新高考背景下的數學建模教學探究
——從一道跨學科融合題的命制說起

陳 敏 葉事一 林迪迪

(1.浙江省永嘉縣羅浮中學;2.浙江省溫州市教育教學研究院;3.浙江省永嘉縣羅浮中學)

從近三年的新高考卷(即2020-2022年)、全國高考卷分析,高考中的基礎性、綜合性、應用性和創新性的“四翼”理念不斷呈現.傳統、機械化的題型正在被結構不良題、多選題、情境題等所取代,數學素養的考查尤為重要.題海戰術已經無法適應高考,數學能力的培養成為考核的方向.高考正引領教學回歸基礎、回歸規律、回歸本質、彰顯數學的科學價值.因此,在“以考選人,以考促教”的教育模式背景下,各地市積極開展了高考題型的研究.

數學建模是高中數學學科六大核心素養之一,也是新高考熱門題型.該題型充分體現了“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的命題理念,很好地體現了數學核心素養.但與此同時更為棘手的是在數學建模的過程中往往超越了數學學科的邊界,需要與其他學科知識融合,通過各學科之間的支撐,完成建模過程.這就需要我們根據實際需要重組各學科的知識,構建全面的認知體系,并運用于教學實踐中,形成跨學科融合教學.

筆者參與2021—2022學年溫州市普通高中高一上數學期末考試的命卷、審卷以及后期數據統計工作.通過這次組織活動中,筆者通過數據發現學生對于數學建模能力嚴重不足,教師對于新高考研究以及對待策略欠缺.因此,筆者希望通過自行車建模問題生成過程,以及衍生出的跨學科問題,淺談建模問題研究和應對的新策略.

1.高中數學建模

什么是數學建模?目前高中數學學科有六大核心素養,其中數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題,用數學方法構建模型,解決問題的素養.具體的數學建模的過程,即數學建模所經歷的分析問題、模型假設、模型建立、模型求解和模型檢驗這5個過程.而在平時的教學中,我們發現目前建模的概念和過程較為范廣,基本等同于大學建模的概念.

筆者認為的高中數學建模,利用數學尋求現實問題的多快好省解決方案.從命卷的角度分析,除了傳統的數學建模的五步驟,總結出學科融合建模的四部曲:“三歸,一融”,即

1.1 歸真——數學建模要回歸到真實生活,回歸到教材

模型引入：筒車問題(書本P231)與摩天輪問題(書本P238).

在人教版必修第一冊三角函數中,課本典例中出現了筒車問題和摩天輪問題.筒車,中國古代發明的農業生產工具,為中國古代農業的發展提供幫助,成為璀璨的中國文化之一.新教材第一次出現(與舊教材),也是在三角模型的第一個問題,筒車中蘊含著中國數學文化史,體現中國古人利用數學創造生活、改善生活.摩天輪的問題進一步闡述了圓的三角形問題,特別體現三角函數中周期性變化的特征.

通過上述課本的兩個例子,可以鮮明的發現數學與生活、文化等緊密聯系一起,強烈體現了數學即生活.因此觀察生活時,我們就能發現自行車,它是生活中常見的交通工具,特別是它的車輪就是圓形,當車輪運動時,其輪胎相對地面成周期性變化,符合筒車模型.進一步研究發現,自行車有兩個輪胎,每個車輪上的都有點的運動軌跡,組成起來情況就多了,也復雜的數學問題.

1.2 歸本——再復雜的數學問題最終還是數學

接下我們用另外一道純數學——拓展題,思考自行車問題.

已知圓心在坐標原點的定圓O的半徑為1,另外一個半徑為1的動圓M始終與定圓外切,已知動圓上一點P(x0,y0)的初始位置在(1,0)處,當動圓在定圓外沿著定圓無滑動地滾動時,x0的取值范圍是________.

解法一:如圖建立平面直角坐標系,設∠MOA=θ,

顯然M(2cosθ,2sinθ),

延長MO交定圓于C,則C(cos(π+θ),sin(π+θ)),

逆時針旋轉θ,則P1(cos(π+2θ),sin(π+2θ)),

利用平移,可得P(cos(π+2θ)+2cosθ,sin(π+2θ)+2sinθ),

∴x0=2cosθ+cos(π+2θ)=2cosθ-cos2θ=-2cos2θ+2cosθ+1,

當cosθ=-1時,(x0)min=-3,

解法二:延長MP交x軸于D,過點M作x軸垂線,垂足為E,過點P作PF⊥ME于F.

設∠MOD=∠OMP=θ,

∴∠MDE=2θ.

∵PF∥DE,

∴∠MPF=2θ,

顯然OE=2cosθ,PF=cos2θ,

∴x0=OE-PF=2cosθ-cos2θ,

接下來過程同解法一.

顯然此題已經屬于較難題范疇,解決問題的基本有兩種思路.第一種:學生引入平面直角坐標系,目標以代數形式完成解決,顯然定圓的圓心O(0,0),半徑r=1,動圓圓心C(2cosθ,2sinθ),這些坐標點較為容易.難點是動點P該如何表示,根據題意,則運動的弧長一樣,即轉過相同的弧度角.利用對稱性,將動圓的動點轉換到定圓上,則P1(cos(π+2θ),sin(π+2θ)),轉化得出P(cos(π+2θ)+2cosθ,sin(π+2θ)+2sinθ),即x0=2cosθ-cos2θ,顯然就是三角函數的計算.再通過二倍角,以及二次函數的性質,較容易計算可得.第二種:學生利用幾何圖象,通過構造兩個直角三角形,把橫坐標直接用OE-PF表示,最終回到三角函數計算.顯然,第二種方法易求不易想,偏向初中的方法,缺陷是只能解決銳角問題,其他角的研究還需要說明.第一種建系,常規而基礎,是高中生需要掌握的基本能力.

1.3 歸合——通過不斷演示檢驗模型的合理性

如圖,自行車前后輪半徑均為rcm(忽略輪胎厚度),固定心軸間距|O1O2|為3rcm,后輪氣門芯P的起始位置在后輪的最上方,前輪氣門芯Q的起始位置在前輪的最右方,當自行車在水平地面上往前作勻速直線運動的過程中,前、后輪轉動的角速度均為ωrad/s,經過t(單位:s)后P,Q兩點間的距離為f(t).

(Ⅰ)求f(t)的解析式;

(Ⅱ)求f(t)的最大值和最小值．

【解析】(Ⅰ)如圖建立平面直角坐標系.

∴|PQ|2=(xP-xQ)2+(yP-yQ)2=[3r+r(cosωt-sinωt)]2+[r(cosωt+sinωt)]2,

通過問題1和問題2對比,如何建立適當的平面直角坐標系是解題的關鍵點和共同點,但是數學問題生成的過程也存在差異,筒車研究縱坐標的變化得到余弦,雙圓問題研究橫坐標變化得到正弦,而車輪問題研究點與點之間的距離得到正、余弦.從邏輯上,考查知識點的螺旋上升,不再局限書本的概念,關注概念的生成過程,“授之以漁”的教學模式進入數學建模課堂.

2.數據背后的思與教

2021年溫州市高一期末考試采取分卷考核,即為A,B卷(A卷為一類學校,B卷為二、三類學校),自行車模型同考核,分別是A卷的21題,B卷的22題.從題型分布看,建模題以壓軸題的形式出現,從命題者角度認為,一類學校建模教學更為有效,學生落實較為扎實,情況真是如此嗎?

2.1 學生的實際情況

從自行車模型題的成績數據來看,A類學校(代表使用A卷學校,后面類同,不再說明)學生平均分為1.86分(滿分12分),標準差為3.182 9分,區分度0.383 4,B類學校學生平均分為0.33分,標準差為1.130 5分,區分度0.073 6.兩份試卷結果遠遠低于預期,A類學生兩級分化顯于B類,即“優生通吃”原則,但大部分學生基本無法動筆,跨學科融合與數學建模創新性成為學生“噩夢”,充分暴露出學生數學創新能力、素養能力、建模能力的缺失,知識掌握不扎實,學習停留表面.

從試卷整體失分情況分析,有幾方面:一、學生概念不清,抽離不出與之對應數學模型或者建立錯誤模型;二、運算能力不足,學生在求點或者計算時出現錯誤;三、字跡潦草,步驟錯亂;四、時間安排不合理,缺少思考時間;五、創新能力不足,仍習慣于應試模型.

2.2 教師的教學現狀

對于數據分析,讓我們深刻明白學生自身學習態度和能力不足,同時也在反思教師的教學.從調查數據看,目前大多數一線教師對于建模題態度往往分成兩類:1.因為題目簡單,不需要講太多,學生自然而然會做;2.題目難度較大,許多時候講了學生不一定會,部分教師選擇不講,通過簡單講述思路及答案,隨意帶過.絕大部分教師,會講解但是重心在計算上,忽略最原始的生成過程;3.不重視知識生成過程,往往依靠習題或者題海落實教學.這種教學,往往讓中下層學生忽略數學建模的核心價值,失去對建模的興趣,甚至產生恐懼心理,背離了數學建模的核心素養.

2.3 教師建模的教學改進

從命卷角度出發,做好五點建議:(1)回歸課本,回歸概念,特別是核心概念,需要教師強化辨析,深化數學理解;(2)數學問題的講解,注意回歸數學邏輯,重視計算能力;(3)加強情景題,建模題的整理和練習,培養學生閱讀能力和抽取數學問題能力;(4)教學過程中,重視知識交叉,關注跨學科的知識融合,培養學生立意能力;(5)增加探究式、開放式的課堂,讓學生學會用數學的角度看待問題.

3.結束語