函數圖象的應用舉例

陳曉明

(安徽省寧國中學)

函數圖象的應用很廣泛,利用函數圖象可研究函數的性質、解決方程和不等式的求解問題、求參數范圍等,同時也體現了數形結合的思想.有時利用函數圖象能夠更便捷地解決問題.函數圖象應用的考查在高考中占有重要地位,應引起師生重視.

【解析】如圖1所示,函數f(x)的圖象由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點”,坐標為(0,0)).因為函數y=f(x)為偶函數,所以整個函數圖象關于y軸對稱.當c=0時,方程有三個不同的實數解,當c≠0時,方程有兩個不同的實數解.

圖1

【設計意圖】利用翻折變換畫出函數的大致圖象,利用函數圖象解決方程中解的個數問題:所求方程f(x)=c解的個數,即函數y=f(x)與y=c圖象交點的個數.

【解析】如圖2所示,函數f(x)的圖象由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點”,坐標為(1,0)),整個函數圖象關于直線x=1對稱.答案與例1相同,即當c=0時,方程有三個不同的實數解,當c≠0時,方程有兩個不同的實數解.

圖2

【設計意圖】利用平移變換得到函數圖象,同時將問題由簡單變得稍有復雜,讓學生學會將問題拓展延伸.

【解析】如圖3所示,函數f(x)的圖象同樣由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點”,坐標為(1,0)),整個函數圖象關于直線x=1對稱,只不過形狀有所變化,因此引起答案變化:當c<0時,方程沒有實數解;當c=0時,方程有三個不同的實數解,當c>0時,方程有四個不同的實數解.

圖3

【設計意圖】再次利用翻折變換得到函數圖象,問題逐步變得復雜,充分顯示圖象魅力,提升學生變式能力,體會數形結合的思想,滲透了分類討論的思想.

【解析】由f2(x)-f(x)=0得f(x)=1或f(x)=0,如圖3所示,方程f(x)=1有4個解,方程f(x)=0有3個解,所以原方程有7個不同的實數解.

【設計意圖】此變式讓學生進一步體會數形結合和分類討論的思想方法,前面是對條件(函數解析式)變式,這里是對求解問題進行變式,充分利用函數圖象解決問題.讓學生學會探究數學問題的方法,能對一個問題進行舉一反三,觸類旁通的研究,避免搞題海戰術,提升解題能力,減輕學生學習數學的負擔!

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0

【解析】如圖3所示,只要方程f2(x)+bf(x)+c=0中能解出f(x)的兩個值,其中一個值等于0(可得c=0),另一個值大于0(f2(x)+bf(x)=0可得b=-f(x)<0),故選C.

【設計意圖】此解析使用了換元法的思想,得出方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解的充要條件是關于t的二次方程t2+bt+c=0有兩個不等的實根,其中一根為0(可得c=0),另一根為正數(t2+bt=0,可得b=-t<0).這樣就自然地將復雜問題化為我們熟悉的簡單問題.另外,變式3是變式4的特例(b=-1,c=0),通過對這一特例的研究悟出變式4的求解方法,自然滲透換元法、由特殊到一般的思想方法.這樣處理,突出了變式4的本質,其解答也就水到渠成.同時又讓不同層次的學生都能得到相應發展,充分體現了以學生為本的人文精神.

【例2】已知函數f(x)=|3x-2|-|2x-3|,若關于x的不等式f(x)<2a2+a恰有3個整數解,求實數a的取值范圍.

圖4

【變式1】若關于x的不等式f(x)<2a2+a恰沒有整數解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式2】若關于x的不等式f(x)<2a2+a恰有1個整數解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式3】若關于x的不等式f(x)<2a2+a恰有4個整數解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式4】若關于x的不等式f(x)<2a2+a恰有5個整數解,其余條件不變,情況怎樣?

(提示:如圖4所示,變式1:2a2+a≤-1;變式2:-1<2a2+a≤0;變式3:1<2a2+a≤2;變式4:2<2a2+a≤3)

【設計意圖】“數缺形時少直觀,形少數時難入微”是我國著名數學家華羅庚先生對數形結合思想的精辟論述.上述變式題通過函數圖象一目了然,否則很難說清楚.因此,本例及其變式讓學生進一步體會利用函數圖象解決問題的優越性.另外,我們可繼續通過計算函數值,進一步增大整數解的個數,但因為f(-4)=f(2)=3,如圖4所示,所以接下來可能有7個整數解,而沒有6個整數解的可能.

圖5

【解析】如圖5所示,當m=0或者m=1時,關于x的方程f(x)=m(m∈R)有三個不同的實數解x1,x2,x3.當m=0時,三個實數解分別為-2,0,1,所以x1x2x3=0.當m=1時,三個實數解分別為-1,x2,x3,且x2x3=1,所以x1x2x3=-1.因此,本題正確答案為0或-1.

【設計意圖】通過變式,進一步體現數形結合的思想,培養學生對問題舉一反三、觸類旁通的能力,增強學生對知識完整性的認知,激發學生學習數學的興趣.

圖6

【設計意圖】本題是一道關于復合函數的題目,熟練掌握函數圖象的作法及函數的零點與函數圖象交點的關系是解答此題的關鍵.對于一般的復合函數(嵌套函數)“y=g(f(x))”的零點問題,其解題步驟是:(1)換元解套,令t=f(x),則y=g(t),從而將一個復合函數的零點問題拆解為兩個相對簡單的函數t=f(x)和y=g(t)的零點問題.(2)依次解方程,令g(t)=0解出t的值,然后代入t=f(x)中解出x的值.而由含參嵌套函數方程引起的參數范圍問題,在上述解題要訣的基礎上,讓含參的值動起來,動靜結合、數形結合、抓臨界位置進行求解.

結束語

問題,是驅動學生思維的源泉!在數學教學中,好的問題,可以啟動學生的思維、形成有效的數學探究活動.因此,例1設置了具有一定梯度,同時又能啟迪學生思維,層層遞進,發現問題本質的問題串,讓學生充分思考,積極探究!其他三道例題同樣對問題進行了變式探究,加強知識的整體性,將知識網絡化,增強知識的系統性,便于學生掌握一類問題的數學本質.

解題,需要研究.通過解題研究挖掘題目背后蘊藏的數學觀點、數學思想,透過現象認識本質.解題研究既是高中數學教師必備素養與能力,也是教學研究的重要組成部分.解題研究的最終目的是為了學生的學習,幫助學生走出題海,提高效率,減輕學生負擔.