研究真題 把脈考向
——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)ω的取值范圍問(wèn)題

王敬全

(江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué))

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)ω的取值范圍(最值)問(wèn)題是近幾年高考的高頻考點(diǎn)及熱點(diǎn),2022年全國(guó)卷中有4道試題涉及ω的求值或范圍問(wèn)題,它與對(duì)稱性、單調(diào)性、最值及零點(diǎn)(極值點(diǎn))個(gè)數(shù)等相結(jié)合,綜合考查函數(shù)性質(zhì),其中蘊(yùn)含著核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí),體現(xiàn)了高考試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性,對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)有著較高的要求.筆者整理了近年來(lái)全國(guó)卷中的這類考題,潛心研究解法、努力領(lǐng)悟立意、總結(jié)考查規(guī)律、預(yù)測(cè)考試方向,從而指導(dǎo)高三的復(fù)習(xí)備考.

【解法1】這類問(wèn)題往往以選擇題的形式呈現(xiàn),而選擇題又可通過(guò)特殊值代入的方法求解.

圖1

圖2

【分析】該題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),將函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)這兩個(gè)函數(shù)的重要特征量進(jìn)行有機(jī)的融合,解題過(guò)程中對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法有著很高的要求,數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到了很好的體現(xiàn).此題入口較寬,學(xué)生可以從不同的角度切入,體現(xiàn)了高考試題的開(kāi)放性,對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性也有很高的要求.

圖3

(下同解法2)

【分析】相對(duì)于例1和例2,例3所給的區(qū)間端點(diǎn)不是0,如采用換元法,新元t所在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)均是變化的,無(wú)法確定它在正弦函數(shù)的哪個(gè)減區(qū)間中,難度陡增,只能考慮所有情況(用含k的區(qū)間表示),先根據(jù)ω有解,確定k的值(哪個(gè)區(qū)間的子集),然后求出ω的取值范圍.

因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx的單調(diào)區(qū)間為(kπ,kπ+π),k∈Z,

因?yàn)閗∈Z,所以k=-1或k=0.

【分析】該題將函數(shù)的單調(diào)性以另一種形式呈現(xiàn),轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào),由于所給區(qū)間中沒(méi)有元素0,換元后新元t的區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)均不固定,且區(qū)間中沒(méi)有定值,難度加大.再加上是填空題,且是余弦函數(shù),解決過(guò)程中還要分類討論,學(xué)生得分情況不好,最終全區(qū)平均得分0.24分.

歷年的高考題都是經(jīng)過(guò)命題者精心打磨,立意、效度、信度都很高,且經(jīng)過(guò)了高考的檢驗(yàn),科學(xué)性上有保證,有很強(qiáng)的導(dǎo)向性,是最權(quán)威的高考研究資料.作為一線教師及教研工作者,研究高考題應(yīng)當(dāng)成為一項(xiàng)常態(tài)工作,除了研究高考題的解法,更要研究其立意、背景、變式和導(dǎo)向,只有教師研究透了,才能領(lǐng)會(huì)命題者的意圖,向?qū)W生講清問(wèn)題的本質(zhì),發(fā)揮試題的最大功能.事實(shí)上,高考命題從不回避陳題,很多試題都是“新瓶裝舊酒”,因此教師需在已有考題的基礎(chǔ)上,總結(jié)出這類問(wèn)題的一般解法,盡可能多地想一想它還可能有的變化及考查方向,從而查漏補(bǔ)缺.