圍繞核心問題 落實核心素養
——“同角三角函數的基本關系”教學設計與思考

惠 宇

(江蘇省無錫市第一女子中學 214002)

1 教學背景

人教A版普通高中教科書于2019年由國家教材委員會專家委員會審核通過,并于2020年秋學期全面印發使用.人教版新教材從教學理念到內容編排均有較大變化,更加注重真實情景的應用、知識內在的聯系、學科邏輯的建構、學生素養的落實及能力的培養.在此背景下,筆者應邀于2021年12月在江蘇省無錫市青山高級中學參加主題為“構建沉穩課堂,實現靈動教學”的教學研討活動,并開設題為“同角三角函數的基本關系”的教學研討課.本文就本節課的教學設計談談對新教材使用的教學理解和思考.

2 教學過程

2.1 復習回顧,啟發新知

問題1上節課我們在單位圓的基礎上學習了任意角三角函數的定義及其在各個象限的符號,請同學們回憶一下,我們是如何定義一個角的三角函數的?其所在象限的符號呢?

設計意圖三角函數定義既是上節課教學內容的核心,又為這節課探究同角三角函數基本關系奠定理論基礎,是學生知識的源點、探究的起點、素養提升的立足點.通過對三角函數定義及 各象限符號的復習,既了解學生的知識基礎,也為實現知識的發展、深入、聯系、貫通提供抓手和保證.

2.2 回歸定義,建立聯系

師:為了解決這一問題,我們需要找到sinα,cosα,tanα之間的關系.說說你的發現.

師:“回到定義中去”是著名數學家波利亞在其著作《怎樣解題》中所闡述的一項重要的解題思維策略.這兩組關系可以由定義直接得到,因此被稱為同角三角函數的基本關系.

思考1 當角的終邊與坐標軸重合時,這個結論也成立嗎?

思考2 對任意角α,這兩個關系都成立嗎?

設計意圖圍繞核心問題提出反映這節課探究主線的問題情境,即同角的正弦、余弦、正切之間所滿足的關系.新課標及教材更加注重知識的本質及知識結構的邏輯聯系.本節課的探究主線是回歸定義得出同角三個三角函數之間的內在聯系,這樣的設問既建立在學生已有知識的基礎上,又引發學生認知發展的需要,從知識的內在聯系中實現思維水平的必然深入和素養能力的必然發展.

2.3 深入辨析,深化理解

小試牛刀:判斷下列結論是否正確.

(1)sin2123°+cos2123°=1;

(2)sin230°+cos260°=1;

(7)sin230°-cos230°=1;

問題3你是如何理解“同角”的?關系式是哪些量之間的關系?具有怎樣的結構特征?(同角與角的形式無關,同角三角函數基本關系是正弦、余弦、正切三者之間的平方關系和商數關系)

設計意圖通過對結論核心概念的辨析、基本關系的認識以及本質結構的觀察,學生進一步強化了對關系式的理解,為應用和推演結論提供保障.關系式的核心概念是“同角”,從本質結構上分析,關系式是同角三角函數之間所滿足的一組方程組.因此,同角的正弦、余弦及正切這三者之間可以“知一求二”,這一點在其后由學生自行得出.通過“小試牛刀”和問題3的設計,引導學生自主建構“同角”的概念,自主辨認關系式的結構,主動體會關系式就是方程,利用關系式解決問題的過程就是解方程(組)的過程.

2.4 探究應用,發散思維

問題4回到問題2,是否存在同時滿足三個三角函數值的角α?(不存在)請你選擇其中一個或幾個(如果需要)作為條件,求出角α的其他三角函數的值.

學生自主選擇條件.大部分學生選擇其中一個作為條件,應用同角三角函數的兩組基本關系求出該角其他三角函數的值.少數學生先是選擇兩個作為條件,但在計算過程中主動發現了矛盾并修正.極個別學生選擇兩個三角函數值進行計算.

條件3 已知tanα=2,求sinα,cosα的值.

師:大部分同學都選擇其中一個作為條件,就能求出這個角的其他三角函數的值.請你說說這樣選擇的理由.

生:同角三角函數基本關系相當于已知正弦、余弦、正切之間所滿足的一組方程組.要求解這三個未知量,只要再給出一個條件即可.

師:我們通過探究得出同角三角函數之間的關系,你能直接由正弦或余弦求出正切嗎?

師:如果已知余弦求正切呢?

2.5 創新思維,拓展延伸

師:你還能將這一基本關系變形得到其他一些結論嗎?

生2:(sinα±cosα)2=sin2α±2sinαcosα+cos2α=1±2sinαcosα.

師:很好.為了證明(*)式,除了直接利用公式變形以外,還有其他方法可以證明嗎?

分析法(略).

設計意圖同角三角函數基本關系揭示了同角正弦、余弦、正切的內在聯系.對關系式變形的過程既是將結論等價轉化證明三角恒等式的過程,又是創造性地應用關系式發現新命題、建立新聯系的創新過程.因此在教學中,筆者整合教材例題,引導學生在利用關系式進行證明的同時,啟發學生進一步深入對關系式的理解與思考,進一步強化對同角三角函數基本關系的抽象認識,進一步體會數學學習過程是發現、創造的過程,從而提升學生數學抽象與邏輯推理水平,實現理性思維及創新能力的提高.

2.6 歸納總結,凝練提升

師:這節課我們研究了哪些公式?這些公式是怎么來的?主要有哪些應用?

師:利用這一關系我們可以衍生出一系列三角恒等式.這節課我們所研究的同角三角函數的基本關系可以直接由定義得出,并且也是這些恒等關系中最基本的一個,因此我們稱之為同角三角函數的基本關系.

圖1

設計意圖通過學生自己歸納總結,實現對課堂核心知識的凝練與提升,體會知識發生與生長的脈絡.最后通過回歸單位圓和三角函數的發展史,不僅激發學生數學學習興趣,感受數學之美、探究之趣,更促其形成科學和完整的知識體系,為建立知識間更加廣泛的聯系奠定基礎.

3 教學思考

3.1 圍繞核心問題設計教學意圖明確的教學過程

人教A版新教材與原教材相比更加注重知識結構的整體性,突出“主線—主題—核心內容”的基本脈絡,揭示數學學科本質.在教學中,這不僅需要教師立足課程整體理清知識脈絡,更需要教師在章節教學明確教學意圖,設計基于單元整體的結構化教學過程,使得教學內容更為系統,知識結構更為完整,思維層次更加豐富,從而形成前后一致、邏輯連貫、更加科學的教學體系.

本節課圍繞的核心問題是研究“同角三角函數的基本關系”,什么是“同角”?為什么稱之為“基本關系”?這既是對核心內容的辨析,又是對探究主線的體現.因此,筆者通過預設教學意圖明確的六個環節,從定義、辨析、應用的知識維度和化歸、聯系、創新的能力維度對本節課研究的核心進行整體、多維、結構化的教學設計.人教A版教材采用單位圓法定義三角函數,將坐標定義法作為例題,這樣的邏輯順序不僅遵循三角函數的發展史,揭示其本質,更體現了從特殊到一般的數學研究思路以及轉化與化歸的數學思想方法,引導學生思維層層遞進.

3.2 圍繞核心問題整合意義廣泛聯結的教學內容

數學知識之間具有廣泛的聯系.這種聯系越豐富,與已形成的認知結構的關聯就越密切,越容易被學生接受和理解,促使發散思維與創新能力的發展.本節課內容在教材中僅占2頁篇幅,然而其研究對象和研究方法既是對三角函數概念的深入,又為誘導公式的推導提供指引,既回歸三角函數概念的本質,又體現其在三角恒等關系中的基本地位,從知識內容到知識體系,從邏輯結構到思想方法都具有廣泛聯系.

教學內容整合的重點是從知識起點、關鍵問題、學科邏輯、思維體系等角度出發,通過對教學內容的系統梳理,進行必要的整理、加工、補充或調整.教材在探究得到同角三角函數的基本關系后設置了已知sinα,求cosα,tanα和證明三角恒等式兩個例題.在本節課教學中,筆者圍繞核心問題,將例題的求解與核心內容的探究相整合.例如:問題2的設置是在學生復習三角函數的概念之后引發其認知沖突,將本節課研究方向指向同角三角函數之間的關系;問題4的設置既是對問題2的解決,又引導學生進一步思考需要已知一個角的幾個三角函數值可以求出這個角其他三角函數的值,整合了教材中第一個例題的解決;問題5的設置是引導學生自主對同角三角函數基本關系進行變形,在得到系列三角恒等式的過程中體會“基本”的含義,同時也整合了教材中三角恒等式的證明.在提出問題、解決問題的過程中實現從知識到技能,從應用到思辨意識、創新能力、發散性思維等品質的多元融合發展.

3.3 圍繞核心問題實施學生深度參與的教學活動

學生是課堂教學的主體,學生在教學活動中的深度參與和理解是教學有效性的重要依據.當下,“深度學習”已成熱詞,一些教師在課堂教學中的確設計了一些學生參與度很高的探究活動.學生表面在討論、在研究,但每一個探究問題,教師設計后都準備好了一套解決的思路、方法和標準答案.對于這樣的課堂探究,學生真正的自主非常有限,很難從真實情境中提出真實的數學問題加以探究解決,思維的深度參與則更難實現.例如,學生在得出同角三角函數的基本關系之后,再用幾道例題加以應用,也能“熱鬧”地總結出“知一求二”這一結論.然而這樣的認知是不深刻、不能反映問題本質的.同角三角函數的基本關系反映的是sinα,cosα,tanα所滿足的兩組三角恒等式,而兩個方程無法求解三個未知量,因此只需要再給定一個三角函數的值.“知一求二”的過程實則是解方程組的過程.筆者通過設置“請你選擇其中一個或幾個(如果需要)作為條件,求出此時角α的其他三角函數的值”這一開放的設問方式,給學生提供自主思考或試錯的機會,主動辨清同角三角函數的內在關系,回歸“知一求二”這一結論的本質.

全美數學教師理事會(NCTM)在其課程標準中指出:“我們的教學應給學生提供這樣的機會——從給定情境中提出問題,或通過修改已知問題的條件去產生新的問題.”實現學生深度參與和理解的教學活動,需要教師在備課時設置圍繞教學核心問題的、有一定知識儲備作支撐的、有一定數學思想和策略作引領的問題情境,從而使學生能主動發現和提出問題,獨立分析和解決問題,在應用、思辨、試錯、糾正、表達中實現深度參與,獲得真知,發展能力.

4 結束語

知識不僅是教學研究的對象,更是素養育成的載體.數學教育本質上是一種素質教育,而非知識教育.在新高考、新課標、新教材引領下,我們更應將教學著眼于實際應用、跨學科融合以及人的發展,將教學圍繞核心問題,指向學科本質,凸顯對學生素養的培養.