基于魯棒反饋控制理論的路徑跟蹤控制器設計*

沈亞偉 趙又群

（南京航空航天大學，南京 210016）

主題詞：智能車輛 路徑跟蹤 線性矩陣不等式 魯棒控制 李雅普諾夫穩定性

1 前言

隨著汽車產業與自動化技術的不斷發展，具有自動駕駛功能的智能汽車已成為國內外學者的研究熱點。路徑跟蹤控制作為智能車輛的核心技術之一，旨在通過控制器調整車輛的航向使其完成對目標路徑的跟蹤。Alipour[1]等人基于滑模魯棒方法，有效提高了機器人路徑跟蹤控制系統的抗干擾性。Tagne[2]等人采用高階超螺旋滑模控制方法使車輛的側向位移誤差趨近收斂，減輕了滑模控制器的抖振現象。Falcone[3]等人設計了基于非線性模型預測控制和線性時變模型預測控制的控制器，并且給出了閉環系統漸進穩定的條件。Wang[4]等人考慮輪胎側偏剛度的不確定性與外部干擾，提出了基于魯棒控制的路徑跟蹤策略，提高了控制器的魯棒性。Guo[5]等人運用遺傳算法優化模糊控制的規則，提高了控制器路徑跟蹤的精確度和魯棒性。Zhang[6]等人基于滑模控制提出了一種最優預見線性二次調節器，能夠更好地跟蹤期望軌跡并合理分配車輪轉矩。Barbosa[7]等人提出了一種魯棒遞推調節器，對參數不確定的車輛進行路徑跟蹤和橫向控制。Taghavifar[8]等人提出了一種基于指數型滑模模糊二型神經網絡的魯棒自適應間接控制方法，提高了自動駕駛車輛的路徑跟蹤性能。鄭鑫[9]等人基于李雅普諾夫穩定性理論設計了模型參考自適應路徑跟蹤控制器，將其轉化為線性二次最優控制問題進行求解，控制器具有良好的路徑跟蹤能力和魯棒性。王藝[10]和李春[11]等人基于模型預測控制原理提出了一種路徑跟蹤控制方法，該控制器能夠較好地實現路徑跟蹤。黃海洋[12]等人提出了一種基于多點預瞄最優控制路徑跟蹤的控制方法，算法具有較高的精確度和實時性。以上路徑跟蹤控制器設計較為復雜，很少兼顧控制器的精確度與魯棒性。

針對目前智能車輛路徑跟蹤精確度和魯棒性較差的問題，本文基于李雅普諾夫穩定性理論設計一種魯棒反饋路徑跟蹤控制器，運用舒爾（Schur）補引理，將控制問題轉化為線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）問題，運用MATLAB 的LMI 工具箱對問題進行求解。最后，運用CarSim/Simulink 聯合仿真平臺，對提出的魯棒反饋控制器的路徑跟蹤效果進行驗證。

2 車輛動力學模型

智能車輛的路徑跟蹤控制，包括車輛的橫擺運動控制和側向運動控制。在常規工況下使用線性二自由度車輛模型的控制效果與十四自由度模型相當[13]，為簡化計算，本文采用線性二自由度模型作為車輛動力學模型[14]，如圖1所示。

圖1 線性二自由度車輛動力學模型

由圖1可得車輛二自由度微分方程為：

式中，m為車輛質量；vx、vy分別為車輛的縱向速度和橫向速度；ω為車輛的橫擺角速度；Cf、Cr分別為車輛前、后輪的側偏剛度；a、b分別為車輛質心到前、后軸的距離；Iz為車輛質心繞z軸的轉動慣量；δf為車輛的前輪轉角。

將式（1）寫成矩陣形式為：

3 路徑跟蹤控制器設計

3.1 路徑跟蹤誤差模型

智能車輛跟蹤目標路徑時，主要考慮車輛的側向誤差和航向誤差[15]。如圖2所示，車輛質心到參考路徑的最短距離為側向誤差ey，車輛實際航向角φ與參考航向角φref之差為航向誤差eφ。當航向誤差較小時，可得航向誤差與側向速度誤差分別為：

圖2 路徑跟蹤誤差模型

由參考路徑的轉彎半徑R，可得車輛的參考側向加速度為：

車輛的實際加速度可表示為：

由式（5）和式（6）可以得到車輛的側向加速度誤差為：

將式（3）、式（4）和式（7）代入式（2），并忽略φref的導數項，可得狀態空間方程形式為：

3.2 魯棒反饋控制器設計

本文基于李雅普諾夫穩定性理論和魯棒反饋控制理論，設計了路徑跟蹤控制器，如圖3所示，系統輸入為車輛的前輪轉角δf，魯棒控制機構根據被控對象的狀態與理想模型狀態的誤差求得反饋控制器K的參數，確保車輛沿目標路徑行駛[16]。

圖3 控制系統結構原理

在控制器設計過程中，對式（8）進行近似離散化處理，結果為：

其中，近似離散化后的矩陣變換如下：

式中，T為采樣周期；x(k)為k時刻的狀態量；u(k)為k時刻的控制量。

路徑跟蹤控制器的目的是減小車輛的路徑跟蹤誤差。因此，對于式（9）的離散系統，定義其性能指標函數為[17]：

式中，Q、R為目標函數中的權重系數矩陣；K為反饋控制矩陣。

將式（13）代入到式（9）的離散系統可以得到：

基于李雅普諾夫穩定性理論，構建能量函數：

式中，P為對稱正定矩陣。

沿著式（14）給出的狀態軌跡，對式（15）向前差分可以得到：

式中，ΔV(x(k))為系統(k+1)時刻與k時刻能量函數的差值。

為求解式（16），可令

由李雅普諾夫穩定性理論可知，若式（17）成立，則閉環系統會保持魯棒漸進穩定狀態。

為求解上述不等式方程，將式（13）代入式（17）可得：

對式（18）進行累加求和，由閉環系統的漸進穩定性可知，x(∞)=0，將其代入式（15）可得，V(x(∞))=0，則累加求和結果如下：

式中，x0為x在某一時刻的值。

式（19）中，x0TP-1x0為性能指標函數的一個正數上界。若式（17）成立，則系統滿足性能要求。

將式（16）代入式（18）可得：

為求解式（20），運用舒爾補引理如下：

若存在矩陣：

式（22）的左、右兩側均乘以矩陣P，然后運用舒爾補引理，則式（22）的求解等同為：

式（23）中有P和K2個變量。由于矩陣塊中存在變量相乘，即式（23）為非線性矩陣不等式，為便于求解，可令Y=KP，對式（23）進行簡化。再次運用舒爾補引理可將式（23）等價轉化為：

在MATLAB 軟件中運用LMI 工具箱求解式（24）的線性矩陣不等式，通過相關指令求得變量P和Y。則系統的狀態反饋控制律為：

4 CarSim/Simulink聯合仿真與結果分析

本文采用CarSim/Simulink 聯合仿真的方法對所提出控制算法的效果進行驗證。在MATLAB/Simulink 軟件中搭建控制器模型，在CarSim 軟件中選取適當的車輛模型，仿真使用的整車參數如表1所示。本文以LQR路徑跟蹤控制器作為對比，LQR路徑跟蹤控制器具體見文獻[15]和文獻[18]，本文不再詳述。

表1 車輛主要參數

表2 魯棒控制器參數

本文選取雙移線路徑作為目標路徑[19]，如圖4所示，對控制器效果進行驗證。為了驗證路徑跟蹤控制器的精確度和魯棒性，本文以LQR 路徑跟蹤控制器作為對比，仿真過程中分別選取干燥路面（附著系數μ=0.85）和濕滑路面（附著系數μ=0.50），以54 km/h、72 km/h 和90 km/h的行駛速度進行仿真，為驗證控制器的魯棒性，仿真過程中控制器參數保持不變。

圖4 雙移線參考路徑

4.1 高附著路面仿真

智能汽車在路面附著系數為0.85 的干燥路面條件下，分別以3 種車速完成對雙移線路徑的跟蹤，跟蹤結果如圖5～圖8所示。

圖5 干燥路面不同車速工況下橫向位移仿真結果

圖6 干燥路面不同車速工況下航向角仿真結果

圖7 干燥路面不同車速工況下魯棒反饋控制橫向偏差

圖8 干燥路面不同車速工況下魯棒反饋控制航向角偏差

由圖5a和圖6a可知，在低速高附著路面的工況下，魯棒反饋控制器和LQR控制器均能夠使車輛沿目標路徑行駛，車輛實際航向角與參考航向角相差較小。由圖5b、圖5c和圖6b、圖6c可知，在中高車速、高附著路面工況下，路徑跟蹤控制器仍能夠保證車輛與參考路徑有較小的橫向偏差和航向角偏差，并且魯棒反饋控制器對目標路徑的跟蹤效果好于LQR控制器。圖5和圖6的仿真結果表明，魯棒反饋路徑跟蹤控制器在高附著路面條件下具有很強的魯棒性。由圖7和圖8可知，在中低車速下，本文提出的魯棒反饋控制器能夠使路徑跟蹤的橫向偏差和航向角偏差控制在-0.2～0.2 m和-0.01°～0.01°范圍內，即使在較高車速下，魯棒反饋控制器也能夠使橫向偏差和航向角偏差控制在合理范圍內。因此，魯棒反饋控制器在高附著路面工況下具有很好的精確度和魯棒性。

4.2 低附著路面仿真

智能汽車在路面附著系數為0.50 的濕滑路面工況下，分別以3 種車速完成對雙移線路徑的跟蹤，路徑跟蹤結果如圖9～圖12所示。

圖9 濕滑路面不同車速工況下橫向位移仿真結果

圖10 濕滑路面不同車速工況下航向角仿真結果

圖11 濕滑路面不同車速工況下魯棒反饋控制橫向偏差

圖12 濕滑路面不同車速工況下魯棒反饋控制航向角偏差

由圖9a 和圖10a 可知，在低速低附著路面的工況下，魯棒反饋控制器和LQR 控制器均有很好的控制效果。由圖9b和圖10b可知，中速低附著路面的工況下，在縱向位移x=100 m 和x=150 m 左右時，魯棒反饋控制器對目標路徑的跟蹤效果好于LQR控制器。由圖9c和圖10c可知，高速低附著路面的工況下，在x=100 m和x=150 m左右時，本文提出的魯棒反饋控制器仍具有較好的路徑跟蹤效果，而LQR 控制器則出現了一定程度的超調現象。由圖11和圖12可知：在中低車速下，魯棒反饋控制器依然能夠將路徑跟蹤的橫向偏差和航向角偏差控制在較小的范圍內；在較高車速下，輪胎的側偏剛度與名義值有較大偏差，因此，路徑跟蹤的效果較差，路徑跟蹤的橫向偏差和航向角偏差較大。但是與LQR控制器相比，本文提出的魯棒反饋控制器仍具有很好的精確度和魯棒性。

5 結束語

本文針對智能車輛的路徑跟蹤問題，設計了一種基于李雅普諾夫穩定性理論的魯棒反饋控制器，通過構建李雅普諾夫能量函數不僅保證了閉環系統的魯棒穩定性，而且使閉環系統滿足一定的魯棒性能。通過搭建汽車動力學模型，運用CarSim/Simulink聯合仿真平臺將該控制器與LQR控制器的控制效果進行對比分析。仿真結果表明，當外部環境和路況發生變化時，本文提出的魯棒反饋控制器依然具有良好的穩定性和路徑跟蹤能力，與LQR控制器相比，魯棒反饋控制器具有較高的精確度和較強的魯棒性。對汽車非線性模型進行研究，確保高速低附著路面工況下魯棒反饋控制系統的精確度和魯棒性將是本文的后續研究工作。