感·悟·思
——數學史閱讀教學的三重奏*

潘 靜 胡震洪

(安徽省阜陽市紅旗中學 236032)(安徽省阜陽市第三中學 236031)

中國學生發展核心素養,以培養“全面發展的人”為核心,包括科學精神、學會學習等六大素養,數學學科也承擔著相應的育人任務.數學閱讀教學就是數學學科育人的一種重要手段,數學教師可以利用數學史資料引導學生進行深度閱讀．

閱讀不僅僅是讀,還是動眼看、動口讀、動手記、動腦想的有機結合、統一協調的過程．數學閱讀跟一般的閱讀一樣,是一個完整的心理活動過程,是學生主動獲取信息、汲取知識,發展數學思維、學習數學語言的重要途徑之一．數學史中有很多好的閱讀素材,教師可以結合教學需求,篩選出適當的數學史資料來引導學生閱讀,這樣不僅能提高學生的數學閱讀能力、擴大學生的視野,還能激發學生探究數學發展史奧秘的興趣．

1 讓學生在閱讀中有所感

1.1 讓學生在閱讀中感慨,感慨于數學發展的不易

函數的周期性是函數的一個重要性質,多數學生對周期函數概念的理解僅停留在對圖形的直觀認識和形式化定義的記憶中,而未關注“周期函數的定義是如何形成的”這樣的問題．

歷史上,周期函數的出現與周期現象息息相關,而最早被描述的周期現象都與時間有關,例如1810年基思對“一天”給出了明確的描述、1818年波尼卡斯特給出了“一月”的定義,這都是周期函數誕生的萌芽．在數學研究中,最先被發現具有周期性的函數是三角函數.雖然1748年歐拉就已經發現三角函數會以2nπ為周期循環往復,但直到19世紀末,數學家才明確使用了“周期函數”這一名稱,到20世紀初,才得到“三角函數是周期函數”的結論．而周期函數定義的形成,無論是描述性定義,還是形式化定義,都是數位數學家逐漸完善的結果．

引導學生圍繞這些內容查找資料,認識到周期性起源于生活中的問題,感受到周期函數概念的形成不是一蹴而就的,而是經歷數代科學家的努力才得以不斷完善的,感慨數學發展的不易．

1.2 讓學生在閱讀中感受,感受數學之間的內在聯系

高中生都學習過和角公式、射影公式、余弦定理和正弦定理．但是學生關注的往往是每個公式和定理本身,而沒有關注它們之間的聯系．事實上這些公式和定理都可以利用托勒密定理來進行推導,且它們之間也可以互相推導(圖1)．學生不難理解這些定理和公式之間互推的過程,并發現這些推導大都是借助圓來完成的．通過這些知識的閱讀,學生能感受到每個公式并不“孤單”,數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系．

圖1 一些三角公式和定理之間的聯系

引導學生探尋知識間的聯系和公式(定理)推導方法之間的聯系,幫助學生將知識點串聯成知識網絡,不僅可以加深學生對單個知識的記憶,還可以幫助學生做到觸類旁通．

2 讓學生在閱讀中有所悟

2.1 讓學生在閱讀中領悟,數學的簡潔也是有度的

人教版對棱柱是這樣定義的:“一般地,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．”[1]北師大版教材中的棱柱定義是:“多面體有兩個面是邊數相同的多邊形,且他們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,像這樣的幾何體稱為棱柱．”[2]學生在棱柱的學習中覺得其定義繁瑣,希望用更為簡潔的語言來定義棱柱,教學中我們發現,確實有很多學生嘗試重新給棱柱下定義．

事實上,歷史上有很多數學家對棱柱下過定義．歐幾里得在《幾何原本》中對棱柱是這樣定義的:“一個棱柱是一個立體圖像,它是由一些平面構成,其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的,其余各面均為平行四邊形.”美國數學家舒伊勒等人也都對棱柱下過定義,那么這些定義是否嚴謹呢?引導學生利用網絡資源查找這些有關棱柱的定義,并引導學生從純粹性和完備性兩個角度去分析它們,并提出問題:“如果你是教材主編,你選擇哪個作為教材中棱柱的定義?”

定義首先需要考慮的是嚴謹,其次才是簡潔．簡潔美是數學美的一種,經歷了小學和初中的學習,學生學習的定義大都是很簡潔的,當學生看到用大段文字描述的定義時,質疑其簡潔性是無可厚非的,只有讓學生查閱史料,對不同時期數學家對同一概念給出的定義進行辨析,他們才能真正領悟到簡潔性是相對的,是有度的．

2.2 讓學生在閱讀中感悟,感悟數學思想方法

高中教材中關于雙曲線部分的知識,大都采用“第一定義”“兩次平方法”推導雙曲線方程,這是延續了教材中橢圓方程的推導過程．實際上這并不是推導雙曲線方程的唯一方法,也不是最簡方法．

基于第一定義的雙曲線方程推導,比較有代表性的有17世紀法國數學家洛必達用“和差術”推導雙曲線方程,通過引入參數、消去參數達到化簡的目的;18世紀英國數學家楊格采用了平方差法,借助平方差公式推導雙曲線方程;18世紀美國數學家皮爾斯利用余弦定理,通過設角,將長度問題轉化為三角形中邊角關系問題,繼而得到雙曲線方程．這些推導過程雖然各異,但目的都是一致的——將由第一定義得到的方程進行化簡．而其方法中有相似點,如洛必達和皮爾斯的方法都涉及“引入參數、消去參數”,楊格和皮爾斯的方法都涉及化歸與轉化思想．

雙曲線方程的推導過程本身就是教學過程,推導過程中滲透的思想方法自然屬于教學內容．閱讀這些資料,能讓學生不再拘泥于課本中的證明方法,在開闊學生眼界的同時,可以拓寬學生的思維,激發學生的創新意識．

3 讓學生在閱讀中有所思

3.1 讓學生在閱讀中思理,培養學生的推理意識

學生知道“周長確定的矩形,當其為正方形時面積最大”．但學生不知道的是,對于平面圖形的周長和面積的關系,古人曾有很多誤解,如古希臘歷史學家修昔底德通過繞島航行來估算島嶼的大小,博物館學家老普林尼根據周長來估算面積,到了公元5世紀,還有人認為“周長大的土地面積大”．這些我們現在認為不可思議的事,曾經都真真切切地發生過．

將這些資料進行整理、充實,引導學生閱讀,讓學生意識到推理的重要性,并提出問題“你能找到幾種方法來證明‘周長確定的矩形,當其為正方形時面積最大’”,激趣的同時,也鞏固了數學知識．

數學不是“想當然”的,經過邏輯推理判斷為正確的命題才是真命題．對于我們在生活中遇到的問題,當我們用數學的眼光看待它并將其轉化為數學問題時,只有對其進行嚴謹的推理,才能判斷結論是否正確．

3.2 讓學生在閱讀中思疑,明晰知識的演變過程

學生學習了三角函數后容易產生疑問:“正弦這個名稱是怎么得來的?符號sin又是怎么得來的?”事實上,三角函數于明代傳入中國,德國傳教士鄧玉函(Johann Schreck)在其編譯的中國第一部三角學著作《大測》中給出了“正弦”“余弦”等名詞．清初數學家梅文鼎《平三角舉要》中給出“割圓直線,如弓之弦,謂之通弦,通弦半之,古謂之半弧弦,今曰正弦”,余弦是“余角之正弦”．而符號sin的由來,歷經了jya(梵語,半弦)—jiba(阿拉伯語,無實際意義)—jaib(阿拉伯語,海灣)—sinus(拉丁文,彎曲的)—sine(英文),直到17世紀才演變為sin,這是一個漫長的過程．

事實上,學生對很多概念、公式、定理的名稱都只知道“是什么”,而不知道“為什么”,引導其閱讀相應的數學史資料,不僅有助于學生了解這些名稱的演變過程,也能更好地激發其學習興趣．

4 結語

數學閱讀能力是中學生必備的關鍵能力之一,提高學生的數學閱讀能力是中學數學教師的職責．數學史不僅是數學發展史,也是數學教育史,篩選與教學內容關聯度高的數學史資料,并有目的地指導學生閱讀,在擴大學生知識面的同時也能培養學生的理性精神,這也是數學學科育人的重要組成部分．