立足核心素養 強化變式探究
——2023屆高三八省聯考第21題的多解、推廣及變式探究

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關中學)

一道高質量的數學試題,不但注重了在知識交匯處命題,而且立足于考查考生的關鍵能力和數學學科核心素養,2023屆T8聯考高三第一次聯考卷第21題就是這樣的一道試題,本文圍繞這道圓錐曲線大題進行研究,通過不同角度的探究,給出了該問題的5種不同解題方法,并進一步作了相應的方法總結,然后在課本中找出該題的“題根”,最后對此題還進行了推廣拓展、推廣應用和變式探究,以期能夠提高典型例題的數學效果和效益.

1.試題呈現

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線與x軸的交點為H,直線過拋物線C的焦點F且與C交于A,B兩點,△HAB的面積的最小值為4.

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

【分析】這道試題考查了圓錐曲線方程的求解、三角形面積的最值、直線過定點問題.第(Ⅰ)問較常規,利用函數法即可解決.對于第(Ⅱ)問既可以采用設線法去找直線變量之間關系的解法,也可采取齊次化法的技巧,還可以利用拋物線的參數方程加以處理.試題穩中求新,體現了考題的基礎性、綜合性、創新性,考查考生數學運算、邏輯推理等核心素養.該道考題設問簡潔但內容豐富,具有較大的探究空間.

2.解法探究

【視角1】如圖,對于(Ⅱ),常規思路是設出直線l的方程,再利用EM⊥EN去尋找直線變量間的關系,從而變量代換后求出拋物線上定點E的坐標.

解法1：(Ⅰ)易得拋物線C的方程為y2=4x.

(Ⅱ)假設存在E(x0,y0),設M(x1,y1),N(x2,y2),

由題意知MN的斜率不為零,

∴y1+y2=4t, ①

y1·y2=4t-17. ②

【視角2】此題也可先設出點E的坐標,利用直曲聯立,求出M,N點坐標,再結合三點共線得E點坐標.

解法2：設點E(x0,y0),EM:x=t(y-y0)+x0,代入y2=4x可得y2-4ty+4ty0-4x0=0,

【視角3】此題在處理時,所給條件可轉化成直線斜率之積,故可考慮先平移后齊次化來解決.

又M′N′:mx+ny=1,

【視角4】在使用齊次化處理該題時,也可不平移,而是直接配湊成斜率后使用齊次化來解決.

解法4：∵直線MN不過E(x0,y0),∴設MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配湊C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

【視角5】在設出拋物線上動點時,還可以考慮使用拋物線的參數方程來處理,較為簡潔.

3.變式探究

3.1 條件變式

【解析】∵直線MN不過E(x0,y0),∴設MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配湊C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

3.2 類比變式

3.3 逆向變式

4.拓展探究

細品解題過程及結論,筆者發現第(Ⅱ)問的解答耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,當定點Q變為一般性的定點(s,t),背景的拋物線變為一般性的拋物線y2=2px(p>0),那么拋物線上是否還存在點E使EM⊥EN呢?如果存在,則所需要的充要條件是什么?如果EM⊥EN再變為一般性的這兩條直線的斜率積為t呢?逆向思考又會出現什么?另外背景的拋物線變為橢圓、雙曲線呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結論:

【結論1】已知過點Q(s,t)的動直線l交拋物線Γ:y2=2px(p>0)于M,N兩點,則在Γ上存在點E使得EM⊥EN成立的充要條件為t2=2p(s-2p),且此時點E(s-2p,-t).

證明：∵MN不過E(x0,y0),∴設MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.∵Γ:y2=2px,配湊Γ:[(y-y0)+y0]2=2p[(x-x0)+x0]?(y-y0)2+2y0(y+y0)=2p(x-x0),即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=2p(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)].

∵MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1,

我們正向探究得到了部分結論,那么逆向探究會得到哪些結論?

結論5,6,7的證明方法類似于結論4,略.

5.追本溯源

這道八省聯考高三圓錐曲線大題使用的方法,其實課本早有鋪墊,其與人教版選擇性必修第一冊第138頁6題有著很大的相似性:過拋物線y2=4x的頂點作互相垂直的弦OA,OB交拋物線于A,B兩點,求證:直線AB過定點(4,0).這里使用結論1很快即可證明.

另外近幾年高考中也頻繁出現這類試題,比如2020年高考全國Ⅰ卷數理第20題、2022年高考全國甲卷數理第20題、2022年新高考全國Ⅰ卷數學第21題等.因此啟發我們在教學中要回歸教材,要讓教材和教輔資料各盡其責、物盡其用,防止本末倒置,要注意挖掘教材中例題習題背后廣泛而深遠的意義,提煉更深層次的公式和結論,使學生深化相關知識.

6.結論應用

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)證明:直線CD過定點.

即A(-2s,2t).