數(shù)學(xué)知識“源”與“流”的實(shí)踐探究
——例談小學(xué)數(shù)學(xué)前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)思路

☉呂 晶

“源”是指數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)科有一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系，知識和知識之間存在關(guān)聯(lián)。學(xué)生從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)問題，能夠找到解決問題的方向；“流”是指延伸數(shù)學(xué)問題，學(xué)生需要從解決數(shù)學(xué)問題中延伸到新知識、新方法、新思維。將“源”和“流”整合在一起，學(xué)生就能夠有效地完成前置性的學(xué)習(xí)。

一、找準(zhǔn)知識的“源”與“流”，有利于知識的承前啟后

學(xué)生學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識是不斷擴(kuò)展的。如果教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的知識，逐漸延伸學(xué)習(xí)，學(xué)生便會覺得新知識是可以理解的。以往學(xué)過相關(guān)的知識是數(shù)學(xué)知識的“源”，當(dāng)下學(xué)到的知識是新知識的“流”［1］。下面以學(xué)習(xí)《認(rèn)識負(fù)數(shù)》為例來具體闡述。

（一）初步感知

初步感知，就是讓學(xué)生結(jié)合自己的感覺來預(yù)判。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時有一種錯誤的認(rèn)知，他們認(rèn)為自己只有學(xué)習(xí)了新理論，才能解決新問題；反之，沒有學(xué)習(xí)新理論就不能解決問題。他們沒有意識到數(shù)學(xué)學(xué)科來源于生活，它與生活有相通之處。學(xué)生需要結(jié)合自己的直覺、生活經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡單的預(yù)判。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過生活經(jīng)驗(yàn)和直覺完成預(yù)判后，他們會產(chǎn)生學(xué)習(xí)成就感。如此題：請觀察以下的數(shù)，分析哪些是正數(shù)、哪些是負(fù)數(shù)：-8、3.6、0、-5.5、+100、-90。引導(dǎo)學(xué)生遷移以前的知識來分析問題，學(xué)生學(xué)習(xí)過自然數(shù)、正整數(shù)和0 相關(guān)知識，觀察數(shù)字的特征，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)前面帶著“-”的數(shù)都是陌生的數(shù)，它們都可能是負(fù)數(shù)。這是結(jié)合舊知發(fā)現(xiàn)新知的教學(xué)方法。

（二）歸納知識

學(xué)生可以結(jié)合具體的案例，來歸納案例中共同的特征，在歸納和總結(jié)的過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)新知，并對新知的特征有一個簡單的概念。教師引導(dǎo)學(xué)生從案例中歸納新知的過程，就是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維、提升思維水平的過程。學(xué)生在歸納知識的過程中，可以感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程可以不必是被動接受新知的過程，而可以是主動思考、獲得新知的過程。如：正數(shù)和負(fù)數(shù)在表示上有什么區(qū)別？引導(dǎo)學(xué)生觀察新知，歸納總結(jié)它們的共同特征。學(xué)生發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的特征就是在以前學(xué)過的自然數(shù)前增加一個“-”號。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的思維能力，學(xué)生發(fā)現(xiàn)憑借思維就能夠發(fā)現(xiàn)及學(xué)習(xí)到新知，他們能夠產(chǎn)生學(xué)習(xí)自信心。

（三）聯(lián)系生活

如果學(xué)生對知識的理解僅限于理論的層面，那么學(xué)生可能不能理解知識的實(shí)際意義。為了讓學(xué)生理解知識的內(nèi)涵，教師需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知在生活中的應(yīng)用，然后結(jié)合生活問題來理解新知。通過引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活，學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)新知在生活中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)新知是有價(jià)值和意義的，學(xué)好新知能幫助自己優(yōu)化生活。如：結(jié)合你自己的生活談?wù)剬ω?fù)數(shù)的理解，你生活中有負(fù)數(shù)嗎？從數(shù)感出發(fā)說說負(fù)數(shù)？剛開始學(xué)生不知道如何聯(lián)想生活中的負(fù)數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生從生活中常用的正數(shù)問題出發(fā)，思考正數(shù)中有沒有負(fù)數(shù)的運(yùn)用。通過思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在記帳本時有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)溫度時有正數(shù)也有負(fù)數(shù)。結(jié)合這些生活的案例，學(xué)生意識到負(fù)數(shù)一定比正數(shù)小。

（四）辨析概念

有時學(xué)生在學(xué)習(xí)時，沒有意識到一些易混淆的概念，教師需要讓學(xué)生從辨析這些概念出發(fā)，進(jìn)一步梳理概念的形成。對于部分學(xué)生而言，他們難以獨(dú)立完成概念的辨析，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)時和同學(xué)探討，各自說明自己的想法和意見，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了學(xué)習(xí)難點(diǎn)以后，他們可以在課堂上重點(diǎn)關(guān)注這一知識點(diǎn)，從而使教師的課堂教學(xué)能提高效率。

（五）規(guī)范知識

當(dāng)學(xué)生完成了知識探索以后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以往的知識框架來建立新知識的框架，學(xué)生通過遷移學(xué)習(xí)，能夠發(fā)現(xiàn)知識和知識之間的關(guān)聯(lián)，他們能夠從學(xué)習(xí)舊知識的基礎(chǔ)上理解新知識，從而降低了知識理解的難度。如：結(jié)合正數(shù)的定義、寫法、讀法歸納出負(fù)數(shù)的定義、寫法、讀法，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，結(jié)合以往學(xué)習(xí)的正數(shù)知識框架，來分析負(fù)數(shù)的定義、寫法、讀法，將負(fù)數(shù)知識體系納入到數(shù)字分類的體系中。建立了全新的知識框架以后，學(xué)生就能應(yīng)用這套框架來詮釋與辨析數(shù)學(xué)問題。

二、看準(zhǔn)知識的“源”與“流”，引導(dǎo)學(xué)生類化研究方法

以往的學(xué)習(xí)成果，就是學(xué)生的“源”，而結(jié)合以往的學(xué)習(xí)成果來探索新知，就是學(xué)生的“流”，做好“源”與“流”的銜接，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵是存在延伸性的，在學(xué)習(xí)時，只要發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)容就能做到“一理通、百理通”［2］。下面以學(xué)習(xí)《運(yùn)算律》為例。

（一）優(yōu)化問題引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知以前，教師需要通過設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以往學(xué)習(xí)的舊知本質(zhì)是什么。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，學(xué)生可以通過教師的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)自己的知識結(jié)構(gòu)是否完善。幫助學(xué)生打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的重要環(huán)節(jié)。如下圖1：

圖1

問1：看到圖1，你能不能說說這是個什么數(shù)學(xué)問題？你生活中有這樣的數(shù)學(xué)問題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問題與生活聯(lián)系起來，讓學(xué)生遷移以往學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，把數(shù)學(xué)問題編寫成應(yīng)用題。這是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的方法。

問2：請分析應(yīng)用題中的已知條件和未知答案，畫出線段圖，列出算式。

教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語言、圖形、數(shù)學(xué)模型來分析生活中的數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)理解得更加深刻。

（二）借助探究經(jīng)驗(yàn)，鼓勵探究新知

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于以往的舊知經(jīng)驗(yàn)來理解現(xiàn)在面對的是一個什么數(shù)學(xué)問題，然后在以往的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上應(yīng)用數(shù)學(xué)語言完成新知的描述。過去學(xué)生在探究舊知時，曾經(jīng)完成過探究學(xué)習(xí)，積累過探究經(jīng)驗(yàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于以往的探究經(jīng)驗(yàn)來探究新知。如下圖2：

圖2

問1：參看圖2，結(jié)合圖1 的學(xué)習(xí)，你能不能夠說說這圖2 中反映了什么數(shù)學(xué)問題？能探索出一個什么數(shù)學(xué)規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生回顧圖1 中兩個問題的學(xué)習(xí)，通過遷移學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就是?＋25 ＝60；35 ＋?＝60。

問2：請結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推測，將加法的兩個因子交換，和會不會發(fā)生變化呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生在理解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推測。學(xué)生應(yīng)用假設(shè)的方法，得出結(jié)果，學(xué)生在假設(shè)的過程中會產(chǎn)生學(xué)習(xí)好奇心，自己的假設(shè)結(jié)果是對的嗎？學(xué)生的疑問驅(qū)使學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。

問3：你能不能應(yīng)用生活中的教學(xué)用具來完成計(jì)算呢？請結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)用教學(xué)用具來說明算理。

學(xué)生得到假設(shè)以后，教師要鼓勵學(xué)生應(yīng)用教學(xué)用具探索。在教師的引導(dǎo)下遷移以往的實(shí)踐，以團(tuán)隊(duì)合作的方式開展探索活動，在探索的過程中，學(xué)生通過實(shí)踐，從算理的角度理解了加法交換律。這一環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生在具象化的環(huán)境中，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決具象化問題的環(huán)節(jié)。

問4：你覺得會出現(xiàn)以上規(guī)律，原因是什么呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生交流自己探索得到的規(guī)律，不同層次的學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可能不一樣。層次較低的學(xué)生只能夠應(yīng)用學(xué)到的算理說明35 ＋25 ＝60 這個案例中，把加法因子交換以后，結(jié)果不變的原因。而層次較高的學(xué)生則可以結(jié)合算理總結(jié)出a ＋b ＝b ＋a背后的原理。還有一些學(xué)生甚至能結(jié)合自己的興趣及學(xué)習(xí)水平把它延伸到減法、乘法、除法探索中。學(xué)生回答的問題反映出他們的學(xué)習(xí)層次，教師鼓勵學(xué)生取長補(bǔ)短，共同提升學(xué)習(xí)層次。而教師可以從前置學(xué)習(xí)單中了解學(xué)生的層次，把它作為課堂上小組合作分層的依據(jù)，并針對學(xué)生的層次進(jìn)行有針對性的引導(dǎo)。

三、找準(zhǔn)知識的“源”與“流”，幫助學(xué)生開展實(shí)踐活動

教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以往的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這是知識的“源”，來解決當(dāng)下的數(shù)學(xué)問題，這是學(xué)生需要延伸的“流”。學(xué)生在正式學(xué)習(xí)新知之前完成實(shí)踐學(xué)習(xí)，能夠探索出大量的新知［3］。下面以《長方形的周長》教學(xué)為例來具體闡述。

（一）任務(wù)設(shè)計(jì)

教師需要緊扣教學(xué)要求設(shè)計(jì)任務(wù)，教師需要在設(shè)計(jì)任務(wù)時，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)分析任務(wù)的本質(zhì)。如：畫出學(xué)校操場的平面圖，請參看這個平面圖形是什么形狀，結(jié)合以往測三角形的經(jīng)驗(yàn)，你知道它的周長計(jì)算方法嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的特征，分析數(shù)學(xué)問題的指象，雖然學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過解決問題的理論，但是學(xué)生學(xué)習(xí)過以往類似的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生可以借助以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來嘗試解決問題。而學(xué)生的嘗試性學(xué)習(xí)可以成為后續(xù)學(xué)習(xí)知識的依據(jù)。

（二）質(zhì)量控制

以往學(xué)生在完成任務(wù)時，曾經(jīng)掌握過數(shù)據(jù)質(zhì)量控制的方法，教師需要在任務(wù)單中特別強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)質(zhì)量的控制。一方面是為了讓學(xué)生重視質(zhì)量控制這個問題；另一方面也是為了讓學(xué)生從質(zhì)量控制的角度著手，發(fā)現(xiàn)多種測量方法，從而使他們能夠在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮想象力，應(yīng)用多元視角來思考如何解決問題。例如，在計(jì)算的過程中，你覺得你能精確地測量出較長的直線距離嗎？請說說看你控制測量精度的方法。引導(dǎo)學(xué)生在思考問題的時候，從成本和精度兩個角度思考，自己能不能夠得到更多解決問題的方法，這些解決問題的方法和優(yōu)勢是什么。例如，有一些學(xué)生會提出應(yīng)用計(jì)步來估算操場的長與寬，也有一些學(xué)生應(yīng)用在操場上插標(biāo)竿，然后疊加計(jì)算每段標(biāo)竿長度的方法完成計(jì)算。

（三）促進(jìn)交流

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，如果充分交流，取長補(bǔ)短，那么他們的思維能力能夠得到提升，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在完成任務(wù)的過程中，與他人交換任務(wù)完成的情況，發(fā)現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)不足。例如，你與自己的同學(xué)交流過測量的結(jié)果嗎？你看到了幾種測量周長的方法？能不能說說這些測量方法的優(yōu)勢和不足？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生交換了測量的結(jié)果，學(xué)生在交換的過程中分析如何評價(jià)測量的質(zhì)量。學(xué)生從花費(fèi)的時間、使用的人力、需要的設(shè)備、數(shù)據(jù)的精度來評價(jià)。有些學(xué)生看到了自己的數(shù)據(jù)與真實(shí)的數(shù)據(jù)差距太大，即意味著自己的數(shù)據(jù)質(zhì)量控制存在著問題，自己需要重新測量；有些學(xué)生則看到了自己的數(shù)據(jù)精度雖然很高，卻在學(xué)習(xí)中動用了父母的力量，而假如沒有父母的力量介入，自己又如何完成任務(wù)，這些學(xué)生也開始了反思。

（四）呈現(xiàn)成果

學(xué)生需要結(jié)合自己的實(shí)踐說明理論。學(xué)生之間存在差異，有些學(xué)生只能夠結(jié)合具象化的實(shí)踐案例來簡單說明理論；而有些學(xué)生則通過發(fā)散聯(lián)想，思考下一步探索的方向。學(xué)生的實(shí)踐成果依然是教師調(diào)整教學(xué)方案、在課堂上予以針對性引導(dǎo)的依據(jù)。例如，結(jié)合你的實(shí)踐成果，說明長方形的周長應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算？你還從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了什么其他的知識嗎？請說明你的探索步驟。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用歸納總結(jié)的方法把具象化的數(shù)學(xué)式子變成抽象化的數(shù)學(xué)模式；引導(dǎo)學(xué)生遷移以往的學(xué)習(xí)框架，來形成新知的框架；引導(dǎo)學(xué)生辨析新知和舊知的聯(lián)系與不同。有一些學(xué)生通過這一次的實(shí)踐說明了長方形周長的計(jì)算方法就是測量出它的四條邊，然后讓長和寬相加；有一些學(xué)生則應(yīng)用字母總結(jié)出測量公式：C ＝2（a＋b）；還有一些學(xué)生則發(fā)現(xiàn)長方形的周長增長與長和寬的增長是存在規(guī)律性的。此時學(xué)生開始分析，周長的增長與長和寬的增長存在哪些關(guān)系。

四、總結(jié)

前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單就是要在明確教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，借助學(xué)生的知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、思維水平來嘗試性地完成新知學(xué)習(xí)，這是“源”與“流”的思考。結(jié)合這一前提，教師需要了解前置性學(xué)習(xí)單設(shè)計(jì)能否引導(dǎo)學(xué)生快速啟動學(xué)習(xí)程序，能否在進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)后有方法、有步驟地完成學(xué)習(xí)，以便為課堂學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。