一課，一遍遍闡述如何研究函數的圖象與性質，領悟數形結合的思想方法.

一般地，對于一些重要的思想方法，涉及內容知識較多，可開展開放活動探究課，此時小先生登臺，教師只需事先給學生分工，學生提前做好準備，先小組交流，學生進行自評，互評，最終進行各小組成果的匯報課，小組成員進行自評，互評，教師點評.此情境下的“小先生制”數學課堂，人人參與，意在將教育化為“春風風人，夏雨雨人”一樣，人人有得到施展的機會.

結語：“小先生制”在高中數學課堂的應用是廣泛的，文中提到的三種情境基本上是在習題講評中，筆者還將繼續探索在新授課及試卷講評課等中的應用.“小先生制”的應用將培養學生深度理解，充分表達，拓寬視野，發展思維．因此，教師要充分發揮“小先生制”的優勢所在，不斷在課堂上合理踐行，從而使“小先生”成為課堂的常客，扎實提升學生的核心素養．路漫漫，“小先生”課堂研究之路任重而道遠，學生核心素養的養成之路循序而漸進.

參考文獻

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