注重思維探究 促進能力提升 助力學生生長
——微專題“離心率的計算”的教學思考

尤為軍

(江蘇省鹽城市第一中學 224005)

1 學情分析

教學對象是四星級高中的高三物生政組合普通班學生,學生整體基礎較好,有較強的自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力．

2 課標解讀

圓錐曲線是高考數學中重點考查的內容之一,而離心率計算問題是解析幾何中的高頻考點,也是難點問題,因為離心率是刻畫圓錐曲線形狀的一個基本量,能考查考生對圓錐曲線形狀最本質的理解,考查數學抽象、數學建模、數學運算等數學核心素養,靈活多變,綜合性強,一般主要出現在客觀題中．

教學目標 (1)理解研究圓錐曲線中離心率問題的本質就是研究三個參數a,b,c的關系;(2)掌握用代數法和幾何法解決圓錐曲線中的離心率問題;(3)提高觀察、分析、概括的能力,體會數形結合和轉化與化歸的數學思想．

教學重點 能用幾何法解決圓錐曲線中的離心率問題．

教學難點 合理選擇代數法和幾何法解決圓錐曲線中的離心率問題．

3 過程實錄

3.1 復習回顧,建構體系

師:近三年高考全國卷都考查了離心率問題,如何求離心率?

生:求離心率就是根據已知條件尋找三個參數a,b,c的關系,具體地可以根據圖形的幾何性質建立函數模型(或方程)．

3.2 課前自測,總結方法

課前投影練習,學生現場熱身．

圖1

設計意圖通過熱身練習的現場解答和師生互動交流,引導學生抓住圖形的幾何特征,用解析法(坐標刻畫點)圍繞斜率這一幾何量建立a,b,c的等式關系．

3.3 鏈接高考,感受真題

師:這是2022年全國乙卷(理)第11題,主要以焦點三角形為背景,考查雙曲線離心率的問題,該如何處理?

設計意圖高考試題既服務選才,又引導教學．通過研究高考真題,強化知識綜合運用,突出深化思維能力培養和問題本質探究,因此要研究試題,捕獲試題的難度等,抓住本質,歸納方法．

(思考幾分鐘后)

圖2

師:很好!思路清晰,思維嚴謹,抓住了焦點三角形的幾何特征,利用處理三角形問題的兩個重要定理(正弦定理、余弦定理)建立a,b,c的等式關系進而求解．

(此時學生2舉手)

圖3

師:兩位同學分別從不同角度求出NF2的值(生1從正弦定理角度,生2利用“化斜為直”思想構造直角三角形),然后再用余弦定理建立a,b,c的等式關系．

(片刻后生3主動站起來)

師:很好!思考問題的角度非常好,用雙曲線幾何特征比用余弦定理運算過程簡化了很多．

(生4舉手)

圖4

生4:我覺得應該還有一種情形,因為條件中直線與雙曲線相交于兩點,兩點可能在左支,也有可能在右支(其他學生發出驚訝聲)．由于我們習慣上畫的是交于兩支的情形,所以容易遺漏另外一種情形(此時生4主動到教室前面投影自己畫的相交于一支的情形(圖4))．

師:太棒了!生4的思維很縝密,對直線與雙曲線相交于兩點這一條件轉化得很到位,實際上高考考場上絕大部分考生都沒有考慮到第二種情形,讓我們把掌聲送給生4(掌聲)．

有時,學生不缺少思路,“路線圖”和“方向標”也沒有遺失,只是個別細節忘了或想不到,而這個細節往往決定成敗,是思維品質高低的體現．

設計意圖在高三復習中,一方面要在大單元教學理念下引導學生重視知識網絡的構建,另一方面要積極引導學生看清問題,準確轉化條件,探索解決問題的思路,做好“一題多解”的訓練與反思,簡化計算．在思考過程中,通過反思不斷優化思維過程,不僅能提高學生思維的敏捷性,更能幫助學生形成嚴謹求實的科學精神,真正促進學生思維生長．

3.4 效果檢測,理解運用

設計意圖通過效果檢測,加深了學生對此類問題的認識,突出知識方法的本質、問題解決的思想性,能讓學生的核心素養得以提升．解題時,應準確理解題意,通過畫“草圖”等手段,把“幾何關系”轉化為“代數關系”,用適當的語言表達出來．同時要強化題后小結,提煉出一些對學生來說可實行、易操作的具體策略,讓學生在以后此類問題的解決過程中感到不空洞、有抓手．

4 教學感悟

高三數學二輪復習是學生查漏補缺、完善知識體系、提高分析問題和解決問題的能力、發展數學核心素養的關鍵階段．在二輪復習中,常使用微專題復習課的形式選擇合適的角度進行知識重難點的突破,幫助學生針對性地解決問題,實現快速提升．因此,在微專題復習課的設計與教學中須注意以下幾點．

(1)建構單元知識網絡

目前新課改理念中提出高中數學大單元教學,這就要求教者通過對微專題所屬知識板塊的整合,把該板塊的基礎知識和典型問題有機地整合在一起,體現知識的整體性、系統性,有利于學生從整體上把握并理解知識內涵,發展學生多角度分析和解決問題的能力[1]．

(2)培養理性邏輯思維

“一核四層四翼”高考評價體系,標志著高考評價理念向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合評價進行轉變．需要潛移默化中培養學生五項關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力,所以教學過程中應注重培養學生觀察、分析、歸納、猜想、論證的能力．認真琢磨其本質,基于學情,科學、合理、有序地組織學生進行相關的數學探索活動,教學設計中通過縱橫聯系,將孤立問題串起來,通過變式拓展,讓學生的思維沉下去,能力升上來．培養理性思維和理性精神,這也是數學教學的基本目標之一[2]．

(3)提煉基本數學思想方法

二輪備考中,在數學必備知識的基礎上,強化知識在學習和運用中的核心素養培養和發展;以數學的基本思想、基本方法為引領,提升解題水平的理論支持．數學方法具有高度的抽象性、概括性,邏輯的嚴密性,應用的普遍性和可操作性．教師可為學生呈現不同類型的題目,讓學生通過觀察、比較、猜想、分析等一系列活動理解問題的本質,同時引導學生進行解題總結回顧,概括提煉基本思想和方法,有助于學生數學基本活動經驗的積累與完善[3]．

微專題最為突出的特點就是對數學題進行了深度挖掘,以“原題”為本,根據學生的認知規律作深思,設計出不同層次的探究題,知識內容深刻,蘊含思想方法,能加深學生對此類問題(細節)的理解,提升學生在細微方面的解題能力,達到“做一題、會一類”的境界．