帕累托-有限推力航天器軌道機動問題中相對運動的最優控制

謝爾蓋·伊斯科夫, 格里果利·菲利波夫, 周曉, 王長青

(1.薩馬拉大學, 俄羅斯 薩馬拉 443086; 2.西北工業大學, 陜西 西安 710072)

本文研究了在被動航天器附近,配有能夠多次啟動的有限推力發動機的主動航天器標稱相對運動控制程序的優化問題。該問題在將航天器送至地球靜止軌道站點、校正受擾動地球靜止軌道參數以及構建巡檢航天器的控制程序等方面具有重要的應用價值。在設計太空任務時核心問題是選擇航天器標稱控制程序,確定航天器及其運動控制系統的主要設計參數。在其解決方案中考慮的主要標準是機動時間成本和總時間成本。對于所考慮對象中由有限(非脈沖)推力連續控制的衛星,控制問題應使用雙準則公式中的帕累托最優控制原理來解決。

多準則優化方法在相對運動控制問題中的應用早在文獻[1-2]中就被考慮過。傳統方法之一是通過準則的卷積將多準則問題簡化為單準則問題,這在某種程度上降低了所獲得解決方案的價值。 在本文中,目標不是獲得一個單一的解決方案,而是獲得一組詳盡的不可改進的最優解決方案——帕累托集。

1 運動數學模型

對于沒有施加控制約束的一般情況,軌道圓柱坐標系中的相對運動方程表示為[3]

(1)

式中:Δr為航天器半徑向量差;Δu為航天器緯度參數的差值;Δz為側向坐標差;ΔVr,ΔVu,ΔVz為航天器在徑向、橫向和側向的速度差;r1,Vr1,Vu2為被動航天器的半徑向量、徑向和橫向速度;r2,Vr2,Vu2為主動航天器的半徑向量、徑向和橫向速度在被動航天器軌道平面上的投影;aS,aT,aW為主動航天器在徑向、橫向和側向方向上的推力加速度。

被動航天器運動參數根據無擾動理論確定

(2)

式中,p,e,?是半交弦、偏心率和真近點角。

引入假設:主動航天器和被動航天器的運動參數之間的差異與被動航天器的軌道半徑相比較小,并且被動航天器軌道是圓形(e=0)。這將使方程(1)[4]線性化

(3)

將系統(3)寫成矩陣形式

(4)

將柯西公式應用于動力學方程(3),得到了用于確定任意時刻t的相位向量表達式

(5)

式中,Φ(t)為系統(3)解的基本矩陣,形式為[5]

Φ(t)=[a1,a2,a3,a4,a5,a6]T

(6)

式中:

方程(5)中的積分部分由矩陣的正交性求得

(7)

式中:

利用基本矩陣(6),可以用坐標形式寫出被動運動方程,分析相對運動的性質:

1) 相對運動的縱向分量(Δr,ΔL,ΔVr,ΔVu)與側向分量(Δz,ΔVz)無關;

2) 主動航天器在縱向平面中相對于被動航天器沿著橢圓運動,其半軸關系為2∶1;

3) 如果橢圓中心位于被動航天器的下方,橢圓中心將沿著主動航天器的運動方向移動;如果橢圓中心位于被動航天器的上方,橢圓中心與主動航天器的運動方向相反;

4) 側向平面的運動表示為諧波振動。

在縱向相對運動中,區分了長期和周期性分量(見圖1)。

圖1 運動的長期和周期性分量

將表征橢圓中心位移及其短半軸大小的參數視為長期參數,而將表征航天器在橢圓上位置的參數視為周期性參數。對于一般情況引入變量

(8)

式中:Δrav為主動航天器沿著被動航天器軌道半徑的平均位移;ΔLav為主動航天器沿著被動航天器軌道的平均位移;l為相對運動橢圓的短半軸;lz為在側向平面中的振蕩幅度;φ和φz為確定主動航天器在相對運動橢圓上位置的角度。

寫出變量(8)的微分方程。將左右部分對時間求微分,轉換之后得到

(9)

系統(9)中的微分運動方程和正交解(7)允許在某些情況下簡化對空間物體相對運動問題的研究。

在系統(9)中第4和第6個方程的右側,由于l和lz分別位于分母項,這使得當它們數值較小時會產生計算困難,這是接近圓形的軌道的特征。在這種情況下,可以轉換到變量

(10)

這些變量的微分方程采用以下形式

(11)

以最終形式寫下適合研究近圓軌道的相對運動微分方程組

(12)

該系統的解析解是從求積方程組(7)的解中獲得的,同時考慮了變量(8)和(10)[4]

(13)

在此指出

(14)

考慮用橫向推力控制相對運動平面參數的問題。

寫出無量綱形式的運動方程。為此,將系統(13)的前4個方程左右兩邊除以一個比例因子K=2aλ-2,得到

(15)

式中

以無量綱形式寫下(13)式的解析解

(16)

(17)

使用解析解(16),定義相對運動的橢圓的短半軸正交解為

展開前面表達式中的括號,得到

(18)

此外,為了便于表示,下文中將省略變量上面的“-”符號。意思是所有的變量都是無量綱的。

2 具有雙主動區域的控制程序設計

通過相對運動模型(15)和解析解(16),可以構造相對運動參數步進式控制和聯合控制的標稱程序和相對運動參數的聯合控制。 現有研究表明,協同控制程序的參數計算將更加復雜,但它們在目標標準的最小值方面更具吸引力。

研究參數控制程序的聯合控制問題,如圖2所示。假設2個橫向推力的符號為相同和相反2種情況。

圖2 控制結構

如圖2所示,參數化程序由4個特征區域組成:

1) 限制在0～0.2π范圍內的持續時間為t0的等待區域;

2) 持續時間為t1的第一個主動區域;

3) 持續時間為tp的被動區域;

4) 持續時間為t2的第二個主動區域;

概括地表述兩準則優化的問題。需要確定滿足邊界條件的主動區和被動區的持續時間

(19)

t=tf:

Δrav=0, ΔLav=0,lx=0,ly=0

并提供最低的任務標準

(20)

式中:tmot是機動時間成本;tsum是總時間。

2.1 2個不同符號推力開關的程序優化

對于所考慮的控制結構,定義多項式A、B、C和D(參見(17)式),得到:

(21)

由解析解(16),考慮(21)式,定義邊界條件與控制參數之間的關系,得到了主動區域的持續時間的方程

(22)

此處

考慮所研究的控制結構的多準則問題的特殊性,并寫出問題(20)～(22)的準則

(23)

在不考慮相對運動橢圓的短半軸的邊界條件的情況下考慮這個問題,并解析地定義帕累托集的邊界。根據問題的標準tmot和tsum,表達參數tp,將獲得:

(24)

(25)

通過等式(24)和(25)的右側,得到了帕累托最優解集的邊界

(26)

表達式(26)允許在等待區域持續時間固定時估計機動和總時間成本的上限和下限。

帕累托最優解(26)的集合由于被動區域非負性的條件被限制在右側,對應于min(tsum):

(27)

由于主動區域的非負性條件的約束,帕累托最優解(26)的左側同樣受到限制,對應的條件為min(tmot):

min(tmot)=|Δrav0-Δravk|

(28)

確定等待區和被動區的持續時間。 對等式(18)的分析表明,對于所有邊界條件,被動區持續時間t0和tp的最優值應滿足條件sin(φ0+t+ξ)=±1,其中加號對應于相對運動橢圓的短半軸增加,減號對應于短半軸減少。 然后從等式(18)得到一個方程組

(29)

以參數t0和tp作為自變量在數值上求解方程(29)。 因此,多準則問題被簡化為具有2個未知數t0和tp的2個非線性方程(29)的系統的解。 由于方程(29)右邊包含調和函數,因此這個問題有幾個解,應該選擇其中的帕累托最優解。

2.2 2個同號推力開關的程序優化

對于所考慮的控制結構,定義多項式A,B,C,D(參見(17)式),得到:

A=-cos(t1+tΠ+t2)+

cos(tΠ+t2)-cos(t2)+1

B=sin(t1+tΠ+t2)-sin(tΠ+t2)+sin(t2)

C=t1+t2

(30)

由解析解(16),考慮(30)式,定義連接邊界條件與控制參數的關系,得到主動區域持續時間的方程

(31)

其中主動區域的推力符號定義為

(32)

以參數Δrav,ΔLav為變量的(31)式滿足邊界條件。考慮多準則問題的特征,而不考慮相對運動橢圓的短半軸的邊界條件。所研究的控制結構的問題(19)的標準將采用(33)式的形式

(33)

從(33)式可以看出,標準問題中,機動時間是恒定的,并且僅取決于標準問題的邊界條件Δrav,總時間隨著被動區域持續時間的增加而不斷增加。

因此,正如從(33)式得出的,多準則問題退化為單準則問題,即由等式(29)～(31)確定被動和等待區域的持續時間,不僅滿足了邊界條件,且其值為最小值。

相對運動軌跡示例如圖3～4所示。圖3為坐標系中無量綱變量Δrav,ΔLav的運動軌跡。圖4給出了相對運動橢圓的無量綱短半軸對時間的相關性的示例。在圖3中,虛線對應于相對運動的長期性分量,實線對應于運動的周期性分量。

圖3 無量綱變量Δrav,ΔLav的相軌跡示例

圖4 相對運動橢圓的無量綱短半軸對無量綱時間的相關性示例

3 控制參數計算和帕累托集構建

考慮在(34)式邊界條件下的問題的解

(34)

計算結果列于表1中。圖5展示了一個帕累托集的示例。

表1 問題(33)的解

圖5 問題(33)的解決方案,兩次和三次推力開關的控制程序比較

注:序號1.1～1.3包含2個同號推力開關;序號2.1～2.7包含2個不同符號推力開關。

在圖5中,帕累托最優解是序號為1.1,2.7,2.5,2.3,2.1的解。因此,該問題有5個解。帕累托集不是連續的,而是用點表示的,這是由于需要共同改變運動長期性和周期性分量,選擇了嚴格定義的被動區域的持續時間。

圖5中最左邊的點對應于具有相同推力符號的程序提供的最小電機時間消耗。 其余點對應不同推力符號的程序,以增加機動時間為代價減少總時間。

請注意,解決方案2.1 對應于具有最小被動區域持續時間的程序。

如圖5所示,集合的最左點1.1對應于運動時間的最小消耗,這是由具有相同推力符號的程序提供的。其余的點對應不同推力符號的程序,可以通過增加機動時間來減少總時間。注意,解決方案2.1對應于具有最小總校正時間的程序。

4 結 論

考慮了選擇標稱帕累托最優相對運動控制的問題。 在將相對運動分為長期運動和周期運動的基礎上,開發了一種計算2個橫向推力組成的結構控制參數的算法。 主動區域的持續時間由分析確定,被動區域持續時間由數值計算得到。正如研究表明的那樣,控制問題有許多解決方案,它們的機動時間和總時間明顯不同。 進行的研究表明在多標準公式中選擇標稱控制的必要性。