例談換元法解題

摘 要：隨著新課改的進行，在教學中融入數學的思想方法對學生來說愈加重要. 本文從整體的思想、新舊元的特點對換元法進行了分類， 旨在提升學生分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：換元法; 解題; 整體換元; 新元; 舊元

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0038-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：于雯雯（1999.11-），女，山東省菏澤人，碩士研究生在讀，從事數學教學研究.

基金項目：揚州大學教學改革研究課題項目“線性代數線上和線下混合式教學研究”（YZUJX2020-D11）

羅增儒先生在《數學解題學引論》一書中指出：數學方法的本質在于數學思想的程序化［1］.所以我們在解題時需要數學思想和方法的引領，但同時也需要一些具體的解題程序和技巧.而換元法就是其中一個解題方法，它在初等數學和高等數學中的應用都十分廣泛，在因式分解、解方程、證明不等式、求函數的值域和定義域、解決數列問題等方面中都起著重要的作用.應用換元法解題的基本步驟是引入一個或幾個新的元來代替原有的元，解出新元之后， 再利用新元和舊元的關系恢復原來的元，以得到原來問題的結果.換元法的基本思想是通過變量代換化繁為簡，化難為易，化未知為已知，使問題發生有利的轉化，從而達到解題的目的［2］.但不同題目特點不同，因此解題技巧方法也不同，故而我們需要基于題目本身的特點尋找解題的方向.通過對以往的文獻進行分析發現大部分研究是針對于不同換元法類型與不同題目間的關系，如付立業的《三角換元法，巧解高考題》就介紹了某一類換元法在高考題目中的應用；劉延群的《高中數學換元解題“六法”》介紹了多種換元方法在解題時的應用；楊小兵的《利用換元法解決一類三根問題》介紹了多種換元法在一類題目中的應用，這種一對多、多對多或多對一的方法固然清晰，但方法太多并不易于學生選擇.因此本文使用分層的思想對換元法進行分類，旨在使讀者對換元法的本質有一個更加清晰的認識，從而使學生更容易選擇合適的換元方法.

1 從整體的思想來看

將題目中的一個或幾個式子分別看成一個整體，用一個或幾個新元代換它們，以此來使復雜的問題清晰化、簡單化，從而使問題得到更容易解答的方法叫做整體換元法.一元變量互換性換元、分母換元、目標換元等都屬于整體換元.

1.1 一元變量互換性換元

一元變量互換型換元是在應用整體換元時，只需引入一個變量，這個變量所替代的部分往往是一個式子中重復出現的部分，但有時并不能直接發現題目中重復出現的部分，此時就需要先對式子進行觀察，尋找各部分之間的關聯，再對問題進行解決，這也是換元法的難點所在.

參考文獻：

［1］ 羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

［2］ 李明振. 數學方法與解題研究［M］.上海：上海科技教育出版社， 2022：235-255.

［3］ 孟偉業.整體換元法在解題中的應用［J］.數學教學研究，2016， 35（05）：59-63.

［4］ 劉延群.高中數學換元解題“六法”［J］.中學數學，2022（09）：81-82，95.

［責任編輯：李 璟］