提取“數的大小比較”為大概念的依據及教學思考
——以人教版一道習題為例*

萬福昌

(江蘇省蘇州市陸慕高級中學 215131)

全國高考卷常出現數的大小比較問題,如2020年全國Ⅰ卷理科卷、2021年全國Ⅰ卷理科卷、2022年全國新高考卷等．數的大小問題也高頻出現在各種模擬試題中,引起了許多一線教師對數的大小比較問題進行探究．數的大小問題不僅是考試的熱點,也是高中數學教學的難點之一．本文以人教版教材一道對數比較大小習題為例,探究解決數的大小比較問題的思路和方法,依據新課標,基于大概念觀點,小中見大,呈示解法,把握解法本質,籍此闡釋提取“數的大小比較”作為大概念的依據,并對該問題的教學進行思考．

1 習題及解法探究

題目比較log23,log34,log45三個數的大小．(人教A版必修第一冊第141頁第13(2)題)

考慮到學生解題有難度,故將題目放置在教材“拓廣探索”題中．多數教師在教學中發現:學生由于剛剛學完對數函數一節內容,沒有對數大小比較的解題經驗,在解決本題時確實感到困難．

·思路1——倍增法

解法1因為5log23=log2243∈(7,8),5log34=log31 024∈(6,7),5log45=log43 125∈(5,6),所以5log23>5log34>5log45,從而 log23>log34>log45．

說明從數的角度看,倍增法就是將數值接近的數改變倍數,拉開差距,再進行比較．依據不等式性質a>b?ka>kb(k>0)．從形的角度看,由klogam=logamk,對數函數圖象上的點(m,logam)和(n,logbn)分別變為(mk,logamk)

(k>1),(nk,logbnk)(n>1),兩點之間的距離變大,更易觀察函數值的差異．若僅比較log23和log34的大小,只要同乘以2即可．

·思路2——減數法

說明從數的角度看,每個數先減去2再進行比較．為什么兩個數的絕對差值沒有變化,卻能便于比較呢?我們還要看到背后的數學本質．我們從形的角度看,同減去2使得真數值發生了變化,相當于將函數圖象上的點變換到圖象左側更陡的一段上,拉開了兩點的距離,便于確定中間數．

以下解題思路和解法,都可從數或形方面理解,不再在說明中具體闡釋．

·思路3——中間值法

說明中間值法難點在如何確定中間值．微調真數的根指數,湊成底數的指數冪形式后放縮,這是解題的關鍵．其本質就是放縮成同底數的對數函數,運用對數單調性進行大小比較．

·思路4——作差法

·思路5——作商法

說明作商法是比較大小的常用方法．作商后一般用換底公式化為同底對數,再湊成底數的指數冪形式,進行真數放縮,達到與1比大小的目的．

·思路6——斜率法

說明根據已知構造分式結構,運用數形結合思想,聯想兩點的斜率,即一次函數的一次項系數,畫圖,由直觀得出結論．

·思路7——構造函數法

說明構造函數,求導后判定函數的單調性,繼而進行數的大小比較．

·思路8——化指數法

說明指對數互化是解決指對數問題的常用方法之一．對數式化為指數式,巧變為3y-x與1的比較,基本思路是產生指數y-x,思路簡單自然．解法11和解法12參考了文[1][2]．

·思路9——換底不等式法

結論1 設n>m>1,p>0,q≥1,則有logpm+q(pn+q)

具體證明過程參閱文[3],運用結論1可以快捷獲解．

解法13當p=1,q=1時,分別取m=2,n=3和m=3,n=4,有log23>log1×2+1(1×3+1)>log1×3+1(1×4+1),即為log23>log34>log45．

結論2 設n>m>1,p>0,q≥1,則有logpmpn

具體證明過程參閱文[3],運用結論2可以快捷獲解．

說明結論1和結論2稱為換底不等式．

·思路10——泰勒展開式法

2 提取“數的大小比較”作為大概念的依據

大概念的提取是“大概念教學”的前提,浙江大學教育學院劉徽總結了大概念提取的八條路徑,即課程標準、學科核心素養、專家思維、概念派生、知能目標、生活價值、學習難點和評價標準．其中,前四種是自上而下提取的,由此方式提取的大概念往往是“現成”的,難點在于教師能否準確理解大概念;后四種是自下而上提取的,難點在于是否能沿正確的方向上升到大概念的層面[4]．

課程標準是國家課程的基本綱領性文件,因此,原則上所有大概念的提取都要參照課程標準,甚至從課程標準可以直接提煉大概念[4]．高中數學將不等關系作為內容之一放置在主題一“預備知識”中,函數是現代數學最基本的概念,是描述客觀世界變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具．函數單調性的概念是用數的大小比較形式來定義的,數的大小比較能體現幾種常見初等函數的性質運用的價值．

知能目標,即知識和技能目標,也可以向上提煉為大概念[2]．從小學的整數大小比較、分數大小比較,到初中的有理數大小比較和實數大小比較,學生積累了一定的比較經驗,但比較大小的經驗是低級的、不連貫的,到高中經過提煉,可以將它們上升為“依據不等式性質,構造函數進行大小比較”這一大概念．

數的大小問題,題目雖短小,但其內涵豐富,能較好體現《中國高考質量評價體系》的“一核”“四層”“四翼”的要求．

(1)能考查函數主題的知識掌握情況

人教2019 A版高中數學教材中出現了近百道大小比較習題,可見數的大小比較是學習新課標主題內容的重點題型,有利于考查不等式性質,有利于函數性質的運用,在平時教學中應該引起高度的重視,視為教學重點之一．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出:在數學高考命題中,考查內容應圍繞數學內容主題,聚焦學生對重要數學概念、性質、方法的理解和應用,強調基礎性．數的大小問題能考查函數主線的概念、性質,在教學函數性質時要多時段地進行教學設計,讓函數性質的學習在大小比較中得到提升．

(2)能考查數學關鍵能力

數的大小比較,一般要進行轉化、變形、估算、放縮,能很好地考查學生的解題方法、計算能力、數據處理能力、推理能力、建模能力,以及運用數形結合思想方法的解題能力．數的大小比較習題有區分度,有利于選拔人才,也能體現基礎性、綜合性、應用性、創新性(即“四翼”)的高考考查要求．

(3)能考查數學建模等核心素養

《課標2017》中提出六個數學核心素養,數的大小問題可以一個題目考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學素養,特別能考查數學建模素養．數的大小比較的本質方法是構造函數法,由具體的數構造相應的函數就是一個微型數學建模的過程,其中包含數學建模過程的關鍵步驟,所以數的大小比較能考查學生的建模能力和素養．

綜合課程標準和高考評價要求、新教材、新高考等諸多因素,“數的大小比較”可以確定為中學數學的大概念．

3 大概念下“數的大小比較”教學思考

《課標2017》重視以數學大概念為核心,使課程內容結構化,促進數學核心素養的落實．數學學科大概念并非指學科中某一具體的概念或方法,而是這些具體知識背后能反映數學本質的、更為核心的、具有普遍性和廣泛解釋力的原理和思想方法．它具有抽象性、中心性、意義性、結構性、包容性和遷移性等基本特征．大概念教學需要注意概念深度學習,多層次、多時段組織教學,不斷升華大概念的內涵和外延,不斷構建系統化的方法體系．

(1)重視大小比較的全景設計

近些年來全國各套高考試卷對(指、對、冪、三角)函數值大小比較的考查主要集中在指對互化、(指、對、冪、三角)函數的運算性質、圖象、單調性以及不等式性質等內容,有一定難度,偶爾作為壓軸題出現．平時教學中盡量不補充新結論,不增加學生學習的負擔．突出不等式基本性質的運用,如解法1十分簡單,其背后蘊含著不等式的性質．突出函數單調性,應重視(指、對、冪、三角)函數的性質與圖象的掌握以及常見的大小比較方法,如作差、作商、圖象法、構造函數等方法的訓練,夯實基礎知識,掌握基本技能,提升解決問題的能力．

本文提供了數的大小問題解法全景,如何在教學中選用、取舍、擇時?這是值得思考的問題,需要進行整體設計．解法13和解法14的解題過程雖然簡單,但學生需要知道對數不等式的二級結論,解法15涉及到高等數學知識,這些方法只能針對學有余力的學生．解法9要在學習了解析幾何直線斜率知識后方可再次學習,解法10則要在學習導數后方可再次學習．總體上,我們在進行數的大小比較問題教學時,需依據課標要求,符合高考評價要求,結合學生學情,重視課本習題,既要設計好每一處大小比較問題的教學,也要進行整體設計．

(2)重視數學本質的把握,提升學生學科素養

指、對、冪、三角函數有關數大小比較的問題蘊含著非常豐富的數學思想和靈活的數學方法,包括轉化與化歸、分類與整合、代數與幾何、局部與整體等．通過指、對、冪、三角函數的學習和研究,在數的大小比較教學過程中,學生思考和解決問題的能力能得到有效的強化和提升．由于指、對、冪、三角函數值比較大小問題的考查是高考中較為穩定的考查方向,容易形成一些固定的解題套路、形成思維定勢,在日常教學中要引導學生一題多解、一題多思,在掌握常規思路的同時培養發散思維．數的大小比較和和其他數學概念一樣,可以從數和形兩個方面把握其本質．教學中要重視構造函數方法的教學,既要重視同類函數值的比較,也要重視不同類函數值的比較,引導學生觀察數學結構特征,聯想函數解析式、函數圖象和性質,運用導數與不等式等數學工具,確定解決問題的策略和方法,提升綜合應用能力．