淺談“反證法”

張秀芹

一個屋子里面有五十個人，每個人領著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。

假定有如下條件：1、狗的病不會傳染，也不會不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能靠看別人的狗和推理， 來發現自己的狗是否有病；3、一旦主人發現自己的狗是一只病狗，就會在當天開槍打死這條狗；4、狗只能由他的主人開槍打死。

如果他們在一起，第一天沒有槍聲、第二天沒有槍聲……第十天發出了一片槍聲，問有幾條狗被打死？

這是一道微軟公司招聘員工的面試題。我們可以假設有一只病狗A， 第一天狗主人甲沒看到其他人有病狗，確定自己的是病狗，第一天槍斃病狗A；其他人看到有病狗A，無法確定自己的狗有沒有病，不作反應。假設有兩只病狗AB，第一天狗主人甲看到乙的病狗B，無法確定自己的狗有沒有病，乙看到甲的病狗A，也無法確定自己的狗有沒有病，其他人因為看到AB 病狗無法確定自己的狗有沒有病，第一天均不作反應；第二天再看狗時，甲看到乙的病狗B 沒死，他得出乙第一天看到了別人病狗，而其他人都沒病狗（即其他48 條狗），得出自己和乙的狗是病狗，乙想法同甲，于是第二天看完狗后兩人槍斃兩狗，其他人沒反應。（其他人第一天看到兩只狗，第二天還是看到兩只狗，他們知道甲乙要第二天才能推理出各自的病狗，不做反應）。假設有三只病狗ABC，甲乙丙看到兩條病狗，在第二天時他們都推理出上述結果，若只有自己觀察到的兩條病狗，則第二天必有兩人殺死這兩條病狗，但第二天沒有，得出兩條病狗的主人也看到了兩條病狗，故自己的狗也是病狗。甲乙丙第三天槍斃病狗……其他的情況，第N 天槍聲響，則代表有N 條病狗。

為了說明某一個事情是正確的，但不從正面直接說明，而是通過說明它的反面是錯誤的，從而斷定它本身是正確的，這種方法叫反證法。

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，證明過程通常有四個步驟：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，窮舉：列舉出在反設條件下可能出現的各種情況；第三步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾包括與公理、定義、定理、題設或臨時的假設矛盾）；第四步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

所以直線a，b 不可能有兩個交點，所以兩條相交直線只有一個交點。

反證法的用處很大，牛頓說：“反證法是數學家最精當的武器之一。”它不僅應用在初等數學中，還大量應用在高等數學中，應用反證法要注意以下幾點：①推理過程必須完全正確。

②決不能忽視原命題的題設條件，否則要么推不出錯誤，要么不能斷定所推導出來的結論是否是謬論。

③在應用反證法時，有時要做些準備工作，為應用反證法創造條件。

④在否定結論時，要分析可能有的各種情況，若有兩種或兩種以上的情況，要應用窮舉法，不能有遺漏。