基礎隔震耗能結構基于Kanai-Tajimi譜的隨機響應簡明解法研究

鄒萬杰,覃永安,李創第,經承貴,韓 紅

(廣西科技大學 土木建筑工程學院,廣西 柳州 545006)

0 引言

長期以來,地震災害給人類的生活帶來了嚴重的困擾,不僅影響著人們的正常工作,還威脅著人類的生命安全。地震曾經造成的核泄漏、交通樞紐破壞和房屋損壞等重大安全事故,引發了巨大的財產損失與人員傷亡[1-3]。近年來,我國自然災害頻發,地震造成的災害尤為明顯,如5.12汶川地震和青海門源6.9級地震等[4-5],因此,眾多學者一直致力于地震對結構影響的研究。為了研究地震動對結構的影響,國內外眾多學者提出了許多隨機地震動模型。HOUSNER[6]在1947年首次提出白噪聲模型,認為地震動功率并不隨著頻率的變化而改變,即功率譜密度圖像為一條水平的直線,大大簡化了對結構的動力響應分析,促進了人們對地震動模型的研究;此后,日本學者KANAI[7]和TAJIMI[8]認為白噪聲過程能量在頻域內的均勻分布并不符合實際情況,因此提出了一種過濾的白噪聲模型,即Kanai-Tajimi模型,該模型考慮了場地頻率和阻尼比對頻域能量分布的影響,彌補了白噪聲模型未能考慮場地動力特征對于地震動影響的缺陷,更符合工程實際應用,對于理論研究有著深遠的意義,該模型在地震工程界至今仍被廣泛使用。

為了減緩地震對建筑物造成的影響,一味地依靠增加結構的剛度并不能取得良好的效果,因此工程技術人員常在結構中加入合適的阻尼器來耗散地震輸入的能量,如調諧質量阻尼器、調頻液體阻尼器和粘彈性阻尼器等[9-11]。而作為耗能減振裝置的粘彈性阻尼器由于其減振效果好和造價低廉等特點,且其相較于其他類型阻尼器而言,安裝方便且需要的空間較小,故受到廣大工程技術人員與研究者的重視,應用越來越廣泛。為了方便研究,國內外學者對于粘彈性阻尼器提出了各種力學模型,如Maxwell模型、Kelvin模型、廣義Maxwell模型和分數導數模型等[12-15]等。其中:廣義Maxwell模型能夠通過調整參數更好地描述該類型阻尼器的粘彈性行為,有更廣的適用范圍[16]。

基礎隔震結構自被提出以來就受到了廣大工程技術人員的青睞,其主要原理是在上部結構與基礎間加入隔震裝置,削弱地震向上部結構傳遞能量,其中橡膠隔震支座被廣泛應用[17]。實踐證明:與抗震結構相比基礎隔震結構表現出其獨特的優越性[18],在數次大地震中上部結構都得到了很好的保護,如美國北嶺地震和中國臺灣海峽地震[19-20],美國北嶺地震中有記錄表明:采用了隔震技術的南加州醫院頂層加速度峰值僅為基礎的一半,院內設備設施得到了良好的保護。因此,眾多的國內外學者對抗震、隔震結構進行了深入的研究,并且取得了極大的進展,促進了各國建筑設計規范的完善[21-23]。然而,地震動屬于隨機激勵,因此基于隨機振動理論分析基礎隔震結構的響應仍有重要的研究價值[24-25]。

針對使用傳統方法分析隔震耗能結構在隨機地震激勵下計算復雜和耗時較長等問題,本文提出了一種簡明解法。聯立廣義Maxwell阻尼器本構方程與原結構運動方程,重構結構運動方程,再利用復模態法將重構所得的結構運動方程解耦,獲得響應的統一表達式。其次計算激勵功率譜與響應功率譜的二次正交式;最后根據隨機振動理論獲得了結構響應0～2階譜矩及方差。該求解過程為解析求解且無假設和近似,解的形式相較于傳統形式更加簡潔,為隔震耗能結構在隨機地震動激勵下的響應分析在工程中的應用打下良好基礎。

1 耗能結構的地震動方程

1.1 結構運動方程

設n層結構的質量、阻尼和剛度的矩陣分別為M、C和K,各層均設置廣義Maxwell阻尼器,上部結構的阻尼力及其位置矩陣分別為PQ(t)和Tp,結構計算簡圖如圖1所示。

圖1 結構計算簡圖Fig. 1 Calculation diagram of the structure

(1)

(2)

(3)

1.2 廣義Maxwell阻尼器本構關系

廣義Maxwell模型阻尼器是由一個線性彈簧和一系列的Maxwell模型單元并聯而成,廣義Maxwell模型阻尼器計算簡圖如圖2所示,Maxwell模型阻尼器計算簡圖如圖3所示。

圖2 廣義Maxwell阻尼器計算簡圖 圖3 Maxwell阻尼器計算簡圖

廣義Maxwell阻尼器本構關系為:

(4)

式中:PQb(t)和PQi(t)分別為隔震層和第i層阻尼器的總阻尼力,k0為阻尼器平衡剛度,pbj和pij為每個Maxwell單元的阻尼力。其中:i=1～n,n為樓層數目,j=1～r,r為廣義Maxwell阻尼器中標準Maxwell阻尼器單元的個數。

將式(4)寫成矩陣形式,有:

(5)

將式(5)簡寫為:

PQZ(t)=K1x0+D1P

(6)

各分支Maxwell阻尼器的微分關系為:

(7)

式中:kPj和cPj分別為第j個標準Maxwell阻尼器單元的剛度和阻尼。

將式(7)寫成矩陣形式,有:

(8)

將式(8)簡寫為:

(9)

1.3 重構結構運動方程

聯立式(3)和式(6),重構結構的運動方程:

(10)

引入狀態變量:

(11)

聯立式(9)和式(10)寫成狀態方程:

(12)

其中:

式中:o1為元素均為0的(n+1)×(n+1)階矩陣;o2為元素均為0的(n+1)×(rn+r)階矩陣,o3為元素均為0的(n+1)×1階向量;o4為元素均為0的(rn+r)×1階向量;E2為n+1階單位矩陣;E3為rn+r階單位矩陣;N為狀態方程中矩陣M2和K2的階數,N=rn+r+2n+2。

2 結構響應統一表達式

由于式(12)為非經典系統,故引入復模態變換進行計算。存在左和右特征向量V,U使M2和K2對角化,特征值矩陣q滿足關系如下:

(13)

引入復模態變換:

y=Uz

(14)

式中:z為廣義復模態向量。

聯立式(12)、式(13)和式(14),化為復模態響應方程:

(15)

將式(15)寫成分量形式:

(16)

式中:zk、qk和γk分別為z、q和γ的分量。

根據虛擬激勵法[26],式(16)的頻域解為:

(17)

結合復模態法和虛擬激勵法,聯立式(11)、式(14)和式(17),求得基礎耗能隔震系統響應的頻域解如下。

(18)

(19)

(20)

(21)

第i層的層間位移頻域解Δxi(ω):

(22)

(23)

由式(4),隔震層阻尼力頻域解PQb(ω)為:

(24)

比較系統各響應式(18)～式(24),均為zk(ω)的函數,故在頻域內將系統響應寫為統一表達式:

(25)

式中:Γk為第k個廣義模態變量zk(ω)的模態參與系數。

3 二次正交化求解

3.1 頻率響應函數的二次正交化

根據虛擬激勵法和式(25),系統各響應X(ω)的功率譜可表示為:

(26)

聯立式(17)和式(26)得:

(27)

(28)

式中:ηk=Γkγk,ηj=Γjγj。

由頻率響應函數式(28)的對稱性,重寫為:

(29)

將頻響函數式(29)最終簡寫為:

(30)

3.2 Kanai-Tajimi譜的二次正交化

本文采用Kanai-Tajimi譜隨機地震動模型,該模型功率譜傳統表達式如下:

(31)

式中:ωg和ξg分別代表場地土的卓越頻率和阻尼比,S0為地震動強度常數。

鑒于Kanai-Tajimi譜的傳統表達式復雜且難以通過積分運算獲得結構響應,故使用留數定理,得到Kanai-Tajimi譜的二次正交式如下:

(32)

3.3 響應功率譜的二次正交化

將式(30)和式(32)代入式(27),得到系統響應功率譜:

(33)

由于頻響函數和Kanai-Tajimi譜都是二次正交的形式,因此,響應功率譜也是二次正交的形式。

4 響應譜矩和方差

根據隨機振動理論[27],系統響應的i階譜矩定義為:

(34)

將式(33)代入式(34),得系統響應譜矩:

(35)

(36)

(37)

將式(36)代入式(35),可得系統響應0階譜矩:

(38)

將式(37)代入式(35),可得系統響應1階譜矩:

(39)

根據隨機振動理論,系統響應變化率的0階譜矩等于響應的2階譜矩,即:

(40)

系統響應位移的方差等于其0階譜矩,系統響應速度的方差等于其2階譜矩,即:

(41)

(42)

5 算例

某中學教學樓,地上5層,每層樓高度皆為3.6 m,即h1～h5=3.6 m,教學樓總高18 m。隔震支座設置于基礎底部,為橡膠隔震支座。地震烈度為7度,Ⅱ類場地。上部結構為全現澆鋼筋混凝土框架結構,每層質量為m1～m5=300×103kg,抗側剛度為k1～k5=150×106N/m,結構阻尼比ξ=0.05。隔震層質量mb=350×103kg,隔震層剛度為kb=55×106N/m,隔震層阻尼比ξb=0.1。隔震層與上部結構每層均設置相同的廣義Maxwell阻尼器,其參數為:分支一標準Maxwell阻尼單元的剛度kP1=4.05×105N/m,松弛時間t1=0.10 s;分支二標準Maxwell阻尼單元的剛度kP2=3.78×105N/m,松弛時間t2=0.12 s;阻尼器平衡剛度k0=3.6×105N/m。根據文獻[28],Kanai-Tajimi功率譜參數為:場地卓越頻率ωg=15.71 rad/s,場地阻尼比ξg=0.72,功率譜強度因子S0=31.76×10-4m2/s3。

5.1 功率譜二次正交式驗證

圖4(a)～(d)分別繪制了地面加速度功率譜、隔震層絕對位移功率譜、隔震層絕對速度功率譜和隔震層阻尼力功率譜?？梢钥闯?二次正交化Kanai-Tajimi功率譜、響應功率譜與傳統Kanai-Tajimi功率譜、虛擬激勵法(公式推導見附錄A)計算的功率譜均重合,驗證了本文研究的簡明解法的正確性。

圖4 功率譜對比圖Fig. 4 Power spectrum comparison chart

5.2 譜矩計算精度和效率

圖5(a)～ (f)分別繪制了結構位移0～2階譜矩和層間位移0～2階譜矩。虛擬激勵法積分區間均為[0,600],取積分步長分別為1.00 rad/s、0.50 rad/s和0.01 rad/s與本文計算結果對比,由圖像可知:響應譜矩應用虛擬激勵法計算時,隨著積分步長的減小,所得圖像逐漸與本文簡明解法的圖像重合,驗證了本文方法計算譜矩的正確性。

圖5 譜矩對比圖Fig. 5 Spectrum moment comparison chart

由于虛擬激勵法計算譜矩時采用數值積分,因此其計算精度與積分步長和積分區間的選擇有密切關系。表1為本文方法與虛擬激勵法計算的隔震層位移0～2階譜矩計算精度與計算效率,其中積分步長取為0.001 rad/s,可以看出:虛擬激勵法隨著積分區間的逐漸增大,計算得到的譜矩與本文二次正交化法所得結果誤差值減小,驗證了本文方法的正確性,且本文方法計算0～2階譜矩耗時更短。

表1 隔震層位移0～2階譜矩計算精度和效率Table 1 Calculation accuracy and efficiency of 0～2 order spectral moment of isolation layer displacement

6 結論

本文針對基礎隔震結構設置廣義Maxwell阻尼器基于Kanai-Tajimi譜下的地震動響應進行了研究,結論如下:

1)本文利用復模態法、二次正交化法成功獲得了結構響應譜矩及方差的簡明表達式,該表達式因無需進行數值積分運算故具有更高的計算效率。

2)在最后的算例中,當虛擬激勵法積分步長取值足夠大、積分間距取值足夠小,各響應功率譜圖像與虛擬激勵法所算結果均吻合,驗證了本文的正確性,且本文方法具有更好的計算精度。

3)由于其他平穩隨機地震譜均是在Kanai-Tajimi譜基礎上的延伸,故本文方法可以推廣至結構在各類平穩隨機地震譜下隨機響應解法的研究,具有良好的實用性。

附錄A:廣義Maxwell阻尼器耗能結構的虛擬激勵法

根據虛擬激勵法,文中的式(3)可表示為:

(a)

在式(a)中,需要求的未知數為x0(ω)和PQz(ω)。

將文中的式(9)用頻域形式表示:

iωP(ω)+αP(ω)=Biωx0(ω)

(b)

將文中的式(6)用頻域形式表示:

PQZ(ω)=K1x0(ω)+D1P(ω)

(c)

將式(b)代入式(c)可得:

(d)

聯立式(a)和(d)可得x0(ω)的頻域解:

(e)

上部結構第i層的層間位移頻域解Δxi(ω)為:

Δx1(ω)=x1(ω)i=1

(f)

Δxi(ω)=xi(ω)-xi-1(ω)i=2～n

(g)

將頻域解x0(ω)和Δxi(ω)用統一符號X(ω)表示,則系統響應X(ω)的功率譜可表示為:

SX,PEM(ω)=X(ω)X*(ω)

(h)

式中:X*(ω)是X(ω)的共軛項。

(i)

將式(i)代入式(34),可得系統響應的0～2階譜矩:

(j)