基于真實(shí)情境 考查思維能力

姚英艷

摘? ?要：以2022年的河北中考數(shù)學(xué)第25題為例，探究如何基于真實(shí)情境，考查學(xué)生的思維能力。其既注重了初高中知識(shí)間的銜接，又顯示出考試的選拔性功能。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；河北中考；真實(shí)情境；思維能力

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）17-0010-03

一、本題考查內(nèi)容

題目展示：25.（本小題滿分10分）

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)為A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直線的解析式；

（2）某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)：

在函數(shù)y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，便得到射線CD，其中C（c，0），當(dāng)c=2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn) P，并沿CD飛行；當(dāng)c≠2時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出。

①若有光點(diǎn)P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光，求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù)。

本題是基于真實(shí)情境，考查一次函數(shù)的圖像信息題。知識(shí)與技能方面包含：用待定系數(shù)法求直線的解析式、解二元一次方程組、代入求值、如何確定整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等綜合知識(shí)。解題當(dāng)中用到的思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想。

二、答題情況

1.第一問(wèn)求直線AB的解析式正確率較高，這說(shuō)明教師們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，注重待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的訓(xùn)練。但仍有部分學(xué)生待定系數(shù)法步驟不全，出現(xiàn)“設(shè)列解”的步驟缺失。

2.“求整數(shù)m的個(gè)數(shù)”這一問(wèn)因?qū)忣}不清，導(dǎo)致很多學(xué)生在面對(duì)真實(shí)情境時(shí)，不知如何轉(zhuǎn)換。那么第25題為什么這么設(shè)計(jì)，又考查了學(xué)生的哪些能力呢？對(duì)此我們先來(lái)解讀一下新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。新課程標(biāo)準(zhǔn)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向。核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)9個(gè)方面。其中抽象能力、推理能力、模型觀念是初中核心素養(yǎng)表現(xiàn)中新增加的三個(gè)方面。第25題第二問(wèn)恰恰對(duì)學(xué)生這三方面的素養(yǎng)提出了較高的要求。

第（2）問(wèn)的問(wèn)題②學(xué)生在突破時(shí)會(huì)存在兩個(gè)難點(diǎn)，其一、理解題意方面存在一定的難度，需要將真實(shí)情境 “有光點(diǎn)P彈出，擊中線段AB上的整點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論——兩個(gè)一次函數(shù)有交點(diǎn)且交點(diǎn)為整點(diǎn)；其二、已知兩個(gè)一次函數(shù)有整點(diǎn)，求參數(shù)m取值的問(wèn)題在推理表達(dá)時(shí)存在難度，解法一：首先設(shè)整點(diǎn)為 P（x0，y0） ，構(gòu)建關(guān)于x0、y0的二元一次方程組，這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，列出方程組之后，再通過(guò)消元法將 3 個(gè)字母的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 2 個(gè)字母的問(wèn)題，以獲得參數(shù)m與整點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，或縱坐標(biāo)y0的直接關(guān)系。該過(guò)程既蘊(yùn)含函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化的思想，又體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力，其中m用x0的代數(shù)式表達(dá)，為明確m的取值，代數(shù)式的變形采用了分離常量法，這一技能，在高中求值域時(shí)常常使用，也凸顯了中考試卷的選拔性功能。

解法 2：由題A（-8，19），C（2，0），可得直線AC的解析式為：y=-1.9x+3.8，同理直線BC的解析式為：y=1.25x-2.5，要使線段AB發(fā)光，m的取值范圍為m≤-1.9或≥1.25.

由①直線CD的解析式為：

解法二的轉(zhuǎn)化方向和解法一完全相同，只是解決方案不同，其先通過(guò)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別確定直線AC和BC的解析式，然后通過(guò)圖像、數(shù)形結(jié)合確m的取值范圍，隨后再聯(lián)立直線AB，和直線CD的解析式，構(gòu)建含有參數(shù)m的二元一次方程組，以解得兩條直線得交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)（用含有m的代數(shù)式表示），然后由交點(diǎn)為整數(shù)及m的取值范圍可明確m的取值。

解法一和解法二都經(jīng)歷了從真實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高的要求。在講解法三時(shí)，我們可以通過(guò)幾何畫(huà)板，直觀感受這一動(dòng)態(tài)的過(guò)程。

解法 3：由①直線CD的解析式為：y=mx-2m

線段AB上的整點(diǎn)有15個(gè)，分別為（-8，19）（-7，18）（-6，17）（-5，16）（-4，15）（-3，14）（-2，13）（-1，12）（0，11）（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）（6，5），將上述各點(diǎn)分別代入y=mx-2m，求得整數(shù)m分別為-2，-4，-10，8，2，所以m的個(gè)數(shù)為 5 個(gè)。

解法三的產(chǎn)生來(lái)源于學(xué)生對(duì)幾何圖像細(xì)致的觀察，以發(fā)現(xiàn)最終解決方案。雖然計(jì)算量大一點(diǎn)，但其把真實(shí)情境最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉和擅長(zhǎng)的已知兩個(gè)確定的點(diǎn)，求一次函數(shù)解析式的問(wèn)題。如此一來(lái)在做推理時(shí)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言就變得簡(jiǎn)單，而且更容易接受，這足以說(shuō)明數(shù)形結(jié)合、幾何直觀的重要性。

基于真實(shí)情境的一題多解，其意義既不在于羅列，又不在于解法之多，而在于教學(xué)中，教師尊重每一位學(xué)生的輸出，發(fā)現(xiàn)每一種可能的角度，多方尋求優(yōu)化方案，只有這樣才能拓展學(xué)生的視野，使其從聯(lián)系、綜合的角度看待問(wèn)題；只有這樣才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模能力，進(jìn)而提升學(xué)生的思維能力。

四、教學(xué)建議

第一，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練，并要求學(xué)生樹(shù)立基礎(chǔ)知識(shí)滿分的意識(shí)。同時(shí)多關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)薄弱的學(xué)生。

第二，要想正確建模，應(yīng)加強(qiáng)審題訓(xùn)練。因?yàn)楦鞣N各樣的原因，教師往往急于完成教學(xué)任務(wù)，所以在講解各種題目時(shí)，對(duì)題意一帶而過(guò)，然后學(xué)生在不了解題意的情況下，進(jìn)行解題或聽(tīng)教師的講解，長(zhǎng)此以往，盡管學(xué)生做的題數(shù)量不少，但依然逃不開(kāi)兩種結(jié)果：遇到重復(fù)的類型，學(xué)生按套路出牌，雖然能做對(duì)，但并不能提升學(xué)生的能力；遇到新穎的題目，需要仔細(xì)琢磨理清題意時(shí)，學(xué)生往往束手無(wú)策。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師首先要加強(qiáng)審題訓(xùn)練，即給學(xué)生一定的時(shí)間理解題意，以使其明白知識(shí)的來(lái)龍去脈，其次，要精選新穎的真實(shí)情境，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思考，如此可在比較中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三，整合資源，通過(guò)專題進(jìn)行一次函數(shù)模型復(fù)習(xí)。要重視設(shè)計(jì)活動(dòng)，因?yàn)槠浼瓤蓭椭鷮W(xué)生理解一次項(xiàng)系數(shù)k的幾何意義，又可促使學(xué)生體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系。在坐標(biāo)系中研究函數(shù)時(shí)，要注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想。

第四，梳理初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模的主要素材。只要我們深入鉆研教材，挖掘其中所蘊(yùn)含的材料，并從中提煉，就能找到有效的模型素材，如此可培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

五、解題反思

（一）題目包含兩大問(wèn)，三個(gè)臺(tái)階，層次感極為分明

第一個(gè)臺(tái)階，考查學(xué)生的基本知識(shí)和技能。第二個(gè)臺(tái)階，它的解決必須依賴于“由光點(diǎn)P彈出”這樣的現(xiàn)實(shí)情境，然后經(jīng)抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題才能解決，該過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模過(guò)程。第三個(gè)臺(tái)階，真實(shí)情境下問(wèn)題的文字量是極小的，其關(guān)鍵就是以下這句話“由光點(diǎn)P彈出，擊中線段AB上的整點(diǎn)”。解決這樣的問(wèn)題，學(xué)生既不能錯(cuò)過(guò)每一個(gè)字，又不能不經(jīng)抽象即用更多的數(shù)學(xué)語(yǔ)言找到它的等價(jià)形式，并用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的問(wèn)題。所以能解答這一問(wèn)的學(xué)生，一般具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。要想培養(yǎng)出這樣的學(xué)生，教師要在平時(shí)的教學(xué)中不斷滲透，關(guān)注這樣的過(guò)程，這就對(duì)我們教師提出了更高的要求。

（二）思考新課標(biāo)下如何滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一次函數(shù)和二次函數(shù)模型是中考考查的熱點(diǎn)，但從近三年的數(shù)據(jù)來(lái)看，2020年只是在真實(shí)情境中應(yīng)用函數(shù)模型，學(xué)生無(wú)需抽象。2021年和2022年從題目設(shè)置的位置來(lái)看，從真實(shí)情境中抽象出函數(shù)模型的難度在增大。這就要求我們教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，既要努力分析并轉(zhuǎn)化真實(shí)的情境，以增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力，又要增強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)推理能力和發(fā)展幾何直觀的能力。對(duì)此教師需要通過(guò)做題，學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)，比如幾何畫(huà)板等，去用心積攢素材，如此可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【責(zé)任編輯 韓梁彥】