一道離心率高考題的解法與變式研究

李 璇

(廣東省中山市實驗中學)

離心率是圓錐曲線的一個重要性質,也是高考考查的熱點問題之一.解析幾何的相關題目難度大且計算繁瑣,學生對此類題目都比較害怕,難以下手,而離心率問題涉及的知識面廣、切入的角度多樣,靈活多變,也常常讓學生頭疼不已,本文通過不同的命題角度對一道離心率高考題進行改編,并對解法進行研究,挖掘離心率問題的解題視角和解題思路,總結離心率問題的解題方法,試圖通過該題及其變式,發散思維,使學生學會離心率的相關解題方法,在碰到離心率問題時能做到有法可依.

一、高考真題再現

解法一(利用余弦定理的推論)

解法二(利用對稱與勾股定理)

解法三(利用點坐標與兩點間距離公式)

二、高考真題改編

接下來,本文將以該題為載體,將其中的部分條件改變,從不同角度進行命題,并探究離心率問題的不同解題方法.

解法一(利用定義與余弦定理的推論)

|MF2|=3|PF2|=3b,由雙曲線的定義得|MF1|=3b-2a.

解法二(利用中位線與勾股定理)

過點F1作F1G⊥MF2于點G,∴OP∥F1G.

∵OP=a,又O為F1F2中點,

∴|F1G|=2a,|GF2|=2b,∴|MG|=b.

又|MF1|=3b-2a,

∴在Rt△MF1G中,b2+4a2=(3b-2a)2,

解法三(利用求點坐標與代入點坐標)

解法一(方法與變式1的解法三相同)

解法二(利用求點坐標與相似比)

解析(利用定義與兩次余弦定理)

設|NF2|=t,則|MF2|=3t,由定義可得,

|NF1|=t+2a,|MF1|=3t-2a.

∴在△MF1F2中,(3t-2a)2=(3t)2+(2c)2-2·3t·2ccos∠MF2F1,

在△NF1F2中,(t+2a)2=t2+(2c)2-2·t·2ccos∠MF2F1.

∴-12at+4a2=4c2-12bt, ①

4at+4a2=4c2-4bt, ②

②-①得,16at=8bt,即2a=b,

解析(利用定義與幾何關系)

過點F1作F1G⊥MF2于點G,則G為MN的中點.

∵|OP|=a,OP是△F1GF2的中位線,

∴|F1G|=2a,|GF2|=2b,

設|MF1|=|NF1|=t,

由定義可得|NF2|=t-2a,|MF2|=t+2a,

|MN|=|MF2|-|NF2|=4a,

則|MG|=|NG|=2a,

解法一(利用正弦定理與三角函數)

又Rt△OPF2中,

∴在△MF1F2中,

解法二(利用直角三角形中的三角函數與雙曲線定義)

過點F1作F1G⊥MF2于點G,則|F1G|=2a,|GF2|=2b,

則由定義

解法一(同變式2方法)

由已知,F1Q∥OP,又O為F1F2的中點,

解法二(利用對稱與幾何性質)

由于兩漸近線關于y軸對稱,

∴∠POF2=∠QOF1,

由∠F1QF2為直角,O為F1F2的中點,得|OQ|=|OF2|.又P為F2Q的中點,

解法三(利用圓與等面積法)

聯立兩方程可得Q(-a,b),

解法四(利用圓與兩點間距離公式)

整理得2a2+ac-c2=0,e2-e-2=0(e>1),

解得e=2.

解法一(利用定義與基本不等式)

|QF1|=2a1,|QF2|=2b1,

由橢圓定義,得2a1+2b1=2a2,∴b1=a2-a1,

解法二(利用正弦定理與三角函數)

設∠QF2F1=θ,

三、方法總結

求解離心率是解析幾何中一個重要的問題,是幾何與代數相結合的一類題型,它綜合性強,涉及面廣、知識融合巧妙、切入角度多樣,解題時有時一種方法一種策略就可以解決問題,有時則需多種方法策略融合使用.不同的解題視角、不同的解題思路,往往能得到不同的解題效果和體驗.

四、教學啟示

一題多變、一題多解可以避開題海戰術、打破學生思維定式,達到舉一反三、提高教學效率的效果.本文以高考真題為載體,進行多個變式,對試題進行有效拓展,并對不同解法進行探究,可開拓學生求異思維,教會學生在不同中找相同,相同中找不同,讓學生在不同的問題情境中分析問題的本質,尋找解決問題的切入口.因此,在平時的教學中,應正確運用變式教學,以點帶面,通過對題目進行改編變式,拓展學生思維的深度和廣度,加深學生對知識的理解,提高學生對知識的靈活應用,培養學生自主探究的能力.