傳統與創新并存 情境與問題共生
——2022年高考數學試題分析

張建文

(甘肅省岷縣第一中學)

在數學命題中,合適的情境與問題是考查學生數學學科核心素養的重要載體.情境包括現實情境、數學情境和科學情境,每種情境可以分為熟悉的、關聯的和綜合的;問題是指情境中的問題,從學生的認識角度分為:簡單的問題、較為復雜的問題和復雜的問題.2022年高考數學試題既有傳統試題也有創新試題,每一個試題都依托于特定的數學情境,每一個問題都是對情境當中數學元素之間關系的考察.下面筆者重點論述在高考題目當中,情境的呈現方式以及問題設置方法.

1.情境與問題的關系

1.1 情境是產生問題的環境

良好的情境主要體現在數學元素的清晰而確定,數學元素之間的關系明確而有序,其中蘊含著必要的數學原理和數學思想方法,能夠達到訓練學生思維的效果.數學情境是最主要的一類情境,是落實數學核心素養的沃土,中學數學為了增加數學的趣味性和適切性,也會出現一部分現實情境和科學情境.不同類型的情境對學生的思維訓練價值有所區別,數學情境當中可以提供多種類型的思維訓練方式,現實情境主要提供數學抽象訓練,而科學情境主要從情感教育角度出發,幫助學生梳理正確價值觀.

1.2 問題是情境的關系反映

恰到好處的情境設置必然需要配套良好的問題,而問題是情境的關系反應,更是思維發展的索引.情境中的問題通常有以下幾類:①直接呈現型,就是對情境進行全面深入解讀之后自然得到的結果設置問題,這種類型的問題不是難點,而難點在于情境解讀;②補充延伸型,對原有情境增加部分條件,在此基礎上設置問題,這就需要將新增加的條件結合到原有情境中重新解讀,此時的問題就類似于直接呈現型問題;③輔助指引型,這種類型的問題自身暗含條件,能夠使得原情境更加具體化,就其問題價值而言,輔助指引型的問題設置更具有思維價值,這種類型的問題本身沒有增加新的條件,但是問題本身卻使得情境更加具體,例如全國卷乙卷第9題中的問題設置就是這種類型.

1.3 情境與問題相輔相成

良好的情境能夠孕育出高質量的問題,高質量的問題一定依賴于好的情境,2022年高考數學卷在情境創設與問題設置上,即保持傳統的試題命制風格又體現素養考查的動向.

情境與問題是共生依存的,情境是問題存在的前提,問題是情境中數學元素之間關系的具體表述,先有情境描述后有問題引導,相同的情境可以設置多樣化的問題,相同的問題可以依賴不同的情境.情境為學生的思維發展提供了良好的土壤,幫助學生培養數學核心素養,高質量的學習重心在于對情境的準確而深入的解讀.問題使得學生在思考的同時能夠獲得學習的成就感.問題的另一個價值就是檢測學生的學習效果,這是顯性可測的,能夠有效調整學生的思考方式,獲得良好的學習方法.

2.情境分類

按照數學情境、現實情境和科學情境三類表述,2022年高考真題中數學情境占比最大,現實情境和科學情境數量較少.本文中的數學情境主要選取全國卷乙卷中的選擇填空題進行說明,現實情境和科學情境則選取全國卷甲卷、乙卷、新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷進行說明.

2.1 數學情境

數學情境是體現數學元素之間相互關系的情境,一般是先描述情境中的數學元素,再描述數學元素之間的相互關系,數學情境中的數學元素主要是指代數對象或幾何中的點線面體等.數學情境是數學考題中出現頻率最高的情境,是讀者學習數學的主要載體.邏輯推理是數學的靈魂,而數學情境中進行的主要活動就是邏輯推理,通過邏輯推理在不同的數學元素之間建立聯系,得出新的數學結論,邏輯推理的深度決定了對數學情境的理解深度,從而決定了對思維的訓練效度.

按照情境的關聯程度,數學情境可以分為熟悉的數學情境、關聯的數學情境以及綜合的數學情境.按照情境的復雜程度,可以分為簡單的數學情境、較復雜的數學情境以及復雜的數學情境.學生的推理能力越強,對情境的認識越深刻,數學思維訓練效果越好.試題中出現的大多數是數學情境,如全國乙卷理科1,2,3,5,7,8,9,11,12,14,15,16題等,關聯程度都是熟悉的,復雜程度一般都不高.

2.1.1 數學情境中的較復雜情境

【例1】選自2022·全國乙卷理·11

情境描述：設雙曲線C的焦點在x軸上,F1,F2為其左、右焦點,過左焦點F1的切線與雙曲線相交,有兩種情形:

(1)切線與雙曲線的兩支相交,如圖1;(2)切線與雙曲線的一支相交,如圖2.

圖1

圖2

情境解釋：(1)當切線與雙曲線的兩支相交時,設切點為P,過F2作切線的垂線,垂足為H,連接OP,如圖3.設NF1=m,NF2=n,則m-n=2a.Rt△F1OP與Rt△F1F2H相似,且O為F1F2的中點,OP=a,所以F2H=2a.

圖3

(2)當切線與雙曲線的左支相交時,設切點為P,連接OP,過F2作切線的垂線,垂足為H,如圖4.

圖4

問題設置：1.圍繞a,b,c的比值進行設置,或是在其基礎上進行延伸或變換:

①求a,b,c的比值;②求雙曲線的離心率;③求雙曲線的漸近線方程.

2.增加限定條件確定切線交點情況:當切線與雙曲線的左支相交時,

①求雙曲線的漸近線方程;②求雙曲線的漸近線夾角的余弦值和正弦值;

③判斷直線y=2x與雙曲線有幾個交點;④當a=3時,求雙曲線的方程.

此情境是較復雜的數學情境,是以文字描述的形式來體現的幾何情境,需要我們根據文字描述將幾何情境直觀化,再去分析幾何情境中量和量之間的關系.確定這個幾何情境的關鍵是要明確切線與雙曲線的交點情況,然后在焦點三角形中分析a,b,c之間的關系,在此基礎上可以設置各種問題.當然,問題的順利解答是情境充分理解的必然結果,情境理解的是否準確和全面直接決定問題解答的結果.常言道“以不變應萬變”就是以情境的充分理解來解答此情境下產生的各種問題,所以啟示教師在教學過程中要特別注重對情境的全方位理解,引導學生關注情境分析的過程,從而優化教法學法.

2.1.2 數學情境中的復雜情境

【例2】選自2022·全國乙卷理·12

情境呈現：已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,g(2)=4.

情境描述：兩個函數f(x),g(x)滿足:

(1)f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7對任意x∈R均成立;

(2)y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,且g(2)=4.

情境解釋：y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱?g(2-x)=g(2+x)?g(x)=g(4-x)?g(-x)=g(4+x),其結構符合:g(A)=g(B),A+B=4.

已知:①f(x)+g(2-x)=5;②g(x)-f(x-4)=7.

(1)對于①式進行變換,并與自身結合.f(x)+g(2-x)=5?f(-x)+g(2+x)=5,由于g(2-x)=g(2+x),所以f(x)=f(-x),即y=f(x)為偶函數.

(2)對于②式進行變換,并與自身結合.g(x)-f(x-4)=7?g(4-x)-f(-x)=7,由于g(x)=g(4-x),所以f(-x)=f(x-4),即y=f(x)的圖象關于直線x=-2對稱.

(3)對于②式進行變換,并與①式結合.g(x)-f(x-4)=7?g(2+x)-f(x-2)=7,由于g(2-x)=g(2+x),且f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+f(x-2)=-2,故y=f(x)為周期函數,且周期T=4.

(4)對于g(2)=4,通過觀察結構取特值可以得到f(x)的部分函數值.

在①式中,令x=0,有f(0)+g(2)=5,則f(0)=1,

在②式中,令x=2,有g(2)-f(-2)=7,則f(-2)=-3,

在①式中,令x=1,有f(1)+g(1)=5;在②式中,令x=1,有g(1)-f(-3)=7,則有f(1)+f(-3)=-2,即f(1)=-1.所以有f(1)=-1,f(2)=-3,f(3)=-1,f(4)=1.

綜上可知,函數y=f(x)是偶函數,關于直線x=-2對稱,周期T=4,且f(1)=-1,f(2)=-3,f(3)=-1,f(4)=1;y=g(x)具有對稱性(關于直線對稱)和g(2)=4.

(2)設置性質探究型問題:①判斷函數y=f(x)的奇偶性;②證明函數y=f(x)關于直線x=2對稱;③證明函數y=f(x)的周期為T=4.

(3)收縮式設置問題:你可以繪制出符合條件的y=f(x)的圖象嗎?

(4)發散式設置問題:你可以盡可能多的寫出y=f(x)的性質嗎?

這個情境是數學情境中的熟悉而復雜的情境,雖然抽象函數在教學過程中是常見的,也是學生比較熟悉的,但是由于情境的復雜性,將兩個抽象函數結合在一起,根據一個函數y=g(x)的性質去推導y=f(x)的性質,這當中考查數學抽象、邏輯推理以及數學運算核心素養,對學生的綜合能力要求也比較高.問題的解決需要學生對此數學情境有明確而清楚的認識,并對情境準確解讀.

數學情境的常規解答流程是:情境描述→情境解釋→問題翻譯→尋找對策→嘗試解決.其中重難點是情境解釋,只要將情境解釋通透,其余問題就會迎刃而解.

2.2 現實情境

現實情境是對生活具體場景的描述,其中主要體現生活中各種事物之間的數量關系.現實情境是概念教學中引出概念的主要教學情境,是數學概念得以存在的主要載體.現實情境承載著數學抽象素養的培養任務,對現實情境進行解讀的主要方式就是進行數學抽象,從生活常見情境當中抽象出代數表達式或幾何圖形,獲得數學元素之間的數量關系或位置關系,由此進入數學情境,利用數學知識分析解答.

根據情境的關聯程度,現實情境可以分為熟悉的現實情境、關聯的現實情境以及綜合的現實情境.根據情境的復雜程度,可以分為簡單的現實情境、較復雜的現實情境以及復雜的現實情境.試題當中的現實情境主要以熟悉而簡單的情境為主,如全國卷乙卷理科10,13題,甲卷理科2、新高考Ⅰ卷4題等,主要考查學生的數學抽象核心素養以及運算求解能力.

【例3】選自2022·全國新高考Ⅰ卷·4

情境呈現:南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應水面的面積為180.0 km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺.

情境抽象：

對此現實情境的解讀經歷了一次數學抽象和一次圖形修正(如圖),第一次抽象是對現實情境的簡單描述,將現實事物的數據直接呈現出來,但這樣的圖形不利于計算,所以還需要對此圖進行調整,將不需要的線、面剔除掉,得到有利于分析運算的幾何圖形,由此轉為數學化的數學情境:在棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底面面積為140.0 km2,上底面面積為180.0 km2,棱臺高為9 m.

問題設置：(1)根據已知條件設置問題:求該水庫水位上升所增加的水量.

(2)增加條件設置問題:若水庫放水速度為80 m3/s,則增加的水量流出大約需要多長時間?

水庫是生活中熟悉卻不常見的情境,該情境的考查重心在于數學抽象,是將水庫抽象為棱臺,對于棱臺這個幾何體,需要我們確定棱臺的形狀、棱長、高、上、下底面面積以及線面夾角等等,在此基礎上可以將問題引入到數學化的情境當中去思考.現實情境的常規解答流程是:情境呈現→情境抽象→情境修正→數學情境→情境解答.其中重難點是數學抽象,進入數學情境以后問題就會變得非常簡單.

2.3 科學情境

科學情境是關于科學技術發展以及技術應用方面的情境,既有古代科學技術也有現代科學技術.一般地,科學情境的呈現方式是:背景描述+數學模型,一般選取我國科技發展與進步中取得的重要成就作為試題背景,體現數學的應用價值和時代特征,激發青年學生樹立為國家服務、奉獻科技事業的信念,模型描述一般以數列、函數、不等式等基本知識為主.

根據情境的關聯程度,科學情境可以分為熟悉的科學情境、關聯的科學情境以及綜合的科學情境.根據情境的復雜程度,可以分為簡單的科學情境、較復雜的科學情境以及復雜的科學情境.試題當中的科學情境一般都新穎而特別,重在讓學生感受我國現代科技的強大以及古代科技給人的震撼,至于情境中的問題都是直接呈現,一般難度較小.

【例4】選自2022·全國乙卷理·4

情境分析：科學情境轉化后的數學情境是一個數列問題,數列{bn}是由數列{an}構造而成,其中數列{an}是正整數構成的數列,但具體的變化規律不確定.

問題設置：(1)當ak=1(k∈N*)時,比較大小:①b1與b3;②b3與b8;

(2)當ak=k(k∈N*)時,比較大小:①b1與b3;②b3與b8;

(3)比較大小:①b1與b3;②b3與b8.

在(3)中能否利用特值比較大小是值得商榷的,但鑒于試卷特點和應試技巧而言,我們是可以取特值ak=1比較大小的,即與(1)的結果是一致的.

通常情況下將科學情境轉化成數學情境,在數學情境中利用數學知識完成解答.鑒于題目考查要求,由科學情境轉化而來的數學情境一般都比較簡單.

3.思考與小結

情境是學生進行思維訓練的環境和載體,情境中問題的解決是學生思維發展的自然結果.這從另一個角度也體現出學生學習習慣的差異,一個關注于問題答案的思維活動是低層次的,忽略了情境中蘊含的其他知識聯結,而關注于情境本身邏輯內涵的思維活動是高效的,這種思維活動理清了情境中的各種知識聯結,思維量是比較大的,一個情境中的收獲度是非常高的,相當于完成了好幾道數學題目,學習效果的高效正體現于此.

縱觀今年高考真題,大多數考生的反應是難,其實細細研究高考真題,根本原因是高考真題中的情境形式多樣化、情境分布隨機化以及情境聯系深入化,從而使得習慣于固定題型訓練的考生難以解讀多樣化的情境,進而問題難以解答.關注于固定題型和問題結果的考生對情境解讀不夠深入,必然導致問題難以解答,而在平時學習中關注于學習過程本身鉆研情境中邏輯關系的考生感覺高考題與平時訓練題目并沒有多大區別.

(本文系甘肅省定西市教育科學“十四五”規劃2022年度課題《單元教學背景下的高中數學問題情境創設研究》編號(DX[2022]GHBZ0107)階段性成果之一)