初中數學幾何問題的解題技巧分析

黃啟杰

【摘要】平面幾何問題是初中數學知識的重點部分，也是在中考中常常出現的考點，對于很多考生也是難點之一，因此同學們需熟悉和掌握求平面幾何問題，并靈活地運用解題技巧、借助于一些輔助方法去解答幾何問題，起到化難為簡的作用.考查平面幾何問題的形式多種多樣，相關的問題也都十分靈活.本文分別介紹三種常見輔助方法的解題思路：平移法解幾何題、面積法解幾何題、代數法解幾何題，以不同例題為分析對象，結合具體例題討論如何解決求平面幾何問題，詳細解答步驟以便于同學們熟悉和掌握這類問題，靈活運用不同思路有助于同學們更透徹地理解如何求平面幾何問題.

【關鍵詞】初中數學；幾何問題；解題技巧

1平移法巧解幾何題

平移法巧解幾何題是將某些圖形通過平移從而得到新的圖形，會使計算變得很簡單，所以其重點就是找出能用平移來解決的圖形.解答這類問題，解題思路一般為：①根據題中已知條件，將所求的圖形進行平移，平移出的圖形代替原本所求圖形；②通過計算即可求出結果.

例1如圖1所示，A、B是河對岸的兩個農莊，農莊的主人想在河岸l₁、l₂之間修一座與河流垂直的橋，使農莊A到農莊B的距離最短，請問該橋應該修在哪里？

剖析由A農莊到B農莊，需將此問題轉化成求兩個點之間的最短距離，要利用“兩點之間線段最短”.但實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，將其平移過去，從而轉化成兩點之間線段最短的問題，利用平行四邊形的特征即可求出.

解析如圖2所示，作BB′垂直于l₂，使BB′等于l₁、l₂之間的距離，連接AB′，與l₁交于點P，作PD⊥l₂，則PD∥BB′，且PD=BB′，所以四邊形PDBB′是平行四邊形，即PB′=BD.因為兩點之間距離最短，所以AB′距離最短，即AP+BD最短，故橋應建在PD處.

例2如圖3所示，將△ABC沿BC方向平移d cm得到△DEF，若△ABC的周長為f cm，求四邊形ABFD的周長.

剖析首先根據題中已知條件△ABC沿BC方向平移dcm得到△DEF，可知DF=AC，AD=CF=dcm，以及四邊形ABFD的周長為△ABC的周長+AD+CF，最后代入計算即可求出四邊形ABFD的周長.

解析因為△ABC沿BC方向平移dcm得到△DEF，

所以DF=AC，AD=CF=dcm，

所以四邊形ABFD的周長為：

AB+BF+DF+AD

=AB+BC+CF+AC+AD

=f+2d，

故四邊形ABFD周長是f+2dcm.

2面積法巧解幾何題

用常規的方法求解幾何題時，計算量很大，利用計算面積的方法間接求解，可以簡化計算，快速解決問題.解答這類問題，解題思路一般為：①根據題中已知條件，將其轉化成面積問題；②利用計算面積的方法間接求出答案.

例3如圖4所示，在△ABC中，∠A為銳角，AB=AC，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，求證：BD=CE.

剖析根據題中已知條件，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，以及考慮到有“高”，因此使用面積法來求解，然后用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD即可求出BD=CE.

解析因為在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，

所以S_△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD，

因為AB=AC，

所以BD=CE.

例4如圖5所示，在等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.

剖析首先連接AD，根據題中已知條件，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，出現了兩段垂線段，因此使用面積法來求解，然后用1/2S_△ABC=1/2AB·DE=1/2AC·DF，最后根據△ABC為等腰三角形，AB=AC，即可得出DE=DF.

解析 連接AD，

因為△ABC中，D是底邊BC的中點，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，

所以1/2S_△ABC=1/2AB·DE=1/2AC·DF，

因為△ABC是等腰三角形，AB=AC，

所以DE=DF.

3代數法巧解幾何題

在解幾何問題中，直接求解較困難時，用方程、不等式、函數等代數知識來求解，將其巧妙轉化為代數問題，充分利用數形結合的數學思想方法，運用代數知識求解，可以迅速找到解題途徑，使問題迎刃而解.解答這類問題的解題思路一般為：①根據題中已知條件，將其轉化成代數問題，設角度為x；②利用角度關系通過計算即可求出結果.

例5已知，如圖6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AD=AC，BE=BC，DF⊥CE于點F，若DF=4，求CF的長.

剖析首先根據題目的已知條件，可知三角形ABC為直角三角形，以及設∠A=x，利用角度的關系即可得∠DCF=∠CDF=45°，從而對問題做出解答.

解析設∠A=x，

因為AC=AD，

所以∠ACD=1/2（180°－x，）

因為∠B=90°－x，BC=BE，

所以∠BCE=1/2（180°－90°+x）

=1/2990°+x，）

即∠DCE=∠ACD+∠BCE－90°=45°，

因為DF⊥CE，

所以∠CDF=45°，∠DCF=∠CDF=45°，

所以DF=CF，

因為DF=4，

所以CF=4.

求平面幾何問題是中考的重點問題和難點問題，考查平面幾何問題的方式多種多樣，本文給同學們提供了三種求平面幾何問題的解題思路和應用步驟：平移法解幾何題、面積法解幾何題、代數法解幾何題.不同思路對應解題方式各不相同，有助于同學們了解每個解題方法的優勢和適用范圍，有助于同學們快速采取正確合理的思路解答這一類問題.通過對上述例題的分析，希望同學們在學習過程中針對不同的問題，靈活解答，以此提高解題的效率.

參考文獻：

［1］曾鈺玲.淺談初中數學利用建系法巧解幾何題[J].數理化解題究，2021，513（20）：2-3.

［2］潘立新.巧用圖形變化，妙解幾何試題[J].中學數學：初中版，2013（11）：3.