職教高考數列綜合應用題解題策略探究

摘 要：數列的綜合應用是職教數學高考中的重點內容，主要考查考生對數列基本概念的掌握和運用情況.本文結合實際例題對職教高考數學中數列綜合應用問題解題的思路進行分析和探究，旨在指導數學教師開展教學，為學生優化解題思路提供借鑒.

關鍵詞：職教高考；數列；解題思路

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0014-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：邱婷婷（1987.7-），女，江蘇省鹽城人，研究生，講師，從事高中數學教學研究.

職教高考是國家為中專專門設計的一條升學路徑，數學學科是其中一門重要的考試科目，而數列綜合應用問題則是數學職教高考中的重點，同時也是難點之一.由于數列綜合應用問題的解題過程較為繁瑣，對解題步驟要求也較為嚴格，所以一旦出現誤差將會影響整體答案的準確性.為了職校生能夠取得良好成績，相關教師應當傳授職校生科學的解題思路和方法，強調全面掌握基礎知識和概念，并整理同類題型，多加練習，總結做題技巧，深入分析題目，確定解題關鍵信息，再對解題步驟進行精簡，從而提高答題效率.

1 靈活運用數列知識基礎概念

基于以往的職教高考實踐經驗，多數職校生將數列綜合應用問題視為難點，主要原因是學生對于數列概念的理解不深刻，即在學習過程中不注重理解，采用死記硬背的方式進行學習，導致在考試時難以進行準確解答［1］.所以數學教師在進行數列綜合應用問題教學時，應當注重引導學生正確理解知識概念，再指導學生學習解題應用.比如教師可從相對簡單的題目入手，遵從循序漸進的原則，促使學生深入理解基礎知識概念，學會使用定義法解題［2］.比如給定an+1=an+d或an+1=qann∈N+條件，則滿足等差數列或等比數列的定義，再根據定義得到公差或公比，然后尋找首項.教師應當注重引導學生完善自身的知識網絡和體系，可通過思維導圖的方式對數列綜合應用問題的相關知識點進行整理，加強知識點間的聯系，便于學生在閱讀題目后，能夠快速判斷所需使用的知識點，通過概念理解獲得解題思路.例題如下：

例1 已知數列an滿足，an+1=an+2n∈N+，且a1=1.

（1）求數列an的通項公式及前n項和Sn；

（2）假設bn=2an，求數列bn的前n項和Tn.

通讀題目，可運用定義法進行解題，即使利用等差數列和等比數列的定義、通項公式等，再確定首項，解題步驟如下：

解 （1）因an+1=an+2，則an+1-an=2，

所以數列an是首項為1，公差為2的等差數列，

可得an=2n-1，Sn=n（1+2n-1）2=n2.（2）因bn=2an=22n-1=2×4n-1，

又因數列bn是以2為首項，以4為公比的等比數列，

所以：Tn=234n-1.

在解題時，教師要先引導學生熟悉教材中的基本知識概念，從定義入手.如在教學中，根據教材內容，解決較為簡單的數列問題，內化總結數列的定義，再列舉相同的數字組，了解和掌握有窮數列、無窮數列等.然后通過列舉掌握等差數列與等比數列，深刻理解其含義［3］.

2 整理同類型題掌握解題思路

在數學職教高考中，很多同類型題的解題思路是相同的，尤其是數列綜合應用問題.所以教師要引導學生在日常學習過程中，對同類型題進行整理和歸納，有助于總結解題思路，從而能夠快速運用到同類型題解答中［4］.在整理時，應當注重對比歸納同類型題的相同點和不同點，便于在后續解題過程中靈活運用，養成自主學習、主動整理歸納等習慣.比如可指導學生建立錯題集，將容易出錯的同類型題歸集在一塊，對比分析解答思路，有助于提升答題效率.

因此，教師應當引導學生按照教材知識內容并結合近年來數學職教高考常見題型等進行相同題型整理，適當對現有例題進行拓展，以便學生掌握更完善的解題思路.比如在學習等差數列時，在做題過程中強調歸納相同類型的題目，如等差數列求和或求等差數列某一項等，探索問題規律和解題思路，運用等差數列求和公式進行計算.

例2 已知數列an的首項a1=a（a為常數），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2.

（1）數列an是否可能是等差數列？若可能，求出an的通項公式，若不可能，說明理由.

（2）設在數列bn中，有b1=b，bn=an+n2n∈N且n≥2，Sn是數列bn的前n項和，且Sn是等比數列，求實數a，b滿足的條件.

解 （1）因a1=a（a為常數），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2，得a2=2a-2，a3=4a-5，a4=8a-8.若an是等差數列，則a3-a2=a2-a1，得a=1，但由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾．

所以an不可能是等差數列．

（2）因為bn=an+n2，所以bn+1=2bnn∈N且n≥2．

所以bn=a+12n-1n∈N且n≥2．當a≠-1時，bn≠0，因此bn從第2項起是以2為公比的等比數列．

所以Sn=b1+2a+22n-1-12-1=a+12n+b-2a-2，

當n≥2時，SnSn-1=2-b-2a-2（a+1）2n-1+b-2a-2，Sn是等比數列，因為a≠-1，所以b-2a-2=0.

當a=-1時，b2=0，由bn=2bn-1（n≥3），得bn=0（n≥2），

又因為Sn是等比數列，所以b≠0，

綜上，數列Sn是等比數列，實數a，b所滿足的條件為或a≠-1b=2a+2或a=-1b≠0.

在解題中，為證明一個數列是等差數列或者等比數列，則需要證明任意的連續的三項中，后一項與前一項的差或比值相等即可.一方面，將類似題目進行整理歸納，能夠加深學生對等差數列以及等比數列的理解，有利于提高解題效率和準確性；另外一方面，通過對相同類型試題進行歸納總結，有助于有效應對職教高考中出現的各種數列綜合應用問題，在閱讀試題后能夠快速明確解答思路，進而書寫正確的解題步驟［5］.

3 明確題目重點尋找解題線索

在對數列綜合應用問題進行解答時，應當注重勾畫題目重點內容，根據題意中所給出的條件，尋找解題線索［6］.很多時候學生在解題時會忽視一些線索，導致解題較為困難，影響解題效率.所以教師應當傳授學生正確讀題的方法，在理解概念的前提下，快速提取題干中的關鍵線索，對試題進行合理解答.

例3 設一個等差數列的項數為偶數，其奇數和為24，偶數項和為30，且最后一項比第一項大10.5，則最后一項是_______.

先對題目進行閱讀和理解，先確定該數列為等差數列，再根據題目所給信息得到S奇=24，S偶=30，設這個數列一共2n項，那么a2n-a1=10.5，將所有條件列出后，再進行解答，假設公差為d，項數為2n，則S偶-S奇=30-24=6=nd，首尾項之差為10.5=2n-1d，聯立兩個方程，可得到項數為8.通過對題目條件的總結，能夠更為清晰的確定使用哪個知識點，確定解題思路，有利于提升解題效率.

除此之外，部分職教高考數學試題中，題目中并沒有直接明確數列是等差數列還是等比數列，因此，學生應當合理運用自身所學的知識，正確判斷題目信息，并清明確該種的數列的性質，然后總結題目條件，這不僅有利于形成正確的解題思路，而且還會有效降低錯題概率［7］.

4 圍繞題目內容精簡解題步驟

解答數列知識背景的綜合應用試題時，往往伴隨著較為復雜的解題步驟，很多時候會導致卷面不夠整潔，再檢查時也會出現一定困難，影響卷面美觀.所以為保證職教高考卷面整潔，答案清晰，應當注重圍繞題目內容，對解題步驟盡可能精簡，省略不必要的步驟，呈現關鍵步驟和正確答案，這有利于梳理解題步驟，便于開展檢查［8］.如果學生沒有緊扣題目，盲目按照題目順序進行運算，則會導致錯誤幾率增加.

例4 設數列an，滿足a1，a2，a3為等比數列且a1+a2+a3=19，a2，a3，a4為等差數列，a2+a3+a4=12，求此4個數.

針對這一題目，學生可按照已知條件，列出a2a1=a3a2，且a1+a2+a3=19，a3-a2=a4-a3，a2+a3+a4=12從中可得到a3=4，然后代入到兩個式子中，可得a2=6，再進行計算，得到a1=9，a4=2.從該解題步驟中，呈現了邏輯清晰合理的運算步驟.如單純按照題目順序開展運算，則無法獲得a2值，影響后續運算結算.所以在解題過程中，通過精簡答題步驟、省略不必要的運算過程和思考，能夠快速獲得答案，有利于開展檢查，確保答題正確率［9］.同時在一個題目下，運用前面獲得的答案，解答后續問題，即可省略一部分運算過程，保證解題步驟簡略、清晰.特別是針對選擇題、填空題等題型，通過精簡運算過程能夠快速獲取答案，以此節省答題時間.對于應用題型，則是盡可能呈現重要步驟，避免解題過程繁冗，保證解題過程順暢、邏輯明確，便于閱卷教師能夠直接看到正確答案［10］.

參考文獻：

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［9］ 周小琴，王艷蓉.高職數學教學中的數學文化滲透探究［J］.數碼設計（上），2021，10（5）：309-310.

［10］ 劉蘭梅.高職數學教學現狀及優化改革研究［J］.創新創業理論研究與實踐，2021，4（21）：19-21.

［責任編輯：李 璟］