基于殘缺值的模糊偏好關系多屬性大群體決策方法

摘 要： 在多屬性大群體決策環境下，針對決策者給出關于決策方案兩兩比較且可能包含殘缺值的模糊偏好關系的決策問題，提出了一種基于相似度聚類的殘缺值模糊偏好關系大群體決策方法。此方法首先通過標準化殘缺值矩陣，然后定義判斷矩陣之間的相似度對大群體進行聚類，再對各個屬性下的群體偏好進行集結，通過偏差熵模型確定各個決策屬性的權重，集結所有決策屬性下的群體偏好，最后得到決策方案的排序結果。文章最后給出了一個算例分析以驗證此方法的有效性。

關鍵詞： 殘缺值；模糊偏好關系；聚類；多屬性決策；大群體決策

中圖分類號： C 934

文獻標志碼： A

Multi-Attribute Large Group Decision Making Method Basedon Incomplete Fuzzy Preference Relation

FENG Xiaojing

（Institute of Western China Economic Research， Southwestern Universityof Finance and Economics， Chengdu 611130， China）

Abstract： In the environment of multi-attribute large group decision-making， aiming at the decision-making problem that the decision-maker gives the fuzzy preference relation of pairwise comparison of decision-making schemes and may contain residual value， a large group decision-making method based on similarity clustering of fuzzy preference relation of residual value is proposed. This method firstly standardizes the incomplete value matrix， then defines the similarity between judgment matrices to cluster large groups， and then aggregates the group preferences under each attribute; Next， it determines the weight of each decision attribute through the deviation entropy model， and aggregates all decisions Group preferences under attributes， and finally get the ranking results of decision-making schemes. A numerical example analysis is given to illustrate the effectiveness of the method developed.

Key words： incomplete value; fuzzy preference relations; clustering; multi-attribute decision making; large group decision making

0 引言

近年來，決策這一研究領域得到了廣泛關注和研究，眾多學者在決策領域提出了多種決策方法，并將它們應用到管理科學的各個方面。現有的決策方法主要集中在多屬性群決策、模糊數決策、語言信息決策、多階段決策等領域。群體決策一直都是決策領域研究的重要范疇，然而現有的群體決策方法卻局限在小群體范圍內。隨著現代網絡信息的迅猛發展以及信息資源的暴增，決策問題變得越來越復雜，因此需要更多的不同領域的專家來參與決策。鑒于此，徐選華等學者對此類問題進行了研究并提出了一些大群體決策方法，但是這些大群體決策方法卻局限在決策信息為實值的決策中。

由于人類認識事物的主觀性以及客觀事物的復雜性，決策者往往更喜歡用模糊偏好來表達自己的決策信息，而模糊偏好關系正是模糊偏好的一種，由此徐選華進一步提出了基于模糊偏好關系的大群體決策方法。但是，由于人類認識事物的不確定性和局限性，決策者往往不可能對所有的決策方案都給出自己確切的決策偏好，鑒于此，徐澤水進行了深入研究并提出了一些基于殘缺值的決策方法，但是這些基于殘缺值的決策方法卻沒有應用到大群體決策上。同時，決策者在做決策時往往要考慮決策方案的多個屬性，從而做出準確的決策。徐選華提出的模糊偏好關系大群體決策方法沒有考慮到決策問題的多屬性。本文將基于殘缺值的決策以及模糊偏好關系決策綜合考慮，放在多屬性大群體決策環境下進行研究。先將各個屬性下的基于模糊偏好關系的殘缺值矩陣轉化為一般形式的模糊關系矩陣，再通過定義模糊偏好關系之間的相似度，構造基于相似度的聚類算法對各個屬性下的大群體進行聚類，通過聚集之間的權重對各個屬性下的聚集進行集結，再通過偏差熵模型求出屬性的權重對多屬性進行集結，最后通過一個算子得到決策方案的排序。

1 問題描述

本文研究的是模糊偏好關系決策，在這里先給出其定義如下：若矩陣A為模糊偏好關系對應的判斷矩陣，則矩陣中元素aij表示決策方案i優于決策方案j的程度。當0.5

假設一個決策問題有P個決策方案，N個決策屬性，并且是一個有M（當M≥20時，我們稱之為大群體）個決策者的大群體決策問題，在決策過程中，在每一個屬性下，每一個決策者都有一個關于決策方案兩兩比較的模糊偏好關系判斷矩陣，則在第n個決策屬性下第m個決策者關于決策方案的模糊偏好關系判斷矩陣如下：

Amn=（amij）P×P=amn11amn12…amn1P

amn21amn22…amn2P

…………

amnP1amnP2…amnPPP×P

其中，amij表示在第n個決策屬性下第m個決策者的決策方案i優于決策方案j的程度。

同時，由于決策者自身關于決策問題的局限性以及不確定性，決策者無法判斷某兩個方案的優劣程度，在這種情況下，決策者則不給出這兩個方案的比較值，即讓aij和aji為空。

現要由N個屬性下M個決策者做決策時得到的N×M個P維的模糊偏好關系判斷矩陣，而這些判斷矩陣中的某些元素可能為空值，得到一個最后的決策排序結果。

2 方法原理

考慮到模糊偏好關系判斷矩陣中的某些元素為殘缺值（空值），將這些空值轉化為群體偏好從而使原判斷矩陣轉化為標準的模糊偏好關系判斷矩陣；考慮到大群體決策環境下決策群體的復雜性，通過判斷矩陣相似度的定義，對各個屬性下的大群體偏好進行聚類，形成各個決策屬性下的模糊偏好關系群體偏好；再通過偏差熵模型對各個決策屬性下的權重進行求解，從而對群體偏好進行集結，最后通過一個算子得到決策方案的排序結果。

2.1 判斷矩陣標準化

在決策過程中，如果決策者無法判斷某兩個決策方案的優劣程度，則該決策者不給出這兩個方案的比較值，即讓aij和aji都為殘缺值，即空值。在這種情況下，我們就認為該決策者關于這兩個決策方案的偏好程度和整個群體的偏好程度一致，則用群體的平均偏好替換空值。若anmij=anmji=Φ，則用a*nmji和a*nmij代替：

a*mnij 1Mnij∑Mm=1amnij，amnij≠Φ

a*mnji 1Mnji∑Mm=1amnji，amnji≠Φ（1）

其中，Mnij=Mnji為第n個屬性下各個決策者關于方案i和方案j的模糊偏好值，anmij≠Φ（anmji≠Φ）的個數。

將所有的殘缺值用群體平均偏好替代后，得到新的N×M個P維標準化的模糊偏好關系判斷矩陣：

Bmn=（bmij）P×P=bmn11bmn12…bmn1P

bmn21bmn22…bmn2P

…………

bmnP1bmnP2…bmnPPP×P

其中，bmij表示替代殘缺值后第n個決策屬性下第m個決策者的決策方案i優于決策方案j的程度。

2.2 基于相似度聚類的大群體偏好集結

由于大群體決策環境下各個決策成員之間的差異較大，為此考慮各個決策屬性下各個決策者關于方案偏好之間的相似度，基于相似度對決策成員進行聚類從而對群體偏好進行集結。有學者從范數的角度定義了兩個模糊偏好關系矩陣之間的相聚度沒有滿足自反性，即相同的兩個判斷矩陣之間的相聚度應該為1。為了彌補這一缺陷，本文定義了如下的相似度：

定義1 兩個決策者m1和m2的模糊偏好關系判斷矩陣之間的相似度定義如下：

rm1m2（Bm1，Bm2）=1-1P（P-1）∑Pi=1∑Pj=1｜bm1ij-bm2ij｜（2）

定義1定義的兩個模糊偏好關系判斷矩陣之間的沖突度滿足下列三個性質：

（1）有界性：0≤rm1m2（Bm1，Bm2）≤1。

（2）對稱性：rm1m2（Bm1，Bm2）=rm2m1（Bm2，Bm1）。

（3）自反性：rmimi（Bmi，Bmi）=1。

證明：性質（1）∵0≤｜bm1ij-bm2ij｜≤1，aii = 0.5；

∴0≤1P（P-1）∑Pi=1∑Pj=1｜bm1ij-bm2ij｜≤1；

∴0≤rm1m2（Bm1，Bm2）≤1。

性質（2）、（3）顯然成立。

基于式（2）定義的相似度，借鑒的聚類方法，在每一個決策屬性下對每一個成員偏好都進行聚類，對決策成員形成不超過M個聚集（M是決策成員的總數）。在聚類算法中引入閾值γ用來判斷兩個方案偏好關系判斷矩陣之間的相聚度，即判斷該成員是否歸類為其中某一個聚集，在本文中，取閾值γ=0.75。對一個已經形成的初始聚集，從未被聚類的群體中選擇一個方案偏好關系判斷矩陣，如果這個矩陣與所有被選入該聚集的方案偏好關系判斷矩陣的集結矩陣間的相聚度大于或等于閾值γ，則將這個矩陣分配給該聚集。否則，這個方案偏好判斷矩陣將不分配給這個聚集，而把它分配給一個臨時集合。當所有成員的方案偏好判斷矩陣都被分配到相應的聚集中時，成員偏好聚類完畢。

對各個決策屬性下的標準化后的模糊偏好關系判斷矩陣聚類后，形成K個聚集（每一個屬性下的K可能不同），nk為聚集Ck的成員個數，接下來需要對各個聚集內的各個決策者的偏好進行集結，借鑒文獻［17］聚集內決策成員偏好的集結方法，認為能夠聚類在同一個聚集內，則這個聚集內決策成員之間的差異不大，故賦予他們相同的權重。對于聚集Ck，利用加權幾何平均算子（WGAO： Weighted Geometric Averaging Operator）進行集結得：

BnCK=bnCKijP×P，bnckij=1nk∑nmm=1，i，j=1，2，…，P； k=1，2，…，K（3）

對各個聚集內的偏好進行集結后，就需要對各個聚集的模糊偏好關系進行集結。在這里，考慮各個聚集內的決策成員個數，聚集內決策成員個數越多，則認為該聚集內的成員能夠代表大多數決策者的意見，對達成最終的決策結果貢獻更大，因此應該賦予更大的權重；反之，聚集內決策成員個數越少，則賦予更小的權重。根據這一原則，第n個決策屬性下聚集k的權重wnk定義為：

wnk=nnkM，n=1，2，…，N； k=1，2，…，K（4）

其中，M為決策成員總個數，nnk為第n個屬性下的第k個聚集的決策成員個數。

用求出各個聚集權重，分別對n個屬性下的所有的聚集的偏好關系判斷矩陣BnCK利用WGAO進行集結，得到第n個決策屬性下的群體模糊偏好關系判斷矩陣

BnG=bnGijP×P，

bnGij=∑Kk=1wnk·nCKij，i，j=1，2，…，P（5）

得到每一個決策屬性下的群體模糊偏好關系判斷矩陣后，為了得到各個決策屬性的權重，采用文獻［13］的方法，通過偏差熵模型進行求解。熵原是熱力學中的一個概念，它是信息的一個度量指標，可以用來度量獲取的數據所提供的有用信息量。熵權法也廣泛應用于決策過程中，屬性的熵權越大，則對決策最終結果的貢獻就越大。構建多屬性偏差熵模型如下：

max T=-∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|×ln∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|

s.t. ∑Nn=1ωn=1，0≤ωn≤1（6）

用求出的決策屬性熵權值，對所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關系判斷矩陣BnG利用WGAO進行集結得到所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關系判斷矩陣

BG=（bGij）P×P，

bGij=∑Nn=1ωn·bnGij，i，j=1，2，…，P（7）

對求得的所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關系判斷矩陣B通過式（8）可以求得決策方案的排序向量：

Oi=1P（P-1）∑Pj=111+bij+P2-1（8）

求得方案排序向量O=（o1，o2，…，oP），即可獲得最終的方案排序結果。

2.3 基于相似度聚類的殘缺值多屬性大群體決策方案排序

基于上述討論結果，給出一種基于相似度的殘缺值多屬性模糊偏好關系大群體決策方法，步驟如下：

Step1：首先通過式（1）將各個決策屬性下的包含殘缺值的模糊偏好關系判斷矩陣轉化為標準模糊關系判斷矩陣。

Step2：通過式（2）定義的相似度，對每個屬性下的模糊偏好關系進行聚類，形成K個聚集。

Step3：利用式（3）集結每個屬性下各個聚集的方案模糊偏好關系。

Step4：利用式（4）求出各個決策屬性下每個聚集的權重，并利用式（5）集結每一個屬性下的群體方案模糊偏好關系。

Step5：利用式（6）的偏差熵模型求出各個決策屬性的熵權值，并利用式（7）集結所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關系。

Step6：利用式（8）即可求得最終的方案排序。

3 算例分析

假設一個大群體決策問題有四個決策方案、三個決策屬性，由20個專家（DMi ， i=1，2，…，20）組成的決策小組對該決策問題共同進行決策，每一個專家都采用模糊偏好關系判斷矩陣來表達自己的決策偏好，由于某些專家對某個決策方案的不確定性，該專家在做決策時則不賦予偏好（決策值為NaN），由此構成的各個決策屬性下的包含殘缺值的模糊偏好判斷矩陣如圖1所示。

然后，通過式（1）對決策者1到決策者5的殘缺值進行標準化，得到其標準化模糊偏好關系判斷矩陣，如表1所示。

將標準化后的模糊偏好關系判斷矩陣替代原殘缺值矩陣后，對每個決策屬性下的決策者偏好進行聚類，得到各個決策屬性下聚集如表2～4所示。

集結后得到三個決策屬性下的群體模糊偏好關系判斷矩陣如表5所示。

再利用偏差熵模型求得各個決策屬性的權重為ω=（0.4390，0.2147，0.3464）。利用屬性權重集結各個決策屬性下的群體模糊偏好關系判斷矩陣得

BG=0.50.45250.50050.5368

0.54750.50.50420.6154

0.49960.49620.50.5003

0.46690.41110.49970.5

最后利用式（8）求得決策方案的排序向量為O=（0.3060，0.2997，0.3057，0.3103），所以決策方案四為最優方案。

4 結束語

本文針對在多屬性大群體決策環境下，由于決策者自身的局限性和不確定性而給出關于決策方案的殘缺值的模糊偏好關系的決策問題，提出了一種基于殘缺值的模糊偏好關系的多屬性大群體決策方法。此方法考慮了大群體決策環境下的殘缺值決策以及多屬性決策問題，進一步完善了大群體決策方法。然而，大群體決策問題本身就是一個復雜的問題，它涉及的決策群體規模龐大且復雜，因此決策群體成員之間必然存在沖突，而本文未考慮到大群體決策成員之間的沖突與協同。另外，大群體決策問題由于決策成員眾多，更加需要通過多階段交互式協商才能取得更加準確的決策結果。在本文基礎之上，未來的多屬性大群體決策研究可以考慮決策群體成員之間的沖突消解，放在多階段交互式決策下進行研究，也可考慮將該方法應用在多樣的多屬性評價與決策環境之中。

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收稿日期：2023-05-15

基金項目：中央高校基本科研業務費專項資金資助（JBK22YJ11，JBK2304149）

作者簡介：馮曉靜（1989—），女，河南新鄭人，博士，副教授，研究方向：行為運營管理。