初中數學專題課設計的四個關鍵點
——基于元認知訓練促進初中生數學深度學習的理論視域*

呂亞軍

(江蘇省蘇州市振華中學校 215006)

1 引言

專題課是一種常見的課型,是初中數學教學中提升學生整體建構、綜合運用、知識遷移等能力的重要課型,也是基礎知識和基本技能深度融合的核心．然而,日常教學中我們常發現一些專題課的設計往往出現專題教學目標制定缺失或定位不夠精準,對經典題型的本源探索及其針對性變式訓練重視不夠,對所運用的數學思想方法的總結與提煉時常流于形式,元認知能力對高階思維能力的促進作用往往被輕視等現象．總之,教師講授過多,學生參與不足,主體地位凸顯不夠,學習方式常流于被動式的淺層學習方式．

以往研究[1-4]表明,元認知訓練對數學學業水平有著積極的影響,對學生知識體系建構及深度學習有積極的促進作用,尤其在數學問題解決、高階思維和創新能力培養方面．本文擬從元認知訓練促進數學深度學習的理論視域,以一節蘇州市第二屆“名師領航”高研班公開展示課“圓的切線的綜合運用”為例,探尋數學專題課教學的優化路徑,以期有效促進學生學習能力的提升,為數學課堂教學研究提供參考．

2 初中數學專題課設計的四個關鍵點

2.1 專題教學目標解構與重構的統一

專題設計的有效性仍然必須回答幾個基本問題:“第一,你把學生帶到哪里(目標)?第二,你怎樣把學生帶到那里?第三,如何確信你已經把學生帶到那里?”[5]教學目標規定了教與學的進程和方向,引領教學的全過程,其重要性不言而喻.教學中,特別在專題教學設計,教師往往忽視教學目標的思考和制定,重知識講授,輕目標定位,制定目標時存在移植課程目標、三維目標割裂設計等現象．在設計專題教學目標時,要從課程標準、學生已有認知經驗及教材內容等角度實現專題的解構與細化,要將專題設計精準定位,同時要遵循以下思維邏輯:該課題關聯的學科素養是什么?如何設計問題情境?蘊含了哪些數學思想方法?學生的學習路徑是什么?采用怎樣的元認知訓練設計能使學生獲得豐富的元認知體驗?要回答以上問題,需要教師重構教學目標．結合本專題設計,筆者嘗試重新設計教學目標框架(表1)．

2.2 數學思想方法歷經與提煉的統

數學思想方法是數學的靈魂,基于元認知訓練促進深度學習的專題課設計既要關注學生已有的知識背景、知識之間的聯系、知識形成發展的過程,還要注重數學思想方法的有機結合、自然滲透,要善于啟發學生,引導其充分領悟蘊含于數學知識之中的數學思想方法．專題課教學設計中教師要充分挖掘例題和習題的示范性、典型性和探索性功能,通過變式、運算、推理等過程的多角度探究,滲透元認知訓練策略,引導學生突破問題解決策略產生過程中的關鍵點,讓學生體會、感悟蘊含的數學思想,并加強提煉、歸納和總結,從而最大限度地促進有效教學和深度學習的發生．

表1 基于元認知訓練促進初中生數學深度學習的專題課教學目標框架

圖1

例1如圖1,已知△ABC,點O在邊BC上,以點O為圓心作⊙O,使得點A,C在⊙O上,⊙O與BC交于點D．若AB為⊙O的切線,過點A作射線AF交BC于點E,交⊙O于點F,且AB=BE．試判斷點F在怎樣的特殊位置?

圖2

例2如圖2,已知△ABC,以點O為圓心作⊙O,使得點A,C在⊙O上,⊙O與BC交于點D．若AB為⊙O的切線,過點A作射線AF交BC于點E,交⊙O于點F,且AB=BE．試判斷點F在怎樣的特殊位置?

師:通過例1和例2,我們有怎樣的啟發?

生:盡管例2的條件比例1的條件減少了,但類似結論成立,證明方法也相似．

師:是的,題中還體現了數學中常見的一般到特殊、類比等數學思想方法．

評注例1和例2的設計均采用開放式提問:“點F在怎樣的特殊位置”,教師通過策略性知識與數學具體知識相互融合、相互滲透,引導學生自主探究、猜想論證．要充分挖掘問題的內涵和意義,加強對類比、歸納、抽象等一系列數學思想方法運用的引導,比如例2在例1的基礎上更換了一個條件,即將條件更一般化后,發現結論有相似之處,由于條件的更換,又提出了同樣的數學問題,進行了充分的變式訓練,引發學生認知沖突．教師通過元認知提示語進行引導,學生觀察、猜想、探究、論證、體驗,讓其在獨立思考與合作交流中既能領會探究發現真知的快感,又體驗到頓悟的樂趣,同時也促進元認知能力的提升．

2.3 知識點深入探索與本源回歸的統一

“數學化”是一個有序的、富有層次的過程．數學課堂教學要滲透元認知訓練策略,引導學生從數學情境中提煉數學信息、揭示數學規律、優化或重組認知結構．在問題探究中,引導學生對一些熟悉的數學模型進行觀察和提煉,挖掘隱含的數學信息和規律,并加以抽象、提煉,完善和優化數學知識體系,提升學生的綜合運用能力,促進數學思維水平、創新能力、知識遷移能力的有效提升,進而提高深度學習能力．

圖3

例3如圖3,已知△ABC,點O在邊BC上,以點O為圓心作⊙O,使得點A,C在⊙O上,⊙O與BC交于點D．已知AB為⊙O的切線,過點A作射線AF交BC于點E,交⊙O于點F,且AB=BE．

圖4

在探究結束后,教師引導學生結合調節訓練單:我有怎樣的收獲?掌握了什么方法?怎樣的條件起決定性作用?回顧解題的思路,提煉并抽象出基本圖形(圖5、圖6).

圖5

圖6

問題2 如果點N為下半圓上一點(點D,C除外),直線FN交AB的延長線于點P,交直線BC于點M,其他條件保持不變,結論“FM·FN=2OC2”還成立嗎?

學生通過合作探究,畫出了圖7-圖9,圖7、圖9結論仍然成立,圖8狀態屬于特殊情況,FN,FM不存在．教師通過幾何畫板演示,引導學生思考結論是否仍然成立．

圖7 圖8

圖9

評注教師創設問題情境,結合調節訓練單,引導學生從一個復雜的數學問題層層篩減、精簡圖形、剔除冗余信息,從中提煉出解決此類數學問題的本質,事實上探究的最終實質就是兩個基本圖形的解決,并領會特殊到一般的數學思想方法．反之,也能讓學生體驗復雜問題的命制特征,充分領會化歸思想的運用,進一步體會元認知訓練的內核,提升元認知能力,發展高階思維水平,促進深度學習．

2.4 元認知訓練與調節內化的統一

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出:“學生的學習應是一個主動的過程,認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式．教學活動應注重啟發式,激發學生學習興趣,引發學生積極思考,鼓勵學生質疑問難”[6]．基于元認知訓練的專題課設計就是通過合理運用“元認知訓練問題單”(表2),以“問題鏈”為主線,啟發思路、建構知識體系、培養良好思維習慣和提升數學問題解決能力．“元認知訓練問題單”關注到思維過程的生成性,關注到知識的獲取與能力的培養有機結合,它將學生引向更高思維層次．系列問題的提出、探究和解決,讓教學過程不是停留在知識傳授的層面上,而是通過“元認知訓練問題單”的指引,讓學生獲取知識技能,培養學生的問題意識、思維能力及元認知能力,進一步深化知識的學習．

在本節課教學中,教師嘗試通過“元認知訓練問題單”,分別從核心問題和反思、自我歸納和評價、總結和遷移等三個維度,引發學生對本節課的深度思考,強化自我反思和元認知體驗,讓學生研究自身在課堂學習中存在的問題、需要改進之處、取得的收獲．

表2 學生元認知訓練問題單

教師引導學生結合“元認知訓練問題單”,與學生共同提煉出本節課設計的核心思路(圖10)．

圖10

評注在引導學生整體建構階段,教師與學生一起深度探討,讓學生在回顧課題設計思路和課堂知識、歸納數學思想、提煉基本圖形的過程中,體驗數學的本質,形成通性通法,進一步培養了學生學會歸納、推理、抽象等數學素養．教師通過建構元認知訓練問題單,從三個板塊引導學生思考,發展學生元認知能力、抽象歸納能力,引導學生反思、運用、遷移,促進深度學習,讓學生達到了元認知訓練與調節內化的統一．

3 結語

初中學段是培養深度學習能力、高階思維發展的關鍵期．實踐證明,數學專題學習有利于學生對知識的整體建構和遷移能力的提升．專題的設計要求教師要以促進深度學習為目標,善于運用元認知提示語,引導學生加強反思與提煉,為此,教師要潛心研究,探求促進深度學習的專題教學的優化路徑．除此之外,促進深度學習的有效教學途徑還有哪些?有效性如何得到驗證?對課堂教學是否有示范引領作用,是否能促進初中數學課堂教學的變革?等問題將是后續研究的重點．