精心設計問題，讓知識自然生長

朱明明

同構作為一種重要的數學解題方法，在解決一些數學壓軸試題時大顯身手，以其精巧的結構同化構造化繁為簡，起到“四兩撥千斤”的效果．因此，同構方法也越來越引起廣大師生的重視．然而，筆者發現，在教學實踐中，大多老師往往給出若干種固定的同構模型，把同構方法作為一種變形技巧要求學生掌握，讓學生通過套用現成的同構模型去解題．這種做法雖然有一定的效果，但由于學生并未真正理解知識源頭與生成過程，在遇到陌生問題時學生往往手足無措，一籌莫展．筆者在教學中探索通過精心設計問題，讓“同構”知識通過學生的自主活動自然生長，使學生在同構知識研學的過程中思維達到應有的深度，收到了較為理想的教學效果．現將教學案例記述如下，與同行共同探討．

1.從簡單問題入手，讓學生感受同構方法魅力

先看兩道大家熟悉的問題（投影）：

通過本題分析引導學生發現，在指對共存型的恒成立問題中巧妙地使用同構法，能夠大大地簡化解題過程、回避繁瑣的計算．思路1先根據指對式的一致性（互化）進行變形后，發現式子中局部的一致性，進而進行同構；思路2和3則是先通過局部運算對式子進行整理，然后再利用指對式的一致性進行變形得到同構形態．同構法重在觀察，巧在構造，質在轉化．從某種意義上來講，指對的跨階同構最根本的思想是轉化與化歸，從局部的運算、變形，到適當的配湊，最終達到轉化成“同一結構”的目標．

同構作為一種“巧妙”的解題方法，實則通過分析代數式的結構特征，揭示式子間的內在聯系，挖掘其中蘊藏的同型與共性，并通過構造相同（或相似）的結構模型實現問題的求解，從而同構法在解方程（不等式）、證明不等式、比較大小、數列乃至解析幾何等方面都有著廣泛的應用．本節課從教材習題出發，從簡單的問題入手，讓學生在感受同構的方法魅力的基礎上將問題進一步深化，讓學生在仔細觀察其外形結構的基礎上深入剖析其本質屬性，理解同構的底層邏輯，有利于學生把握同構轉化的內在本質；最后通過高考真題賞析，讓學生領略同構的別樣風采．這樣的處理方式，讓學生從知識的底層邏輯剖析，有助于培養學生觀察能力、想象能力、構造能力和創新能力，有效提升學生的數學學科素養．

參考文獻

［1］馮光文.重視課本研究 探尋考題來源［J］.中學數學研究，2022（江西師大），（9）：24-26.

［2］符曉燕.關于高中數學同構問題的思考［J］.數學之友，2021，（4）：80，83.

（本文為江蘇省南通市教育科學 “十四五”規劃2021年度立項課題《基于深度學習的高中數學研學課堂建構研究》（批準文號：GH2021142）階段成果． ）