源于教材 發展于課堂
——核心素養與關鍵能力的落實

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

課程標準是教學的依據,教材是落實課程標準的直接載體,教師是落實課程標準和教材的執行者和實踐者,教師對課程標準和教材的理解直接影響到教學效果.充分利用教材,將教材中的例題和練習題進行深入的發掘和拓廣,可以有效地減輕學生負擔,達到提升學科素養和關鍵能力的目標,下面我們從教材的例題和習題出發,探索導數中放縮法的本源.

一、題目

2.人教A版選擇性必修第二冊P97,練習1:利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數圖象直觀驗證:sinx

4.人教A版選擇性必修第二冊P94,練習2:證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

5.人教A版選擇性必修第二冊P99,第12題:利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數圖象直觀驗證:

(1)ex>1+x,x≠0;

(2)lnx0.

二、構建知識網絡

1.題目1與題目2拓廣探究

(1)當x>0時,sinx

【證明】sinx0,

所以可令f(x)=x-sinx,x>0,則f′(x)=1-cosx,易知在x∈(0,+∞)上f′(x)≥0,

所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增,即f(x)>f(0)=0,

所以x-sinx>0在x∈(0,+∞)上恒成立,則sinx

由(1)可知m′(x)>0,所以k′(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增,所以k′(x)>k′(0)=0,同理可得f′(x)>f(0)=0,所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增,所以f(x)>f(0)=0,

2.題目3,4,5的拓展探究

(1)指數ex≥x+1切線的放縮的推廣.

①下面對其原式“加減乘除”并進行推廣:

如果把原式x替換成x+a,則原式變成ex+a≥x+a+1,切點x=-a.

如果把原式x替換成x+lnx,則原式變成xex≥x+lnx+1(x>0),切點x+lnx=0?x0≈0.568.

如果把原式x替換成x-1,則原式變成ex-1≥x,又可表示為ex≥ex,切點x=1;

②下面對其原式“丟1換x”并進行推廣.

如果把原式1丟掉,則變成:

(2)對數lnx≤x-1(x>0)切線的放縮推廣.

下面對其原式“加減乘除”并進行推廣.

如果把原式x替換成1+x,則原式變成ln(1+x)≤x(x>-1).

從上面的代換可以發現,所謂導數中的“大招”其來源還是教材中的典型例題或習題的變形,這些所謂的“大招”只要教師在授課過程中稍加滲透就可以了.

三、典型應用

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

(Ⅰ)當a=0時,求f(x)的最大值;

(Ⅱ)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.

當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,所以f(x)max=f(1)=-1.

①當a≤0時,ax-1≤0,所以當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,

所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時函數無零點,不符合題意;

所以f(x)有唯一零點,符合題意;

這時候就要從題目要求出發,進行選擇性調整,目標是解決f(x0)≥0,所以將-(a+1)lnx進行放縮,有兩條途徑:一是選擇-(a+1)(x-1)≤-(a+1)lnx,我們試驗一下看能否成功:

整理得到x2-(a+1)x+1≤0.

由二次函數g(x)=x2-(a+1)x+1的性質可知當0

命題得證;

令F(t)=-t2+2(a+1)t-a-2,則F(0)=-a-2<0,

所以f(x)恰有一個零點.

綜上可知,a的取值范圍是(0,+∞).

四、教學建議

高考對高中教學起到重要的引導作用.高考評價體系將“引導教學”納入核心功能,有利于理順教考關系,增強“以考促學”的主動意識.從這個角度講,高考不僅僅是對學生的選拔考試,也是對教師教學的一次評估,更是對教師在課堂中落實“立德樹人、服務選材、引導教學”的一次評估,所以做好高三復習對于教師就是一次非常有挑戰性的工作,也是非常具有創新性的工作,需要教師付出大量的時間和精力,不僅要在“一核四層四翼”上下功夫,還要著眼于學生的未來發展.現在的高三復習經常見到的現象是訂閱一些教輔材料,通過教輔材料中大量的習題鞏固基礎知識與基本方法,教材經常被束之高閣,偶爾使用一下.教材是落實“一核四層四翼”的基本載體,如何用好教材進行復習是一個值得研究的問題.上面例子說明教材中的試題與高考試題之間有非常高的相關性,通過對教材中例題和練習題的多角度拓廣使其能夠對接到高考試題中,就能夠實現減負增效,提升學生核心素養和關鍵能力的目標.