解析幾何中斜率之和為零的問題探究

張劍

摘要：新高考全國Ⅰ卷，連續(xù)兩年倒數(shù)第二題解答題，都對(duì)解析幾何兩直線斜率之和為零的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了考查.本文就兩類與圓錐曲線有關(guān)的兩直線斜率之和為零的相關(guān)問題進(jìn)行探究，由特殊的圓錐曲線探究得到結(jié)論，再進(jìn)行一般性結(jié)論的探究.使學(xué)生在以后的解題中，可以起到事倍功半的效果.

關(guān)鍵詞：直線；斜率；定值；橢圓

近兩年來，新高考全國Ⅰ卷，解析幾何的解答題，都考查了兩直線斜率之和為零的定值問題.本文就有關(guān)直線斜率之和為零的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)和解題方法，談?wù)勗诮馕鰩缀谓虒W(xué)中，斜率之和為零的問題探究.

探究1：已知橢圓?x2?8?+?y2?2?=1，過橢圓上的點(diǎn)P（2，1）作直線l1，l2與橢圓相交于點(diǎn)M，N，若l1與l2的斜率互為相反數(shù)，問直線MN的斜率是否為定值，若是求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由.

解：設(shè)直線l1：y=k（x－2）+1，得〖HL（1：1，Z〗y(tǒng)=k（x－2）+1?x2?8?+?y2?2?=1，代入消元，整理得：

（4k2+1）x2－（16k2－8k）x+16k2－16k－4=0，

∴xP·xM=?16k2－16k－4?4k2+1?，解得xM=?8k2－8k－2?4k2+1?，

同理可得，xN=?8k2+8k－2?4k2+1?.

∴kMN=?yM－yN?xM－xN?=?k（xM－2）+1+k（xN－2）－1?xM－xN?=k·?xM+xN－4?xM－xN?=?1?2?（定值）.

進(jìn)一步把題目推廣為：已知橢圓mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），過橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0）作直線l1，l2與橢圓相交于點(diǎn)M，N，若l1與l2的斜率互為相反數(shù)，問直線MN的斜率是否為定值，若是求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由.

解：設(shè)直線PM：y=k（x－x0）+y0，橢圓mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），聯(lián)立：〖HL（1：1，Z〗y(tǒng)=k（x－x0）+y0mx2+ny2=1，代入消元，整理得：

（m+nk2）x2－（2nk2x0－2nky0）x+nk2x20－2nkx0y0+ny20－1=0，

∴xP·xM?=?nk2x02－2nkx0y0+ny02－1?m+nk2

=?nk2x02－2nkx0y0－mx02?m+nk2?，

解得，xM=?nk2x0－2nky0－mx0?m+nk2?，

同理可得xN=?nk2x0+2nky0－mx0?m+nk2?.

∴kMN=?yM－yN?xM－xN?=?k（xM－x0）+y0+k（xN－x0）－y0?xM－xN?=k·?xM+xN－2x0?xM－xN?=?mx0?ny0?（定值）.

我們可以得到結(jié)論：過橢圓上一點(diǎn)P的斜率之和為0的兩直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，連接此兩點(diǎn)的直線，其斜率是一個(gè)定值.

根據(jù)m，n的不同取值，還可以進(jìn)一步推廣到雙曲線和圓.具體如下表：

探究2：若斜率為k的直線MN經(jīng)過橢圓mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n）內(nèi)的定點(diǎn)Pp，0（p≠0），問在x軸上是否存在定點(diǎn)T使∠MTO=∠NTO？若存在，請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：橢圓方程：mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），lMN：y=k（x－p），

聯(lián)立得：〖HL（1：1，Z〗y(tǒng)=k（x－p）mx2+ny2=1，代入消元整理得，

（m+nk2）x2－2nk2px+nk2p2－1=0.

設(shè)M（x1，k（x1－p）），N（x2，k（x2－p）），則x1+x2=?2nk2p?m+nk2?，x1·x2=?nk2p2－1?m+nk2?，

假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)T（t，0），

則kMT=?k（x1－p）?x1－t?，kNT=?k（x2－p）?x2－t?，

由∠MTO=∠NTO，即kMT+kNT=0，也即?k（x1－p）?x1－t?+?k（x2－p）?x2－t?=0，

∴?2x1x2－（p+t）（x1+x2）+2pt?（x1－t）（x2－t）?=0，

∴2nk2p2－2－2nk2p2－2nk2pt+2ptm+2ptnk2=2ptm－2=0.

∴t=?1?mp?（p≠0），即在x軸上存在定點(diǎn)T（?1?mp?，0）使∠MTO=∠NTO.

可以得到結(jié)論：過橢圓內(nèi)x軸上一定點(diǎn)P的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上存在定點(diǎn)T，使得直線MT和直線NT的斜率之和為零.

根據(jù)m，n的不同取值，還可以進(jìn)一步推廣到雙曲線.具體結(jié)論如下表：

通過對(duì)斜率之和為零的問題探究，可以讓學(xué)生掌握斜率之和為零的問題的基本解法.在探究中不斷推廣、深入，掌握一般性的結(jié)論，進(jìn)一步提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.