立足基礎 深究本質 提升素養
——2023年新課標Ⅱ卷第22題探究

黃剛鋒 (浙江省湖州市安吉縣高級中學 313000)

教育部教育考試院指出,高考數學全國卷在反套路、反機械刷題上下功夫,突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力,落實中國高考評價體系中“四翼”的考查要求．新課標Ⅱ卷第22題將導數與三角函數巧妙地結合起來,通過對導函數的分析,考查函數的單調性、極值等相關問題,通過導數、函數、不等式等知識,深入考查分類討論的思想、化歸與轉化的思想．

1 試題呈現

2023年普通高等學校招生全國統一考試新課標Ⅱ卷第22題:

(1)證明:當0

(2)已知函數f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍．

2 解法分析

(1)構造函數g(x)=sinx-x+x2,00,所以g′(x)在(0,1)上單調遞增,所以g′(x)>g′(0)=0．因此,g(x)在(0,1)上單調遞增,故g(x)>g(0)=0,即x-x2

同理,構造函數h(x)=sinx-x,0

注:由上述證明過程可以發現,如果把自變量的取值范圍(0,1)推廣到(0,+∞),上述不等式仍然成立,即當x>0時,x-x2

3 關鍵點分析

4 試題背景

高等數學教材《數學分析》[1]中關于極值判別有如下幾個重要定理:

費馬定理 可導函數在點x0取極值的必要條件是f′(x0)=0．

極值的第一充分條件 設函數f(x)在點x0連續,在某鄰域U(x0;δ)上可導．

(1)若當x∈(x0-δ,x0)時,f′(x)≤0,當x∈(x0,x0+δ)時,f′(x)≥0,則f(x)在點x0取得極小值．

(2)若當x∈(x0-δ,x0)時,f′(x)≥0,當x∈(x0,x0+δ)時,f′(x)≤0,則f(x)在點x0取得極大值．

極值的第二充分條件 設函數f(x)在x0的某鄰域U(x0;δ)上一階可導,在x=x0處二階可導,且f′(x0)=0,f″(x0)≠0．(i)若f″(x0)<0,則f(x)在x0取得極大值;(ii)若f″(x0)>0,則f(x)在x0取得極小值．

文獻[1]還指出,對于應用二階導數無法判別的問題,可借助更高階的導數來判別．

極值的第三充分條件 設函數f(x)在x0的某鄰域內存在直到n-1階導函數,在x=x0處n階可導,且f(k)(x0)=0(k=1,2,…,n-1),f(n)(x0)≠0,則(i)當n為偶數時,f(x)在x=x0取得極值,且當f(n)(x0)<0時取極大值,f(n)(x0)>0時取極小值;(ii)當n為奇數時,f(x)在x=x0不取極值．

證明過程可仿照極值的第二充分條件,本質上還是利用泰勒展開式分析．

5 追本溯源

事實上,以函數極值為命題背景的高考題目以往已經多次出現:

題1(2013年新課標Ⅱ卷(理))已知函數f(x)=ex-ln(x+m)．

(1)設x=0是函數f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;(2)略．

分析 由極值的必要條件(費馬定理)f′(0)=0得m=1,再驗證其充分性即可．

題2(2018年全國Ⅲ卷(理))已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．

(1)略;(2)若x=0是函數f(x)的極大值點,求a．

題3(2013年浙江卷(理))已知e為自然對數的底數,設函數f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),則( )．

A．當k=1時,f(x)在x=1處取得極小值

C．當k=2時,f(x)在x=1處取得極小值

D．當k=2時,f(x)在x=1處取得極大值

分析 考查極值是函數的局部最值這一基本概念,只需討論在x=1附近的函數值變化情況即選出答案C．

6 變式練習

基于以上高考試題,以下兩道變式練習供讀者參考:

變式1 已知函數f(x)=xcosax-ln(1+x),a∈R,證明:x=0是函數f(x)的極小值點．

變式2 (2023年5月成都三診理科)已知函數f(x)=x4-ax3sinx,a∈R,若x=0是函數f(x)的極小值點,求a的取值范圍．

7 教學反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出[2]:學科核心素養是育人價值的集中體現,是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力．通過高中數學課程的學習,學生能提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)．課堂教學是數學關鍵能力培養的主要渠道,培養和發展高中生數學關鍵能力需要在長期教學中逐步滲透．

基于以上分析,從發展學生核心素養和提高學生“四能”角度審視函數與導數教學,筆者有如下認識:

好的社交媒體營銷離不開好的社交媒體營銷人員。欒潔（2015）認為，一個好的社交媒體營銷人員應具備勇于創新的精神，在快節奏的網絡世界中，時刻準備著迎接新的挑戰。網絡營銷人員的另一個特征是誠實。在這個隨時能獲得大量信息的時代，任何形式的欺騙和誤導都很容易被消費者發現。因此，這就要求社交媒體營銷者在與消費者建立聯系時，應始終堅持傾聽和了解消費者的價值觀和期望值，不搞欺騙，堅持追求質量而不是數量。因此，受到社交媒體使用者的喜愛才是成功的關鍵，這也有助于提高企業的聲譽[3]。

(1)重視基礎,回歸本質[3]

高考注重對函數與導數最基礎知識和方法的考查,利用函數的單調性、函數極值等處理不等式證明問題,所以對導數大題復習備考要淡化技巧,重視基礎,回歸本質,凸顯導數研究函數性質的工具性作用,重點掌握導數研究函數問題的基本方法和思想,注重通性通法,注重題型及解題方法的歸納．

(2)研磨真題,提高素養[3]

2023年新課標Ⅱ卷的導數問題可以追溯到2018年全國Ⅲ卷極值點問題,處理方法是類似的,因此在平時復習備考與教學過程中,我們應該認真研究高考真題,強調通性通法,以不變應萬變,培養學生的創新思維、數學抽象、邏輯推理能力,真正提高學生的核心素養．

(3)適當拓展,深究本質

導數是高中數學與大學數學接軌的內容,高考命題者往往從高觀點命制導數試題,這啟發我們在平時教學過程中可以根據學生的實際水平,適當拓寬教學視野,通過強化訓練,引導學生消化理解,不斷提升對問題本質的理解,這對于培養數學尖子生大有裨益．