返樸抱真 四翼齊飛 穩中求進
——2023年高考數學新課標Ⅱ卷評析與思考*

馬 杰

(安徽省宿州第二中學雪楓中學校區 234000)

2023年教育部考試院命制的高考數學新課標Ⅱ卷供遼寧、海南、重慶、安徽、山西、吉林、黑龍江、云南等地使用,該套試卷遵循《中國高考評價體系》的要求,目的在于將育人和育才相統一,培養擁有“四個自信”的時代新人．試題具有良好的信度和區分度,發揮了“價值引領、素養導向,能力為重、知識為基”的作用,體現了數學作為基礎學科的功能,對引領數學課堂教學有著重要的意義．

1 試題特點:返樸抱真,“四翼”齊飛,穩中求進

1.1 注重基礎知識的考查,突出基礎性

高中數學教材中的概念、性質、公式、法則、公理、定理等是構建高中數學基礎知識體系的核心,也是解答數學問題的基石．概念是思維的細胞,通過對數學概念的理解,可以建立起清晰的數學思維框架;公式、法則、性質、定理等是從數學的角度對現實世界客觀存在事物的概括性的表達,靈活運用這些內容有助于開拓學生的思維,幫助學生“會用數學的語言表達現實世界”．

典例1(新課標Ⅱ卷第14題)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為．

評析本題屬于基礎題,重點考查棱臺的體積公式(需要記憶)和相似的知識.當然,本題還可以利用棱錐的體積公式,大四棱錐的體積減去小四棱錐的體積,即得棱臺的體積．本套試卷包含了一定比例的基礎性試題,如第1～4,13題等,這些試題涉及到集合、復數、抽樣方法、組合、函數、向量等知識點．旨在引導學生注重打牢基礎,掌握進入高校學習的必備知識．

1.2 注重基本技能的運用,彰顯綜合性

數學基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進行熟練操作的數學具體方法[1],包括數學運算能力、邏輯推理能力、抽象概括能力等．數學基礎知識是形成數學基本技能的載體,需要學生在復雜試題情境中綜合利用所學的數學知識和方法解決問題．

A．bc>0 B．ab>0

C．b2+8ac>0 D．ac<0

評析導數是研究函數性質的基本工具之一,本題的函數經過求導以后,根據其既有極大值又有極小值,轉化為相應的一元二次方程有兩個正根,利用韋達定理或一元二次方程根的分布即可得到結果,綜合考查了函數、導數、方程、根的分布等知識,發展了學生數學運算和邏輯推理能力．類似地,試卷的第7,16等題綜合考查了對三角函數知識的綜合運用能力．

1.3 注重基本活動經驗的實踐,加強應用性

“四基”中的基本活動經驗是指學生通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗,包括數學建模、命題結論、思想方法、價值精神上積累解決問題的經驗．荷蘭數學家弗賴登塔爾強調“數學學習是一種活動”,這種活動可以幫助學生更好地理解和掌握數學知識,并將所學的數學知識應用于解決實際問題,提升學生分析問題和解決問題的能力．

典例3(新課標Ⅱ卷第19題)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下所示的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖(圖1):

圖1

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c)．假設數據在組內平均分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．

(1)當p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設函數f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]上的最小值．

解析 (1)由患病者的指標頻率分布直方圖可得,數據落在區間[95,100]的頻率為0.002×5=0.01,當漏診率p(c)=0.5%時,易得臨界值c=97.5．再根據未患病者的指標頻率分布直方圖,數據大于臨界值97.5時,對應的頻率為(100-97.5)×0.01+0.002×5=0.035,所以q(c)=3.5%．

評析本題情境來自于現實生活題,融合了概率、統計、函數等相關知識,讓學生利用積累的基本活動經驗確定臨界值,制定合理的檢測標準,讓誤診率和漏診率得以平衡,較好地體現了數學學科的應用價值．類似的,試卷的第8,10,12等題根據探究性學習中的實踐結論,可以快速地給出答案,為一類題的解決思路提供一種策略．

1.4 注重基本思想的引領,發展創新性

數學思想是對具體事物的理性認識的升華,是學生在數學學習過程中所形成的基本的思維方式和方法．數學的基本思想對于提高學生的數學水平具有引領作用,將對學生未來的學習和工作產生深遠的影響．中學數學中的基本思想主要包括函數與方程、分類討論、數形結合、轉化與化歸思想以及概率中的隨機思想、統計推斷思想等.

典例4(新課標Ⅱ卷第22題)(1)證明:當0

解析 (1)令g(x)=x-sinx,所以g′(x)=1-cosx≥0,得g(x)在(0,1)上單調遞增,所以g(x)>g(0),即x-sinx>0,故sinx

令h(x)=x-x2-sinx,則h′(x)=1-2x-cosx,再令m(x)=1-2x-cosx,則m′(x)=-2+sinx<0,所以m(x)在(0,1)上單調遞減,所以h′(x)=m(x)

評析 本題將導數與三角函數融合,屬于一道創新題,重點考查了函數的單調性、導數、極值、函數不等式等知識,在對導函數的深入分析中,體現了數學中的分類討論、函數與方程、化歸與轉化等思想,凸顯數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養．

2 教學思考:以評促教,上通高考,下達課堂

2.1 既要設置情境,也要脫離情境

在教學中,我們常常會通過設置一個情境來引入相關概念．然而,在抽象出概念之后,我們卻經常忽視了脫離情境的過程．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱“課標2017”)中指出,教學情境的創設要有利于發展數學學科核心素養[2]．

案例1(新課標Ⅱ卷第12題(多選))在信道內傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立．發送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β．考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次,三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼,譯碼規則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)( )．

A．采用單次傳輸方案,若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2

B．采用三次傳輸方案,若發送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2

C．采用三次傳輸方案,若發送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3

D．當0<α<0.5時,若發送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

解析 設事件A1表示發送0收到1,事件A2表示發送0收到0;設事件B1發送1收到0,事件B2表示發送1收到1．因為信號的傳輸是相互獨立的,所以P(A1)=α,P(A2)=1-α,P(B1)=β,P(B2)=1-β．

對于選項A,若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率P1=P(B2A2B2)=P(B2)P(A2)P(B2)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A正確．

對于選項B,采用三次傳輸方案,若發送1,則依次收到1,0,1的概率P2=P(B2B1B2)=P(B2)P(B1)P(B2)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,故B正確．

所以本題答案為ABD．

啟示本題設置的是一個信道傳輸信號的現實情境,旨在考查對新概念、新知識的理解．在脫離這個情境后,單次傳輸和三次傳輸對應的是概率和二項分布問題．這種脫離情境的方法是為了解決問題,將問題轉化為數學語言,并抽象出數學問題,從而培養數學抽象和數學建模等核心素養．

通過情境設置和脫離情境的兩個過程,可以幫助學生更好地理解概念,建立與實際生活的聯系．學生能夠更加深入地理解數學的本質,從而更好地掌握相關知識和技能,提高數學學習的效果．

2.2 既要課時教學,也要主題教學

《普通高中課程方案(2017年版)》指出,要重視“以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實”．通過主題式教學,我們可以將各個知識點有機地結合起來,形成一個完整的知識體系,讓學生能夠更加全面地理解和應用所學知識．

A．p=2

C．以MN為直徑的圓與l相切

D．△OMN為等腰三角形

本題正確答案為AC．

啟示本題旨在考查拋物線的概念以及直線與拋物線的位置關系,通過直線與拋物線方程的聯立,要求學生能理解運算對象,探究運算思路,提升學生的運算素養．因此,教學中不僅要注重課時教學,還要采用主題式教學．例如,以本題為中心就可以從“拋物線的焦點弦性質”的視角設計一節主題教學活動,讓學生能夠從整體上把握所學的知識,構建良好的知識網絡,加深對數學知識的理解和運用,提高數學素養和應用能力．

2.3 既要問題引領,也要自主探究

教師在問題導向學習中的角色不僅僅是傳授知識,更應該是引導學生探索知識,激發他們的學習興趣和動力,讓學生成為自主學習者和問題解決者[3]．教學中,教師需要引領學生掌握基本的解題思路和方法,同時也要給予學生充分自主探究的空間,讓他們在實踐中不斷嘗試、發現和總結．只有這樣,學生才能真正理解和掌握知識,培養解決問題的能力和創新精神．

(1)求{an}的通項公式;

(2)證明:當n>5時,Tn>Sn．

啟示本題融合等差數列中的奇偶項、分組求和、不等式等問題,考查了學生的分類討論思想和探究問題的能力．教師在教學中要有問題意識,找到學生學習的困難點,發揮教師的引領作用,注重啟發式教學,讓學生從一道題出發自主探究一類問題的解法．

2.4 既要落實“四能”,也要優化評價

“課標2017”指出,“數學教學要培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”．對于“四能”的落實,美國實用主義教育家杜威曾說過:“在很大程度上,教學的藝術在于使新問題的難度大到能激勵思考,小到自然注意到的新奇因素能引起疑惑,能使學生從熟悉的事物中獲得一些啟發點,并從中產生有助于解決問題的建議．”

啟示該題是以直線與圓相交為背景創設的一道開放性問題．先求出弦長AB,再把點C到直線AB的距離表示出來,結合面積公式即可求出結果．如果考慮到直線AB過定點(-1,0)恰好在圓C上,會減少一點運算量,體現了數形結合思想．

教師不但是教與學的組織者、引導者與合作者,更是扮演著評價者的角色．在評價學生數學學科核心素養是否達成時,“課標2017”建議設計一些開放性的題目作為評價工具之一．這樣可以更加全面地考查學生的數學能力和思維水平,避免過度依賴單一的評價指標．因此,我們應該在教學中利用一些開放性試題,培養學生的創新意識和解決問題的能力,以更好地提升學生“四能”的發展．

3 結語

高考是國家選拔人才的重要途徑,不僅承載選拔和評價的功能,而且是實現立德樹人的重要載體和素質教育的關鍵環節[4]．作為一名數學教師,我們必須深入研究高考試題,不僅是為了讓學生能夠順利地應對考試,更是為了有效地給學生傳授知識．既要上通高考,也要下達課堂;既要有理論引領,也要進行教學實踐,并以“課標2017”中的教學目標為導向,實現教、學、評的一致性．這樣才能夠真正實現教育目的,更好地服務于學生的學習需求,為他們的未來奠定堅實的基礎．