數學文化浸潤課堂,促進數學思維發展
——以蘇教版必修二“空間圖形的體積”為例

戴擁春

(江蘇省鹽城市第一中學 224005)

1 基本情況分析

1.1 教材分析

球的體積是高中數學“立體幾何初步”中的傳統內容．從結構來看,是在學習了柱體、錐體和臺體等基本幾何體的基礎上,進一步來研究球的相關問題．從知識上來看,球是一種高度對稱的基本空間幾何體,同時它也是進一步研究空間組合體結構特征的基礎．從方法上來看,它為我們提供了另外一種求空間幾何體體積的思想方法．它從屬于“幾何與代數”主線,并處于這一主線中知識邏輯鏈條的末端,不會對其他內容產生明顯的影響．因此,本節內容的教學通常不受重視．

但是新高考模式下,高考試卷加大了對球相關知識點的考查,且加大了難度,這就要求我們以這部分內容為載體,讓學生體會直觀感知、操作確認、推理論證等研究幾何對象的一般過程,并循序漸進地安排推理訓練,發展學生的邏輯推理素養．

1.2 學情分析

在球的表面積和體積公式都不知道的情況下,要想到合適的方法推出其中任何一個都比較困難．因此,高中數學課堂中球的體積的教學存在著對公式直接灌輸的現象,從而導致學生在學習過程中缺乏思考空間,學習動機匱乏,以及強行記憶知識點．本節課要讓學生厘清知識的來龍去脈,感悟到其中的數學思想,從而發展數學核心素養．

本節課的授課對象是四星級高中的高一競賽班學生,基礎良好,部分學生了解球的體積公式,但沒有經歷過公式的推導過程．

1.3 教學目標及重難點解析

結合數學史素材,激發學生的探索欲,讓學生在潛移默化中感知球的體積的發展歷程,體驗數學文化的博大精深.同時結合學生的認知水平,將本節課的教學目標確定如下:(1)感知祖暅原理等數學史對球的體積發展的影響,經歷球的體積的探究過程,并掌握球的體積公式,能用公式解決簡單的應用問題;(2)在體驗觀察、猜想、化歸、類比等方法中,體驗數學發展和創造的過程,感受數學之美．

本節課的教學重點難點確定為:

教學重點 球的體積公式的推導及公式的掌握和應用．

教學難點 利用祖暅原理的使用條件構造出與球體成比例的幾何體來證明球的體積公式．

1.4 史料分析

公元前3世紀,阿基米德利用窮竭法求得球體積的正確公式．公元1世紀,《九章算術》認為球體的外切圓柱體與球體積之比等于正方形與其內切圓面積之比．公元1世紀,劉徽在為《九章算術》作注時發現球體積公式的錯誤,提出了“牟合方蓋”的理論．公元6世紀初,祖暅沿用劉徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用該原理巧妙地計算出球體積公式．在計算球體積時使用一個原理:“冪勢既同,則積不容異”．“冪”是截面積,“勢”是立體的高．這是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體,其體積也相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理,國外則一般稱之為卡瓦列里原理(卡瓦列里在他的著作中記載到:祖暅原理的發現比卡瓦列里原理早1 000多年)．

本節課采用借助數學史的方式將以上歷史素材融入球的體積公式的推導教學．在新課伊始,借助“祖暅原理”引出如何計算球的體積,借助實驗向學生介紹球的體積的推導過程,提升學生的文化涵養．

2 教學過程

2.1 導入問題,激發學習興趣

導入語:在生活中,存在著各式各樣的球體,大到地球、小到微觀粒子,球體無處不在．公元6世紀時祖暅沿用劉徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用該原理巧妙地計算出球體積公式.今天就讓我們跟隨歷史上數學家的足跡,一起來研究球的體積．

問題1如何測量出一個實心球的體積?根據課前布置任務,請各小組推薦代表交流展示研學成果．

生:利用“排水法”,將球放進有水的圓柱形杯子中(圖1),通過前后水位高度差可求出球的體積．

圖1

生:利用日常生活中常見的球形物體,通過量筒、直尺等工具所得到的數據(圖2),發現半徑和體積之間的關系可用冪函數去擬合(圖3),我認為球的體積公式應該是一個冪函數模型．

圖2

圖3

師:用“排水法”求球的體積是可行的,它是偉大的數學家阿基米德發現的．但是當球的大小變化時,每次都用“排水法”測量還是比較費事,同時通過分析數據建立球體積公式的模型是存在一定誤差的．我們需要尋求一個更一般的體積公式．這就是我們今天要探討的主要問題．

設計意圖通過課前的研學方案、課堂上的集中展示,培養學生在解決問題時動手操作、主動思考的好習慣,以及敢于質疑、敢于創新的探究精神,為本節課的學習做好鋪墊．

2.2 自主探究,研究公式生成

問題2根據前面的學習,我們知道同底等高的柱體體積是錐體體積的3倍.觀察以下三個幾何體(圖4),請問V圓柱,V半球,V圓錐這三個量大小關系如何?

圖4

生:根據圖形外觀來看,半球是介于圓柱和圓錐之間的一個幾何體,得V圓錐

生:還可猜想到V半球=V圓柱-V圓錐．

設計意圖通過三個幾何體的比較,可有效地引發學生進行猜想,學生的思維在問題的引導下逐漸趨于明朗,雖然目前還不能確定猜想是否正確,但是為接下來的公式探究做好了鋪墊．

師:我們不妨做一個試驗,用以驗證V半球=V圓柱-V圓錐這個猜想．

生:把圓錐放入圓柱中,然后將半球中的沙子倒入圓柱后我發現沙子剛好填滿．

師:通過前面的實驗探究發現,半球的體積等于從圓柱里面挖去一個同底等高的圓錐之后形成的幾何體的體積．但是數學是建立在推理的基礎上的,實驗結果是否可靠?我們還要從理論層面對球的體積進行論證才行．

設計意圖通過設置探究問題,讓學生通過直觀感知和操作確認,建構對球的體積的認知．鼓勵學生猜想,從猜想入手,先猜后證,激發學生的學習興趣,讓學生發現并體驗數學的美．

問題3祖暅原理是什么?

播放祖暅生平和主要成就的微視頻(圖5)．

圖5

祖暅在6世紀初提出了“祖暅原理”,比意大利數學家提出的“卡瓦列里原理”早了1 000多年,由此可見,他對數學的發展作出了卓越的貢獻．

問題4根據祖暅原理的使用條件,如何才能構造出兩個符合祖暅原理的幾何體來證明球的體積?

生:設法找到與半球“同底等高,截面積相同”的等積幾何體．

問題5如何構造幾何體?若把圓錐正放在圓柱內(圖6),這種構造方式是否滿足祖暅原理的條件呢?

圖6

生:從圖6中截面的特殊位置就可以看出不滿足祖暅原理,當截面處于最上方時,平面截半球的截面面積為0,此時幾何體的截面積為一個圓．

問題6應如何構造幾何體,才能讓它們滿足祖暅原理的條件呢?

活動 小組合作探究,并邀請小組推薦代表展示成果．

生:根據平面截半球的截面面積的代數式S=π(R2-h2)=πR2-πh2(0≤h≤R)(圖7),分析可知,關鍵是要找到一個可計算體積的替代幾何體,使其任意截面是一個面積為πR2的截面挖去一個面積為πh2的截面.可以考慮截面為圓環的情況,當h從0變化到R時,可以發現,變化規律與在底面半徑和高均為R的圓柱內挖去一個同底等高的倒立圓錐吻合(圖8)．

圖7 圖8

師:同學們觀察得比較到位,我們可以構造以下的圓錐和圓柱的組合體(圖9)．

圖9

問題7請同學們推導球的體積公式,小組展示．

教師利用多媒體展示動圖,增強結論的可視性．

設計意圖引導學生對代數式進行變形,根據代數式結構,可聯想構造出圓環,從而進一步構造出“等積體”．引導學生從理論層面探索新知,滲透轉化祖暅原理思想．既培養學生空間想象能力,又滲透數學文化,增強學生的民族自豪感和文化自信．

2.3 遷移創新,解決問題

例1設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,求該球的體積．

變式1 正方體的內切球．

變式2 球與正方體的各條棱相切．

圖10 圖11 圖12

變式3 長方體的外接球．

設計意圖進一步讓學生體會不同幾何體之間的關系,培養學生邏輯推理、直觀想象的核心素養．

2.4 回標鞏固,生成問題

一個球內切于一個圓柱,這個球的面積、體積與圓柱的表面積、體積之間具備怎樣的關系?

設計意圖此題答案在阿基米德的墓碑上能清晰地看到．將數學史料滲透到練習中,能有效推動學生探索、求知的欲望．

2.5 課堂小結

本節課學習了哪些知識和思想方法(圖13)?

圖13

3 教學啟示

3.1 課前探索,培養創新能力

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的課程基本理念第三條指出:“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式”[1]．本節課在課前給學生提供了相關的學習材料和探究方向,讓學生經歷探索、操作和思考,自主發現知識,通過排水法、函數擬合等探究方式理解并掌握球體積公式的推導原理,增強了學生的自學能力,培養了學生的創新能力．

3.2 實驗探究,提升核心素養

美國教育心理學家奧蘇貝爾認為,有意義的學習過程就是將新知識納入學生原有的認知結構的過程,并使原有的知識結構不斷得到改組．在課堂中融入數學實驗,根據實驗結果,鼓勵大膽猜想,為問題探究和結論推導提供了平臺,同時也促進了學生對相關知識的吸收掌握以及核心素養的培育．本節課通過小組推薦代表展示實驗的過程和結果匯報,產生并解決了學生的疑惑(“如何將圓錐置于圓柱中,以符合祖暅原理的條件”),從而提高了數學學習的趣味性．

3.3 重塑歷史,浸潤數學文化

本節課從引導學生回顧柱體、錐體和臺體的體積問題解決方案的過程中,比較得出球體美的結構中蘊含著其體積問題的高難度．導入球體積簡史,讓學生感知古代數學家在解決實際問題中所遇到的困難,提出“用祖暅原理解決球體積問題應如何構造與半球體積相等的幾何體”這個問題．球的體積公式的推導方法凝聚了幾千年數學發展中的創新精神和理性精神,閃耀著人類智慧的光芒．讓學生了解知識的歷史發生過程,讓文化浸潤課堂．