條件概率和全概率公式
——高考數學命題新的增長點

張 濤

(山東省泰安長城中學)

條件概率和全概率公式是概率中的重要內容之一,也是新高考考查的重點,尤其在2022年新高考Ⅰ卷解答題中條件概率的“閃亮登場”,不但給人清新之感,而且條件概率和全概率公式的應用成為高考的熱點,可以預測條件概率和全概率公式的應用問題將成為2023年乃至以后新高考卷命題新的增長點.為此,本文以高考或各地模擬考試中的有關試題為例,來探究條件概率和全概率公式以及與其他知識的交匯問題,旨在探索題型規律,供教師與學生參考.

一、條件概率和全概率公式

1.條件概率

2.全概率公式

全概率公式的解題步驟是:

①設出所有的條件事件分別為Ai;

②設出所求概率的事件為B;

③代入全概率公式求解.

二、條件概率和全概率公式與其他知識的交匯應用

1.與頻率分布直方圖的交匯

【例1】(2023·云南大理、麗江、怒江第一次復習統一檢測)足球運動,最早的起源在中國.在春秋戰國時期,就出現了“蹴鞠”或名“塌鞠”.某足球俱樂部隨機抽查了該地區100位足球愛好者的年齡,得到如下樣本數據頻率分布直方圖.

(Ⅰ)估計該地區足球愛好者的年齡;(同一組數據用該區間的中點值作代表)

(Ⅱ)估計該地區足球愛好者年齡位于區間[20,60)的概率;

(Ⅲ)已知該地區足球愛好者占比為21%,該地區年齡位于區間[10,20)的人口數占該地區總人口數的35%,從該地區任選1人,若此人的年齡位于區間[10,20),求此人是足球愛好者的概率.

解析：(Ⅰ)21.4歲.

(Ⅱ)0.48.

【點評】本題以頻率分布直方圖為載體,第(Ⅲ)問考查條件概率公式的直接應用,體現了條件概率與頻率分布直方圖的交匯.

2.與獨立性檢驗的交匯

【例2】(2022·湖南炎德英才名校聯合體聯考)2022年卡塔爾世界杯將于當地時間11月20日開賽,某國家隊為了考察甲球員對球隊的貢獻,現作如下數據統計:

(Ⅰ)根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認為該球隊勝利與甲球員參賽有關聯?

(Ⅱ)根據以往的數據統計,甲球員能夠勝任前鋒、中場、后衛三個位置,且出場率分別為0.2,0.5,0.3;在甲出任前鋒、中場、后衛的條件下,球隊輸球的概率依次為0.2,0.2,0.7,則:

(ⅰ)當甲參加比賽時,求該球隊某場比賽輸球的概率;

(ⅱ)當甲參加比賽時,在球隊輸了某場比賽的條件下,求甲球員擔當中場的概率;

(ⅲ)如果你是教練員,應用統計概率有關知識,該如何使用甲球員?

附表及公式:

α0.150.100.050.0250.010.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：(Ⅰ)能.

(Ⅱ)(ⅰ)設A1表示“甲球員擔當前鋒”;A2表示“甲球員擔當中場”;A3表示“甲球員擔當后衛”;B表示“球隊輸掉比賽”,有P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3,P(B|A1)=P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.7,則P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.2+0.5×0.2+0.3×0.7=0.35,

所以該球隊某場比賽輸球的概率為0.35.

故應該多讓甲球員擔任前鋒.

3.與線性相關的交匯

(Ⅰ)試判斷y=a+bx與y=a+blnx哪一個適宜作為y關于x的回歸方程類型?并建立y關于x的回歸方程;

(Ⅱ)新藥經過臨床試驗后,企業決定通過兩條不同的生產線每天8小時批量生產該商品,其中第1條生產線的生產效率是第2條生產線的兩倍.若第1條生產線出現不合格藥品的概率為0.012,第2條生產線出現不合格藥品的概率為0.009,兩條生產線是否出現不合格藥品相互獨立.

(ⅰ)隨機抽取一件該企業生產的藥品,求該藥品不合格的概率;

(ⅱ)若在抽查中發現不合格藥品,求該藥品來自第1條生產線的概率.

解析：(Ⅰ)剛開始用藥時,指標A的數量y變化明顯,隨著天數增加,y的變化趨緩,故y=a+blnx適宜作為y關于x的回歸方程類型.

【點評】本題第(Ⅱ)(ⅰ)問設出事件,利用全概率公式進行求解,第(Ⅱ)(ⅱ)問在第(ⅰ)問的基礎上,利用條件概率進行求解,充分體現了條件概率和全概率公式與線性相關關系的交匯.

4.與數列的交匯

【例4】“綠色出行,低碳生活”已得到越來越多市民的積極響應.原來每天開車上班的小李,即日起每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選取一種方式出行.選取出行方式規則如下:第一天騎自行車上班,隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式,如果得到的正面朝上的枚數小于3,那么當天出行的方式與前一天相同,否則就選取另外一種出行方式.

(Ⅰ)求小李前三天騎自行車上班天數X的分布列;

(Ⅱ)由條件概率我們可以得到概率論中一個重要公式——全概率公式.其特殊情況如下:如果事件A1,A2相互獨立且P(Ai)(i=1,2),則對任一事件有P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)·P(A2)=P(A1B)+P(A2B).設pn(n∈N*)表示事件“第n天小李上班選取騎自行車出行方式”的概率.

(ⅰ)用pn-1表示pn(n≥2);

(ⅱ)從長期來看,請問小李選取哪種出行方式的次數更多?

解析：(Ⅰ)X的分布列為

X123P5525680256121256

【點評】本題第(Ⅱ)問,用數列通項形式設出概率,根據題中給出的全概率公式建立概率的遞推關系式,然后轉化為等比數列求出通項公式得解,體現了條件概率及全概率公式與數列知識之間的交匯滲透應用.

5.與等式的交匯

【例5】(2022·全國新高考Ⅰ卷·20)一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系,在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組),得到如下數據:

不夠良好良好病例組4060對照組1090

(Ⅰ)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

解析：(Ⅰ)略.

【點評】(ⅰ)中R的兩種證法均是在理解、掌握條件概率公式的基礎上,進行變換代入得證的,兩種證法可謂殊途同歸.需要注意的是,由于該問中涉及到的符號、式子既“龐大”又相似,稍有不慎,容易弄錯;(ⅱ)依據列聯表中的數據,用頻率估計概率,代入(ⅰ)中的公式求得R的值.

6.與不等式的交匯

【例6】(2023·浙江杭州八縣上學期11月期中)某大學有A,B兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務,甲、乙兩位學生每天午餐和晚餐都在學校就餐,近100天選擇餐廳就餐情況統計如下:

選擇餐廳情況(午餐、晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天

假設甲、乙選擇餐廳相互獨立,用頻率估計概率.

(Ⅰ)分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率,乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率;

(Ⅱ)記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數,求X的分布列和數學期望E(X);

解析：(Ⅰ)0.3,0.4.

(Ⅱ)X的分布列為

X12P0.10.9

則X的數學期望為E(X)=1.9.

【點評】第(Ⅲ)問充分運用條件概率公式以及條件概率與相互獨立事件概率的關系,利用綜合法證明條件概率不等式,體現了條件概率與不等式的交匯.

三、結束語

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在隨機事件的條件概率一節中提出的要求是:①結合古典概型,了解條件概率,能計算簡單隨機事件的條件概率;②結合古典概型,了解條件概率與獨立性的關系;③結合古典概型,會用乘法公式計算概率;④結合古典概型,會用全概率公式計算概率;⑤了解貝葉斯公式.這些要求在2022年新高考Ⅰ卷數學命題中得以“落地生花”,將條件概率問題融入解答題進行考查,這在歷年數學高考尚屬首次,反映出高考越來越注重數學在實際問題中的應用,要求考生具備較強的運用數學知識解決問題的能力和素養,在以后新高考卷命題中進一步加強對條件概率和全概率公式的考查是可以預見的.那么,在高考復習備考中如何復習條件概率及全概率公式呢?

(1)通過具體實例幫助學生回歸概念、理解概念本質,比如隨機事件的獨立性與條件概率之間具有怎樣的關系,全概率公式的意義是什么,蘊含著怎樣的數學思想,應用全概率公式能解決哪些問題等.引導學生積極探索和思考,培養和通過學生的數學抽象素養.