2023年新高考數學命題的智慧點與啟示

余繼光

(浙江省柯橋中學)

通過對2023年新高考數學命題卷的亮點、特點、考點分布等進行分析比較,挖掘新高考數學命題的新動向,新智慧點,共性與啟示,為2024年新高考數學復習展示重點與方向,提升新高考數學復習的有效性.

2023年7份高考數學試卷中,新課標Ⅰ,Ⅱ卷(以下簡稱新Ⅰ,新Ⅱ),北京,上海,天津5份為新高考卷,前2份由教育部考試中心命制,后3份由三個直轄市單獨命制,全國31個省市自治區中,19個參加2023年新高考數學卷的評價,檢測新高考改革地區的數學教育教學實際情況.2024年全國將有2/3以上的省市參加新高考數學命題評價.本文重點關注新Ⅰ,新Ⅱ(經典命題,具有高考指揮棒功能),并兼顧其他試卷的智慧點與教學啟示.

一、2023年新高考數學卷亮點與特點

1.新高考數學卷亮點

1.1科學評價新題型增多

2017年制定2020年修訂的《普通高中數學課程標準》為新高考數學命題制定了評價標準,為實施這一標準,教育部考試中心已將五大新題型滲透到新高考數學命題中,這是高考數學命題的總趨勢,因為新題型在評價學生數學核心素養中扮演著十分重要的角色,多項選擇題從多個角度綜合地審視數學的某一個復雜情境,如新Ⅱ第12題信道傳輸方案問題;舉例題使考生數學思維更加開放,如新Ⅰ第11題;開放題提供更多的選擇性,如新Ⅱ第15題;數據分析題體現現實情境中數據信息的重要性,如新Ⅱ第19題疾病診斷數據分析題,上海第14,19題;邏輯推理題正是數學復雜情境的本質特征,特別是自定義題,如上海第16題等.

1.2閱讀運算邏輯推理多

新高考數學命題的閱讀量明顯增加,超過100字數的題目增多,如數學文化題,概率統計題等;由于現實情境與科學情境題目加入,運算量增加,過去高考數學題關注圓錐曲線中的數式運算即可,現在增加了數學文化、概率統計等的代數運算,如新Ⅰ第10題(源于必修第一冊,P141,第10題),21題(源于選擇性必修第3冊,P91,第10題),新Ⅱ第12,19題,上海第19題等.

1.3初等與高等鏈接增多

導數,極限,級數(不等式,數列背景)等知識點是初等化的象征,新Ⅰ第11,22題;新Ⅱ第22題,天津第19,20題,上海第10題等,都可以與高等數學相關知識關聯,此類評價可以發現較強數學思維層次考生.

2.新高考數學卷特點

2.1主干知識點處能力立意

新高考數學試卷中函數(包括三角、數列、導數)、幾何(空間幾何、平面解析幾何)、概率與統計等主干知識模塊以其所需要的關鍵能力為立意之本,從設問角度到問題隱藏的復雜結構都需要應試者通過自身所具有的數學核心素養與關鍵能力才能突破,比如數學建模能力,新Ⅱ第12,19題,上海第11題等.

2.2多學科交匯處創新鏈接

以復雜情境為特征,綜合化背景覆蓋,在數學內在知識交匯點處鏈接其他學科形成綜合,或在不同學科知識交匯處鏈接形成綜合,如新Ⅰ第10題,新Ⅱ第12,19題.

2.3現實科學情境挖掘到位

不論是現實情境還是科學情境,新穎、別致、巧妙設問,使僅靠刷題才能解題的考生望而生畏,如新Ⅰ第10,12,13,21題,新Ⅱ第12,19題,上海第9,11,14,19題等.

3.考點分布、重點模塊及分值占比

3.1考點分布

表1 2023年新課標Ⅰ卷中的知識點、能力點與痛點

表2 2022年全國新高考Ⅰ卷中的知識點、能力點與痛點

對照上述兩張統計表可以發現:

(1)2023年比2022年基礎題增多,樣本難度有所下降,特別是開始的單選題,使考生由易到難求解思維順暢,避免考試心理緊張;

(2)2023年比2022年相比,運算量大還是主弦律,這仍然是學生應試的最大痛點;

(3)2023年不按套路出牌,打破常規命題是一個亮點,數學問題切入點變化大且巧妙.

3.2重點模塊與分值占比

表3 2022年與2023年重點模塊分值(以新高考數學全國卷1為例)

此表可以發現:

(1)2022年與2023年重點模塊所占整卷比例九成,這是高三數學復習教學重要陣地;

(2)2023年函數、三角、向量與數列分值有所增加,概率統計保持不變.

二、新高考數學卷命題新動向

1.新考法——不按套路出牌,打破常規,創新命題思路

(Ⅰ)求W的方程;

【分析】此題表象是圓錐曲線題,實質是函數導數題,矩形ABCD的周長為2(AB+BC),而AB與BC垂直,垂直的關鍵是兩線段的斜率互為負倒數,即線段AB,BC的長是斜率k的函數,而且是復雜函數,為了研究其最小值需要導數工具來幫忙,使圓錐曲線中的運算,從簡單的套路(初等代數運算),過渡到復雜函數的導數運算.

(Ⅱ)證明略.

2.創新題

客觀性試題情境化命題,主觀化測試.把客觀性知識放在特定情境中,提高情境設置水平,讓問題生長在數學情境中.

【例2】(2023·新課標Ⅰ卷·11T)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( )

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數

D.x=0為f(x)的極小值點

【解析】前三個選項通過賦值易判其正確,而最后選項否定其正確性需要舉反例:

作為應試:函數f(x)=0為常數函數,且滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常數函數沒有極值點;

三、新高考數學卷命題之共性

1.現實情境

新高考數學命題均在現實情境(貼近學生生活環境)中挖掘,將數學教育“立德樹人”落到實處,如新Ⅰ第21題挖掘體育中投籃比賽過程;新Ⅱ第3題體育運動統計調查;新Ⅱ第19題挖掘三年新冠傳染背景,將現實情境與概率+函數緊密聯系;上海第11題人上坡消耗的總體力問題,第19題汽車模型的外觀與內飾顏色問題.

【例3】(2023·新課標Ⅱ卷·19T)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者與未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c),假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率,

(Ⅰ)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(Ⅱ)設函數f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]的最小值.

【答案】(Ⅰ)c=97.5,q(c)=3.5%.

f(c)min=0.02.

【評析】此題將概率與分段函數有機結合,體現數學命題綜合化趨勢.

2.空間圖形考法

新高考數學試卷均在“空間圖形情境+問題”中深入挖掘,加大考查力度,保持2022年命題風格:新Ⅰ第12,14,18題;新Ⅱ第9,14,20題;上海第12,17題.

【例4】(2023·新課標Ⅰ卷·12T)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有( )

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

【答案】ABD

【評析】此命題把多面體與旋轉體之間的位置關系以此角度巧妙挖掘展示,新穎別致,用數字說話.

3.核心模塊

新高考數學試卷均在核心模塊中挖掘,突出數學思維的本質特征,上述表三統計數據說明了這一點.

四、新高考數學復習備考建議

自2020年起,新高考數學全國卷逐步按照《普通高中數學課程標準》中的高考評價標準進行,從評價指導思想,評價內容,評價題型,命題情境等方面形成規范,以檢測學生數學關鍵能力為先,數學主干核心知識保持穩定,在現實、科學、數學情境中深入挖掘數學模型,突出通過快速閱讀來理解問題的數學本質,通過數字運算來解決問題模型,通過等價轉化實現復雜情境向簡單情境的轉化.

1.牢牢抓住核心主干知識模塊

(1)數學核心主干知識模塊復習重在基本概念、基本方法、基本思想的訓練,任何復雜情境和綜合性問題最終落腳點都是上述三基;

(2)數學經典問題是數學復習的根,選擇好的母題,通過變式推進將核心知識點展開,覆蓋相關知識,形成知識模塊;

(3)在核心主干知識中增加開放性命題訓練,推進深度學習.

2.現實情境科學情境抓住模型

(1)現實情境訓練強化三關,即事理關,明白問題中現實情境說了一件什么事,學會建模分析;文理關,即閱讀理解關,一般現實情境的文字閱讀量都比較大,通過閱讀找出關鍵詞和關鍵句,并理解其意義;數理關,對建立的數學模型,會用恰當的數學方法去解;

(2)科學情境挖掘數學模型,一般科學情境涉及到多學科知識綜合,通常給出即時定義,只有快速理解情境中的學科知識的即時定義,才能準確建立起數學模型,此類訓練是必須的.

3.關注運算和轉化力軟肋訓練

(1)解決數學問題離不開數學運算,特別是分數、分式運算,解方程,解不等式,三角運算,向量運算,導數運算等,運算軟肋是導致問題求解失敗的第一殺手;

(2)復雜問題分解為簡單問題離不開等價轉化,特別是函數性質的等價轉化.