運用數形結合 優解函數小題

何紅燕

(甘肅省張掖市實驗中學)

2022年高考全國乙卷數理第16題是一道考查函數極值、導數等知識的壓軸小題,這道題入手容易,深入難,因為它同時考查化歸與轉化、分類與整合、函數與方程、數形結合等數學思想,深度考查推理論證能力.本文應用等價轉化、數形結合、分類討論等方法破解它,以饗讀者.

【試題】(2022·全國乙卷(理)·16)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

【分析】本題外表簡練樸素,表面考查函數的極值、導數等知識,但內涵豐富,實際考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想,試題難度較高,數學素養考查突出,對考生的數學思維水平和推理論證能力都有很高的要求,突出創新性和選拔性,起到很好的區分作用.

【優解1】f′(x)=2axlna-2ex.

因為x1,x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,且x1

所以函數f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增,即當x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時,f′(x)<0,當x∈(x1,x2)時,f′(x)>0,作出函數f(x)和f′(x)的大致圖象如圖1與圖2所示.

圖1

圖2

(1)若a>1,當x<0時,2axlna>0,2ex<0,則此時f′(x)>0,這與前面矛盾,故a>1不符合題意;

(2)若0

因為0

圖3

設過坐標原點且與函數y=axlna的圖象相切的直線的切點為(x0,ax0lna),

因為函數y=axlna與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,

【評注】由方程axlna=ex的兩個根為x1,x2,等價轉化為函數y=axlna與函數y=ex的圖象交點的橫坐標為x1,x2,運用了函數與方程的數學思想,再根據圖象,數形結合得不等式,解得取值范圍,其中數形結合是優化解題的開始,它就像杠桿,撬出了問題的實質.數形結合思想貫穿于整個高中數學,在具體的數學題中,利用數形結合思想解題,將困難的問題轉化為容易的問題,將復雜的問題轉化為簡單的問題,將抽象的問題轉化為直觀的問題,會達到事半功倍的效果.

【優解2】f′(x)=2axlna-2ex至少有兩個變號零點x1和x2,令g(x)=2axlna-2ex,則g′(x)=2ax(lna)2-2e.

(1)若a>1,則g′(x)在R上單調遞增,此時若存在x0∈R,使得g′(x0)=0,則f′(x)在(-∞,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,若f′(x0)<0,此時有x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>1)的極大值點和極小值點,g′(x),f′(x),f(x)的大致圖象如圖4、圖5、圖6所示,不符合題意.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

【評注】(1)含有指對函數、三角函數與多項式函數的方程稱為超越方程,一般情況下,高考中函數解答題中f′(x)=0(或g′(x)=0,g′(x)為函數f′(x)的導函數)是超越方程,高中階段是無法解出超越方程的,此時,我們常用的策略有兩種:

①二次求導,即對函數f′(x)再次求導,函數f′(x)的導函數g′(x)的正負對應著f′(x)的增減性,進而得出f′(x)的正負情況,最終確定f(x)的增減情況.

②設而不求,即先分析導函數(或導函數的導函數)的單調性,判斷它是否存在零點,若存在,再結合零點存在定理判斷零點個數,進而設出零點,對問題進行求解;這里設而不求f′(x)=0與g′(x)=0的根,判斷出導數正負的情況,解決函數f(x)的單調性問題.

(2)數形結合有益于解題的順利進行,能畫草圖的地方盡量畫草圖,這里參數a的值不確定,只需要取滿足條件的特殊值即可,并不影響結果,a的值越簡單方便越有利于解題,往往這樣做能起到推動解題、簡化解題的良好效果.

【優解3】f′(x)=2axlna-2ex(a>0且a≠1),

因為x1和x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,

圖10

(2)當a>1時,若函數g(x)與h(x)的圖象有兩個不同的交點,則函數的圖象如圖11所示,當x∈(0,x1)時,f′(x)>0,f(x)在區間(0,x1)上單調遞增;當x∈(x1,x2)時,f′(x)<0,f(x)在區間(x1,x2)上單調遞減;當x∈(x2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在區間(x2,+∞)上單調遞增,則x1為極大值點,x2為極小值點,這與題意不符.

圖11

【優解4】f′(x)=2axlna-2ex,

x(-∞,0)0,1lna 1lna1lna,+∞ y'--0+y↘↘elna↗

圖12

x-∞,1lna 1lna1lna,0 (0,+∞)y'+0--y↗elna↘↘

圖13

(ⅱ)注意邏輯思維的嚴密性與完整性,二者缺一不可,如上面證明當a>1時,與題意不符的情形.

【優解5】因為f′(x)=2axlna-2ex,

因為ax=elnax=exlna,

t(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)φ'(t)--0+φ(t)↘↘e↗

這道題凝聚著命題專家們的心血與智慧,蘊含著豐富的理性精神、數學思想、數學方法.大多數考生看不清問題的本質,想不到解決問題的辦法.它起點低、入手難,但更難在與題目的等價轉換、靈活運用數學思想方法上.因此,考生解函數題的首要任務是提煉與運用等價轉化、數形結合、函數與方程等數學思想方法,所以平時需加強這方面的訓練,到考試時,才能如魚得水、得心應手.另一方面,此題著重考查思維能力與邏輯推理能力,綜合考查考生的數學素養水平,暗里強調學習的本質不是把籃子裝滿,而是如何把燈點亮.

此文為甘肅省教育科學“十三五”規劃2019年度《基于數學核心素養的“問題串”引導教學的策略研究》課題(課題批準號GS【2019】GHB0921)階段性成果之一.