一道正八面體試題的命制

吳曉明

(福建省莆田第一中學)

圖1

下面通過四個方法來解答.

解法一:設△ABC,△A1B1C1的中心分別為O,O1,取BC,B1C1的中點D,D1,過點D1作D1E⊥AD交AD于點E,如圖2.∵OO1⊥平面ABC,∴OO1⊥AD,∴四邊形EOO1D1為矩形,∴ED1=OO1,

圖2

解法二:將該正八面體放置于正方體PQRS-P1Q1R1S1內,使得正八面體ABC-A1B1C1的每個頂點為正方體每個表面的中心,如圖3,

圖3

圖4

解法三:取BC的中點E,連接AE,A1E,過點A1作A1G⊥AE交AE的延長線于點G,如圖5.

圖5

∵平面ABC∥平面A1B1C1,

∴兩平面的距離可化為點A1到平面ABC的距離,設為h.又∵正八面體ABC-A1B1C1是對稱的,∴A1G⊥平面ABC,

圖6

解法四:∵平面ABC∥平面A1B1C1,

∴兩平面的距離可化為點A1到平面ABC的距離,

圖7

(本文系福建省教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題《基于核心素養的高中數學探究性學習實踐與研究》課題編號(FJJKZX21-283)的階段性研究成果)