夯實必備知識 發(fā)展關(guān)鍵能力 提升數(shù)學素養(yǎng)
——高考數(shù)學函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程與不等式的命題特點及解法探略*

張 興

(寧夏回族自治區(qū)固原市第二中學 756000)

函數(shù)知識是高中數(shù)學的重要內(nèi)容．函數(shù)思想和方法貫穿于高中數(shù)學全過程;不等式與方程是函數(shù)的特殊形態(tài);導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的工具,也是中學數(shù)學與大學數(shù)學知識的交匯點．所以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式和方程是高中數(shù)學最基礎(chǔ)又具廣闊發(fā)展前景的知識模塊,它承載著許多重要的數(shù)學知識、方法和思想,能夠集中體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)．本文就以高考數(shù)學函數(shù)模塊的題型結(jié)構(gòu)及解法探究為話題,研究如何利用數(shù)學必備知識,發(fā)展學生數(shù)學關(guān)鍵能力,達到提升學生數(shù)學學科素養(yǎng)的目的．

1 夯實必備知識

1.1 理解函數(shù)概念

函數(shù)概念是函數(shù)模塊的核心概念和主干知識,主要包括映射與函數(shù)概念,函數(shù)的定義域、值域和解析式等知識．其中解析式是三要素中最具活力的要素,它是函數(shù)的代數(shù)呈現(xiàn)形式,函數(shù)的定義域、值域等所有性質(zhì)都與解析式有著千絲萬縷的聯(lián)系,因而以解析式為載體求函數(shù)值、求最值、求參數(shù)是高考試題經(jīng)久不衰的熱點．

例1(2018全國新課標Ⅱ卷文12)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )．

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),且f(1-x)=f(1+x),所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),故T=4．因此,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)．因為f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0．又f(2)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0,從而原式=f(1)=2．

評析本例先利用函數(shù)的奇偶性和對稱性確定其周期為4,得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,轉(zhuǎn)化為求f(1)+f(2),而函數(shù)方程f(1+x)=f(1-x)可用特值法求出f(2)．這類考試題都是以函數(shù)概念為背景,涉及解析式、函數(shù)值、最值、值域、奇偶性和對稱性等,主要考查學生對函數(shù)概念及其本質(zhì)的理解,考查學生的數(shù)學抽象能力、轉(zhuǎn)化化歸能力和運算求解能力,指向于學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算核心素養(yǎng),其解答程序為:條件→解析式→結(jié)論．

1.2 把握函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是函數(shù)模塊的主干知識,主要包括作圖、識圖和用圖三個層面,它是函數(shù)的直觀呈現(xiàn)形式,融函數(shù)概念及函數(shù)性質(zhì)于一體,是數(shù)形結(jié)合的典范,因而也是高考試題經(jīng)久不衰的熱點.以函數(shù)圖象為背景,涉及函數(shù)的對稱性、零點、交點等問題的題型是高考中常見的題型．

A．0 B．mC．2mD．4m

1.3 掌握函數(shù)性質(zhì)

以函數(shù)性質(zhì)為背景,涉及比較大小、解不等式、求參數(shù)范圍等問題的題型在高考中屢見不鮮.不等式是函數(shù)的非零點形態(tài),因而所有的不等式都有它自己特殊的函數(shù)背景,所以函數(shù)的思想方法也是解決不等式問題最基本、最有力的工具,特別是函數(shù)極值和單調(diào)性,更是比較大小和解不等式的重要工具．

例3(2015新課標Ⅱ卷理12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )．

A．(-∞,-1)∪(0,1)

B．(1,+∞)∪(-1,0)

C．(-∞,-1)∪(-1,0)

D．(1,+∞)∪(0,1)

評析從上述例題可以看出,以函數(shù)為背景的不等式問題,其解答首先要找到不等式問題的背景函數(shù),進而討論其單調(diào)性或者作出圖象,最后利用單調(diào)性或者圖象比較大小與解不等式．主要考查比較大小、解不等式、不等式成立求參數(shù)范圍等問題,考查學生的轉(zhuǎn)化化歸能力和運算求解能力．指向于學生的直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng)．

1.4 熟練計算導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具,導(dǎo)數(shù)為零是函數(shù)在該點取極值的必要條件;二階導(dǎo)數(shù)為零是該點為函數(shù)拐點的必要條件;函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在該點的切線的斜率;定積分則是函數(shù)圖象圍成的曲邊梯形的面積．這些知識是解決以導(dǎo)數(shù)運用為背景,涉及函數(shù)的單調(diào)性、極值、切線與積分等問題的基本法則．

例4(2014新課標Ⅱ卷文11)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是( )．

A．(-∞,-2] B．(-∞,-1]

C．[2,+∞) D．[1,+∞)

評析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,函數(shù)圖象的切線,曲邊梯形的面積存在密切的聯(lián)系．有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的題型主要考查二次、三次、指數(shù)與對數(shù)的復(fù)合函數(shù)、混合函數(shù)的性質(zhì)特點,涉及函數(shù)的單調(diào)性、極值、極值點、值域,函數(shù)圖象的切線,積分等問題．切線問題的解答范式:導(dǎo)數(shù)→切點→斜率→切線;單調(diào)極值問題的解答范式:定義域→導(dǎo)數(shù)→駐點→列表→圖象,主要考查學生的轉(zhuǎn)化化歸能力和運算求解能力．指向于學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．

2 發(fā)展關(guān)鍵能力

高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題,涉及函數(shù)內(nèi)容的各個方面與各個層次,基本上每年的第一問都是從切線問題、單調(diào)性與極值這兩個問題中選一個．通過對高考試題解答方法的分析、提煉,就會發(fā)現(xiàn)通性通法與靈活化歸是解題的主要策略．

2.1 運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理切線問題

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)圖象在該點切線的斜率,因而我們可以利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖象的切線問題．

例5(2016新課標Ⅱ卷文20)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)．

(1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)略.

評析切線問題涉及過曲線上某一點的切線,大多與求參數(shù)值結(jié)合在一起,或者求切線方程,這類題的解析過程實際上就是知識的形成過程．其核心步驟為求導(dǎo)數(shù)、寫切點(有則寫,無則設(shè))、求斜率、寫切線,有字母則需列方程和解方程．

2.2 運用導(dǎo)數(shù)的函數(shù)意義處理單調(diào)極值問題

由導(dǎo)數(shù)的函數(shù)意義可知,若函數(shù)在某區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值為正,則在該區(qū)間上為增函數(shù);若函數(shù)在某區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值為負,則在該區(qū)間上為減函數(shù);函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)值為0,則在這一點可能取得極值．因而可以利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值問題．

例6(2012新課標卷文21)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞, +∞),且f′(x)=ex-a．當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).當a>0時,令f′(x)=ex-a=0,得x=lna．令f′(x)>0,得x>lna,所以f(x)在(lna,+∞)上是增函數(shù);令f′(x)<0,得x

評析函數(shù)單調(diào)性、極值與最值題型,根據(jù)參數(shù)所居位置的不同,有時求零點時討論;有時比較零點大小時討論;有時判斷導(dǎo)數(shù)符號時討論,如第(2)題在判斷符號時討論參數(shù)．討論參數(shù)的取值,簡單一點的根據(jù)參數(shù)本身的特征,如分式的分母不為零等;復(fù)雜一點的要考慮自變量x的取值范圍,如第(2)題參照x范圍討論．這類題解答的基本模式是:求定義域、求導(dǎo)數(shù)、求極值點、判斷符號、回答問題．

3 提升數(shù)學素養(yǎng)

高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的第二問都是從求參數(shù)值或范圍、證明或解不等式、方程的根及函數(shù)零點這三個問題中選一個．

3.1 求參數(shù)

關(guān)于參數(shù)范圍問題,從內(nèi)容上看大多為指數(shù)型函數(shù)的混合函數(shù)或復(fù)合函數(shù),從解答方法上看是導(dǎo)數(shù)函數(shù)意義的逆向思考法．其解答方法主要有三種:第一,討論參數(shù)法,根據(jù)參數(shù)本身的特征或參考x的取值范圍,討論參數(shù)的幾個取值范圍,否定不適合條件的參數(shù)范圍,肯定適合條件的參數(shù)范圍,如上例(1)解法;第二,分離函數(shù)法,將已知式子轉(zhuǎn)化為指數(shù)式(或?qū)?shù)式)≥函數(shù)的形式;第三,分離參數(shù)法,從原式中分離參數(shù)或參數(shù)式,利用“a≥f(x),則a≥max{f(x)}”,轉(zhuǎn)化為最值問題求解．

例7(2010新課標卷文21)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2．

栽植經(jīng)濟林、喬灌木年吸收CO2 40萬 t，提高固碳能力 11萬 t/a，改善流域生態(tài)環(huán)境；配套水源工程6 000余處，發(fā)展節(jié)水灌溉；改造中低產(chǎn)田，調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，為新農(nóng)村建設(shè)提供優(yōu)質(zhì)生產(chǎn)資料；建設(shè)農(nóng)路，村莊綠化183萬m3。據(jù)統(tǒng)計，通過生態(tài)清潔小流域建設(shè)，發(fā)展了“一村一品”“一溝一品”“一山一品”“一流域一品”，涌現(xiàn)出一批各具特色的經(jīng)濟溝域，治理區(qū)農(nóng)民累計直接增加收益2億多元，人均超過600元，年人均增收20%以上。

(2)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍．

(2)f(x)=x(ex-1-ax)．令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a．若a≤1,則當x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,從而當x≥0時,g(x)≥0,即f(x)≥0．若a>1,則當x∈(0,lna)時,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當x∈(0,lna)時,g(x)<0,即f(x)<0．綜合得a的取值范圍為(-∞,1]．

評析對于不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,可以利用分離參數(shù)法,也可以直接使用討論參數(shù)法,把不適合條件的參數(shù)范圍排除,保留適合條件的參數(shù)范圍,其難點是分類討論的時候需要參考自變量的取值范圍．

3.2 證明不等式

例8(2013新課標Ⅱ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當m≤2時,證明f(x)>0．

解析2 (1)略.

(2)當m≤2時,x∈(-m,+∞),ln(x+m)≤ln(x+2),只需ex≥ln(x+2),而ex≥x+1≥ln(x+2),即證．

評析本例第(2)問為函數(shù)不等式,其證明有兩種方法:一是利用函數(shù)的方法進行證明,即要證明f(x)>0只需要證明f(x)的最小值大于0;二是利用不等式放縮的方法進行證明,這種證明方法的關(guān)鍵是利用常用不等式ex≥x+1, ex≥ex,lnx≤x+1,ln(x+1)≤x等．

3.3 方程根及函數(shù)零點的問題

例9(2018新課標Ⅱ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1,證明:當x≥0時,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a．

解析 (1)當a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0．設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x= -(x-1)2e-x.當x≠1時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,而g(0)=0,故當x≥0時,g(x)≤0,即f(x)≥1．

評析解決第(2)問的關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)區(qū)間和極值,再結(jié)合零點存在性定理即可解決．

4 結(jié)語

綜上所述,高考數(shù)學函數(shù)模塊試題可分為兩大類:第一類是主干知識的基礎(chǔ)全覆蓋題型,這類試題以數(shù)學知識方法為目標,包括函數(shù)模塊知識的“來龍”——集合問題,函數(shù)模塊知識的“現(xiàn)世”——函數(shù)概念性質(zhì)和應(yīng)用問題,函數(shù)模塊知識的“去脈”——線性規(guī)劃問題．第二類是主干知識的提高全覆蓋題型,這類試題以數(shù)學思想、數(shù)學能力為目標,涉及切線問題、單調(diào)性與極值、求參數(shù)值或范圍、證明或解不等式、方程的根及函數(shù)零點問題．學生的數(shù)學核心素養(yǎng)不是孤立存在的,而是互相依存、互相滲透的,所以學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)必須以系統(tǒng)觀為視角,利用數(shù)學必備知識發(fā)展學生數(shù)學關(guān)鍵能力,這是提升學生數(shù)學學科素養(yǎng)的不二法門．