綜合曲率和協整識別環境溫度影響下的結構損傷

周 翔， 周澤文， 常 軍

（蘇州科技大學土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

近30 年來，基于靜載荷的結構損傷識別方法發展迅速[1-3]。 在實際工程中，環境溫度引起的損傷特征參數的變化往往會掩蓋由結構損傷引起的損傷特征參數的改變[4]，導致損傷識別結果出現偏差，從而影響橋梁維護策略的正確性。 因此，變化的環境溫度對結構損傷識別的影響已成為國內外學者日漸研究的熱點[5]。

目前，相關研究方法大致可以分為兩類：一是根據橋梁健康監測信號建立環境溫度與結構響性的對應關系，例如：插值分析、隨機子空間等方法[6-7]，該方法的缺點是需要記錄環境變量的值，實際使用中存在困難；二是根據監測信號識別結構損傷，例如：主成分分析法、自適應神經網絡和協整法等[8-10]，這種方法的優點是不需要記錄環境變量的值，使用簡單且適用性更高。

源自于計量經濟學的協整被引入結構健康監測領域后，可以有效地去除環境溫度的影響[11]。Cross 等人[12]以頻譜幅值作為協整變量用于復合板結構損傷識別，有效地消除了環境溫度對損傷識別的影響且能準確地識別損傷；Liu 等人[13]以梁伸長率作為協整變量用于鋼架橋的損傷識別，有效地消除了環境溫度對損傷識別的影響并能較好地識別出損傷；周翠[14]以撓度為協整變量用于識別簡支梁結構的損傷，有效地消除了溫度對損傷識別的影響且能定位損傷單元。 梁亞斌[15]將頻率作為協整變量，以簡支梁結構為研究對象進行損傷識別，剝離出了溫度效應對損傷識別的影響，并能較快地識別出損傷。 曹亞東等人[16]以AR 模型系數為協整變量用于海洋平臺結構損傷識別，有效地消除了環境溫度對損傷識別的影響且能很好地定位損傷單元。 這些研究大大推進了協整在溫度影響下結構損傷識別的發展，但已有的研究成果仍不能滿足現階段對于損傷識別的需求，且無法在實際工程應用中很好地發揮作用。 例如，以撓度為協整變量會引起無損梁單元節點的損傷指標發生較大的變化，導致損傷識別步驟繁瑣且時間較長；以AR 模型系數為協整變量識別結構損傷時存在一定的局限性。 本文提出以曲率作為協整變量，將曲率與協整相結合，研究了環境溫度對簡支梁結構損傷識別的影響，通過數值模擬的方式，探討并提出的曲率模態和協整的綜合方法的可行性，為在實際工程應用中提供參考。

1 基本原理

1.1 協整理論

1978 年Engle 和Granger 提出協整理論及其方法[17]，為非平穩時間序列變成平穩時間序列提供了途徑。

如果序列y通過d次差分變成平穩序列，而d-1 次差分卻不平穩，那么稱序列y為d階單整序列，可為記y～I（d）。 在k維向量時間序列yt=[y1t，y2t，…，ykt]T（t=1，2，…，T）中，其分量序列皆為非平穩時間序列。 若存在一個非零向量β使得序列yt的線性組合

滿足平穩性要求，即殘差ut符合零均值、同方差的白噪聲序列，那么稱向量βT為序列yt的協整向量。 本文采用Johansen 協整檢驗確定β[18]。

1.2 ADF 單位根檢驗

Johansen 協整檢驗的前提條件是協整變量序列為一階單整序列。 序列階數平穩性的檢驗方法通常采用Augmented Dickey-Fuller（ADF）檢驗。 檢驗模型

式中，Δ為差分算子，定義為；η和為βi參數；a為常數項；p為滯后階數。參數η的計算通常采用最小二乘法；p值通常由AIC（Akaike Information Criterion）準則確定。

平穩性檢驗如下

是通過η的最小二乘法估計得到；ση是η的標準差估計。將計算得到的tη與DF 表[19]中臨界值tα進行比較，如果tη＜tα，則原序列yt是平穩的，yt為零階單整平穩序列；如果tη＞tα，則表明原序列為非平穩的；再對一階差分后的序列Δyt進行平穩性檢驗，此時tη＜tα，則說明原序列yt為一階單整平穩序列。

1.3 Johansen 協整檢驗

協整檢驗旨在找到一個合適的協整向量將非平穩時間序列變成平穩時間序列。 檢驗步驟如下，首先建立一個VAR（p）模型，變量為k（k≥2）個情形：

式中，yt的各分量都是非平穩I（1）的變量；xt是一個確定的d維外生向量，代表趨勢項、常數項等確定項；ut是k維擾動向量。 式（5）經變換可得

將yt的協整檢驗轉變為對矩陣Π 的分析問題，這也是Johansen 協整檢驗的基本原理。最后討論Π 的秩為r（0≤r≤k）的情形（其它無意義），可以將Π 分解為Π=αβT，其中α和β都是k行r列的矩陣，β的列向量即為目標協整向量，通常采用β第一列向量以取得最好的協整效果。

1.4 X-bar 控制圖

當基準樣本的殘差序列符合正態分布時，可通過準則得到殘差序列的控制限值，以此建立置信區間[4]

式中：CL 為殘差的均值；σ為殘差的標準差值。 對于檢測樣本，當殘差序列處于控制限之內時說明該節點沒有發生損傷，當殘差序列超出控制限值后則判斷為該節點發生了損傷。

2 綜合曲率和協整的損傷識別

曲率的物理意義表示曲線在某一點的彎曲程度，由材料力學可知其公式表達為

式中，ρ為截面的曲率；M為的彎矩；E為彈性模量。在截面彎矩M不變情況下，截面剛度EI決定了曲率ρ的大小，而影響EI的因素有單元損傷的設定與環境溫度的影響。 因此在考慮為曲率識別簡支梁損傷時受到環境溫度的影響下，利用協整法去除環境溫度的影響。 本文采用曲率為協整變量的原因是在滿足作為協整變量的條件下，相對于位移，曲率對局部損傷更加敏感。

基于環境溫度的影響，將結構采集的撓度數據計算成曲率，選擇曲率為協整變量，并對曲率進行協整處理，以協整殘差作為損傷指標，對去除溫度影響的理論與定位損傷理論公式進行推導說明，并將其應用于簡支梁在環境溫度影響下的損傷識別中。

2.1 簡支粱推導

混凝土簡支梁模型如圖1 所示，在跨中集中荷載P作用下，損傷發生在左半跨處。 則簡支梁損傷前后的曲率[20]可表達為式（12）、（13）。

圖1 兩端簡支梁模型

式中，m表示第m個測點；xp表示荷載作用位置；L表示簡支梁跨度；α為附加柔度系數，表示損傷程度。U（x）為階躍函數，當x＜xp）時，U（x-xp）=0；當x≥xp時，U（x-xp）=1。δ（x-x0）為狄拉克函數[21]，當x≠x0時，δ（x-x0）=0；當x=x0時，δ（0）=∞。EI表示簡支梁的截面抗彎剛度。 由文獻[1]可知曲率模態反映了結構的固有特性。

協整法中，在無損狀態下利用參考節點與待測節點之間的曲率關系建立協整方程。 假設與為參考測點和檢測測點的曲率，則有

式中，u表示為符合零均值、同方差的白噪聲序列。 式（13）對應于論文1.1 節協整理論中的式（1），βm、βn表示為協整系數。 由此可知，簡支梁任意兩個節點曲率序列滿足協整關系，當對應節點發生損傷時，其相應的協整關系也會遭到破壞而發生改變，此時，原來的協整關系不再滿足現在的要求，轉而將損傷后的簡支梁結構第m、n節點的曲率序列代入原協整方程時，u將變化為ud。

當損傷發生時，曲率變化可表達為

由式（16）可知，當x≠x0時，δ（x-x0）=0；所以Δ?幾乎無變化；當x=x0時，δ（0）=∞，所以Δ?發生較大變化。 此時，對式（14）、式（15）作差得到測點曲率的協整殘差的變化為

此處的協整殘差Δud=u-ud，且Δud≠0。 從而可得，協整殘差與溫度變化表現無關，可以有效地去除溫度的影響，當簡支梁結構發生損傷時，原來的協整關系將會遭到破壞，不再適應現在的協整要求，進而使得該節點的協整殘差序列Δud發生大幅度變化，因此可以判斷為該點發生了損傷。

2.2 損傷識別步驟

由以上理論推導可以看出：當梁單元發生損傷時，單元相鄰節點的檢測樣本的殘差幅值會同時超出控制限值，而無損單元相鄰節點的檢測樣本的殘差幅值則不會出現此種狀況。 具體識別步驟如下：

（1）無損狀態下，在變化的環境溫度中采集簡支梁單元節點的撓度數據；

（2）選擇撓度數據計算出曲率并生成曲率序列；

（3）采用ADF 單位根檢驗方法，檢驗各個節點的曲率序列是否滿足一階單整序列條件；

（4）對滿足一階單整的曲率數列，隨機選擇一個節點曲率序列作為參考序列，并依次對每個需要檢測的節點曲率序列進行Johansen 協整檢驗以確定協整向量β；

（5）使用協整向量對各個節點曲率序列建立協整方程，生成協整殘差序列；

（6）用X-bar 控制圖為協整殘差序列建立置信區間，用于評定損傷狀態下的協整殘差序列，以此識別結構是否發生損傷。

3 數值模擬

3.1 環境因素及其影響

簡支梁數值模擬的環境溫度由兩部分組成，一是基準工況的溫度樣本，二是待檢工況的溫度樣本。 基準工況溫度樣本采用了2019 年1 月1 日到2019 年12 月31 日北京某地的室外溫度數據，該溫度數據記錄為每天8 點、14 點和24 點的溫度，共計1 095 個樣本點。 待檢工況溫度樣本由-14～34 ℃每隔3 ℃取樣8 次，共計136 個樣本點，如圖2 所示。 混凝土和鋼的彈性模量與溫度的關系如圖3 所示[4]。

圖2 北京該地的室外溫度

圖3 混凝土和鋼的彈性模量隨溫度的變化關系

當環境溫度不變時，結構響應在簡支梁單元損傷后發生了改變，如圖4 中1、3 點所示[22]，所以，結構響應可以評估簡支梁單元的安全狀態。 但在環境溫度發生變化時，即使簡支梁單元發生了損傷，結構響應也可能不會發生改變，如圖4 中2、3 點所示，此時，結構響應將無法評估簡支梁單元的安全狀態。 因此，環境溫度的改變可能會掩蓋結構的損傷狀態。 在本文簡支梁數值模擬中，隨機提取一組單元節點的基準數據，如圖5 所示，隨著樣本點的變化，曲率幅值發生了較大變化。 因此，直接使用曲率作為損傷指標將無法正確評估簡支梁結構的安全性。

圖4 溫度與結構響應關系圖

圖5 溫度影響下曲率幅值變化圖

3.2 混凝土梁模型

為了解決提出的綜合曲率和協整方法適用于變化的環境溫度和運行狀況的損傷問題，在通用有限元軟件ABAQUS 中建立了混凝土簡支梁數值模型，如圖6 所示。混凝土簡支梁模型基本參數為密度2 300 kg/m3，泊松比μ=0.2，總長為1.8 m、單元長度0.09 m，截面高寬尺寸為0.16 m×0.2 m，跨中沿梁頂豎直向下施加集中荷載P=30 kN。 采用了2 種損傷工況，工況一為單點損傷，工況二為多點損傷。 具體損傷工況設定見表1。

表1 數值模擬損傷工況

圖6 混凝土簡支梁數值模型（單位：mm）

（1）工況一。 工況一為單點損傷，考慮為驗證所提方法在變化的環境溫度下和跨中集中荷載作用下對混泥土梁識別損傷與定位損傷問題的有效性。損傷的模擬在9 單元，即節點8 與9 之間。 混泥土梁單點損傷識別結果如圖7 所示。

圖7 無噪聲下工況一識別結果（a：節點1；b：節點2；c：節點3；d：節點4）

由圖7 可知，節點7、10 檢測樣本殘差序列均處于控制限值內，節點8 與節點9 檢測樣本殘差序列同時超出了控制限值，由本文所提方法可知，單元9 發生了損傷，識別結果正確。 其它單元節點檢測樣本殘差序列均處于控制限值內，單元無損，限于篇幅限制及重復性已省略。

上面的模擬沒有考慮系統噪聲的影響。為了驗證該方法的抗噪性，添加一定量的噪聲。噪聲模型參考文獻[14]中公式，引用公式

其中，Sn添加噪聲后的信號；S為真實測量信號；α為噪聲水平；rms 為均方根；?max和?min分布表示曲率序列的最大和最小包絡；R表示獨立正態分布變量，滿足零均值、單位標準差。

在相同條件下， 分別將10%、15%和20%的噪聲加入到曲率序列中， 所有測試都表現良好。 此處給出20% 噪聲水平的檢測結果，如圖8 所示。 與沒有噪聲的結果相比，協整的殘差序列幅值波動更大，控制限值也相應增大，但噪聲并沒有掩蓋損傷信息，表明該方法具有較強的抗噪性。

圖8 20%噪聲水平下工況一識別結果（a：節點7；b：節點8；c：節點9；d：節點10）

（2）工況二。工況二為了驗證所提方法對于混凝土梁模型同時識別多處損傷的準確性，設定為多點損傷，損傷模擬在6 單元和9 單元，即節點5 與6 和節點8 與9 之間，且在提取的結構位移序列中加入20%高斯白噪聲后計算為曲率變量，然后根據所提方法識別混凝土梁單元的損傷，識別結果如圖9 所示。

圖9 20%噪聲水平下工況二識別結果（a：節點4；b：節點5；c：節點6；d：節點7；e：節點8；f：節點9；g：節點10）

由圖9 可知，在20%噪聲水平下，節點5、6 和8、9 檢測樣本的殘差序列同時超出在控制限值外，由所提方法可知，第6、和9 單元同時發生了損傷，多點損傷識別結果正確，其它節點檢測樣本的殘差序列均處于控制限值內，單元未發生損傷。 由混凝土梁模型的工況一、二數值模擬結果可以看出，以曲率作為協整變量的方法在每一次檢測新的樣本點時，都能快速并準確的識別出是否發生了損傷，且在每個單元都能夠獨立地識別損傷的基礎上，還具有較好的抗噪能力，說明了綜合曲率和協整的方法在變化的環境溫度下和運行狀況下識別結構損傷的優越性，這為在實際工程應用中提供可行性參考。

3.3 工字鋼梁模型

為了驗證所提方法的普遍適用性與準確性，建立了一個工字鋼簡支梁構件數值模型，見圖10，位移節點布置如圖10 所示。 基本參數：密度7 585 kg/m3，泊松比μ=0.3，總長為2 m，各單元長0.1 m，截面采用16#工字鋼，尺寸為160 mm×88 mm×6 mm， 跨中沿梁頂豎直向下施加集中荷載P=30 kN。

圖10 工字鋼簡支梁模型（單位：mm）

共采用了3 種損傷工況，工況一為單點損傷，工況二為單點連續損傷，工況三為多點損傷，見表2。

表2 數值模擬損傷工況

（1）工況一數值模擬結果。 工況一為單點損傷，考慮為驗證所提方法對工字鋼梁識別損傷與定位損傷問題的有效性。 發生在6 單元，即節點5 與6 之間。 識別結果見圖11。

圖11 無噪聲下工況一識別結果（a：節點1；b：節點2；c：節點3；d：節點4）

由圖11 可知，節點5 與6 檢測樣本殘差序列同時超出在控制限值外，節點4、7 檢測樣本殘差序列處于控制限值內，由所提損傷識別方法可知，單元6 發生了損傷。其它節點檢測樣本殘差序列均處于控制限值內，單元為無損狀態，限于篇幅限制及重復性已省略。

（2）工況二數值模擬結果。 工況二為單點連續單元損傷，考慮為較大區域發生損傷或測點布置在損傷區域中間的情況。 單元損傷模擬在6、7 單元，即節點5 和7 之間。 識別結果如圖12 所示。

由圖12 （b）、（c）、（d）可以看出，隨著損傷范圍的擴大，超出控制限值的節點也相應增多。 在連續損傷單元節點的檢測樣本中，中間節點的殘差幅值最大，這為精準定位損傷區域提供了可能，也為后續橋梁管理維護及施工加固提供參考。

（3）工況三數值模擬結果。 工況三為了驗證所提方法對于工字鋼梁模型同時識別多處損傷的準確性，采用多點損傷，損傷的模擬在6、10 和16 單元，即節點5 與6、9 與10 和15 與16 之間。 識別結果見圖13。

圖13 無噪聲水平下工況三識別結果

由圖13 可知，節點5、6、9、10、15 和16 檢測樣本的殘差序列均同時超出在控制限值外，由損傷識別方法可知，第6、10 和16 單元同時發生了損傷，多點損傷識別結果正確。 其它節點檢測樣本的殘差序列均處于控制限值內，單元未發生損傷，限于篇幅限制及重復性已省略。

為了探究梁單元之間損傷程度與殘差幅值的關系，以工況三損傷單元最大殘差幅值的節點（損傷單元靠近跨中一側的節點）為損傷程度指標去驗證所提方法的適用性（見圖14）。由于檢測樣本殘差序列較多且分散，不好單一比較，因此采用整體均值為損傷程度指標。 從圖14 看出，隨著梁單元損傷程度的增加，檢測樣本的殘差均值也隨之增加。 檢測樣本殘差均值的相對大小反映了梁單元損傷程度的相對大小。

圖14 梁單元之間損傷大小與殘差均值的關系

為了驗證工字鋼梁于變化的環境溫度下的抗噪性，對工況三添加20%高斯白噪聲，如圖15 所示，識別結果仍然正確，說明了所提方法具有很好的抗噪能力。

圖15 20%噪聲水平下工況三識別結果

4 結論

論文采用曲率和協整的綜合方法研究了在變化的環境溫度下簡支梁結構的損傷識別問題。 混凝土與工字鋼簡支梁數值模擬驗證了該方法的有效性。 結果表明：

（1）綜合曲率和協整的方法能夠及時地消除變化的環境溫度和運行狀況對結構損傷識別的影響，無需進行模態參數識別、記錄激勵信息和環境因素值，適合于在線監測。

（2）綜合曲率和協整可以準確地識別環境溫度影響下的簡支梁單點與多點損傷，且每個單元能夠獨立地進行損傷識別，還具有較好的抗噪能力。

（3）相對于以位移為協整變量的方法，使用曲率為協整變量無需考慮無損狀態下殘差序列超出控制限值的干擾，縮短了損傷評估時間，亦提高了損傷識別精度。