優化教學設計 體現學段特征
——初中“線段、射線、直線”教學思考*

汪 韶 陳算榮 黃強聯 (揚州大學數學科學學院 225002)

基于基礎教育階段課程的學科性及學生認知發展的階段性,我國中小學數學課程教材的編排秉承“螺旋式上升”的原則[1],在不同的學段中呈現同一主題內容,但不同學段所對應的數學知識的深度與廣度大不相同,對目標的達成程度也大有差別.因此,如果教師不能很好地把握不同學段對學生認知要求的差異,不去深入思考不同學段的教學目標,就會導致高學段的教學停留在低學段的水平,無法體現學段特征.“線段、射線、直線”的教學就容易出現這樣的狀況.

1 初中“線段、射線、直線”教學的認知定位

對比《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標》)中第二學段(3—4年級)和第四學段(7—9年級)對“線段、射線、直線”的內容和學業要求(表1),可以得出以下結論:《課標》在小學階段對學生的能力要求側重于“認識、知道”層面,主要要求學生能結合實例了解三線,能在具體情境中進行簡單的運用;而在初中階段對學生的能力要求明顯提升,側重于“理解,掌握”層面,不再限定于生活具體情境,而更關注抽象后的概念.

表1 《課標》對“線段、射線、直線”的教學要求

從幾何學的發展史來看,線段、射線、直線的幾何雛形的出現源于人類繪畫的產生與發展:古人用近似線段的短線表示物體的邊沿,用近似射線的線條表示太陽發出的光線,用近似直線的線條來表示地平線[2].幾何圖形的誕生來源于豐富的現實世界.

因此,在小學階段,教學強調借助實際情境讓學生直觀感受三線,此類教學要求實則基于對小學生認知發展局限性的考慮.而在初中階段,教學強調對物體的抽象過程,重在培養學生的抽象能力,此時若仍停留在三線的名稱、端點個數、延伸性等特征上,則無法體現學段特征,教學價值也將大打折扣.結合《課標》不同學段要求的差異,可對

小學階段“線段、射線、直線”概念教學和初中階段“線段、射線、直線”的教學作出如下不同的認知定位:

小學階段:知道三線的存在,了解三線在實際生活中的意義;能夠在生活實例中認識三線,了解同一平面內兩條直線的位置關系.

初中階段:理解三線的抽象概念,明晰平面幾何的一般研究范式;掌握平面幾何中的數量關系和位置關系,體會幾何與代數之間的聯系.

2 初中“線段、射線、直線”教學片段的活動設計

如何在初中階段“線段、射線、直線”的教學中達成上述認知定位,體現初中學段特征?下面針對“理解三線的抽象概念”以及“掌握平面幾何中的數量關系和位置關系”進行活動設計.

2.1 三線的抽象概念

問題1通過之前的學習,我們一起走進了幾何圖形的世界,認識到生活中有很多物體可以抽象為數學中的圖形,那么構成幾何圖形的三要素是什么?它們之間的關系又是怎樣的?

追問1 點作為幾何圖形最基本的元素,它的形狀、大小有什么特點?

追問2 如何用符號語言表示不同的點?

追問3 點動成線,線是由點組成的,接下來我們就進入到“線”的學習中.小學階段我們已經學過了相關的知識,你還能回憶起來嗎?

教學策略 問題1的難點在于三要素之間的關系.教師在此處可以引導學生先思考點和線的關系,得出“點動成線”,繼而讓學生類比思考,得到“點動成線,線動成面,面動成體”,并輔以幾何畫板展示.對于追問1和追問2,則需要教師幫助學生回憶點的抽象概念:“點是一個既沒有形狀,又沒有大小的幾何圖形”及用符號表示“用文字和一個大寫英文字母組合的方式來表示不同的點”.針對追問3,基于學生的學習基礎不難作答,但存在記憶模糊及離不開生活實例的現象,因此教師可借助表2對學生的回答進行總結梳理,并進一步形成抽象的定義.

表2 線段、射線、直線的特征

設計意圖通過問題1回顧舊知,幫助學生建立新舊知識間的聯系,讓學生對知識結構有一個系統化認識,即本章將在上一章圖形世界學習的基礎上開始學習具體的平面圖形.其次,點作為最基本的幾何圖形,是學習三線的基礎,回顧點的定義及表示方法為本課抽象出三線的概念奠定基礎.最后,由于學生在小學已經具備了三線的認知基礎,因此本節課不是一節完全的新授課,通過追問3的設置,一方面幫助學生梳理原有知識,另一方面抽象出三線的概念,為真正進入到初中階段三線的學習做準備．

問題2如何用符號語言表示不同的直線?點動成線,能否從點的符號表示中得到啟發?

追問1 確定一條直線至少需要幾個點?一點?兩點?還需要增加點的個數嗎?

追問2 現在你能給出直線的符號表示嗎?同樣地,射線和線段呢?

教學策略 點的符號表示是三線符號表示的最近聯想,因此教師可通過“點動成線”引導學生思考點與直線之間的確定關系,進而思考三線的符號表示.而對于追問1,教師可讓學生動手操作,在做中得真知,從經過一點到經過兩點畫直線,讓學生自己探索得出“兩點確定一條直線”的基本事實.

設計意圖承接追問3,學生必然會對三線的符號表示這一欄產生好奇,基于學生的這種求知欲望和思維邏輯,從本原問題出發,將數學概念和基本事實進行聯系和拓展,并以學生自主探索為主、教師引導為輔的教學形式得到“兩點確定一條直線”的基本事實,進而確定三線的符號表示,同時培養學生動手操作、自主思考的能力.

2.2 平面幾何中的數量關系和位置關系

探究1 數量關系

問題3線段作為三線中可以度量大小的唯一對象,是否有著更多的特征呢?請同學們找出圖1中的線段,并探索它們間的數量關系(大小、和差、倍數關系等).

圖1

追問1 把上述線段AB的兩個端點看作地圖上的兩個地方,那么A和B兩地之間的距離和線段AB的長度之間有什么關系呢?條條大路通羅馬,在A和B兩地之間增加m,n兩條路徑(圖2),你有什么體會?

圖2

教學策略 學生基于學習經驗能夠自主探索得出線段間的數量關系,因此教師可先讓學生自己探索,然后進行總結,并由AB=2AD引出線段中點的概念.對于追問1,兩點之間線段最短的基本事實學生在小學已經有所體會,故而可直接引入,但“兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離”這一定義對學生來說還是比較抽象的,可借助生活背景來幫助學生理解和掌握,最終再回到數學中抽象的定義.

設計意圖基于學生的學習經驗,線段間的數量關系并不是難點,但教材中涉及的內容較為瑣碎.問題3的設置能夠把線段的大小、和差關系及線段中點等內容有機結合起來,使其形成一個整體,同時讓學生初步體會幾何與代數的統一.學生在小學對“兩點之間線段最短”的基本事實已經有所體會,且兩點間的距離是通過線段長度定義的,因此把這兩個知識點置于線段長度的教學之后,使本課的教學邏輯更加清晰,內容更加豐富.

探究2 位置關系

問題4討論完數量關系,接下來研究兩個幾何對象之間的位置關系.即兩個點、一個點與一條直線、兩條直線之間有哪些位置關系呢?

追問1 兩條直線平行、相交、重合時的公共點個數有何區別?

教學策略 對于兩點之間的位置關系,雖然課標和教材沒有要求,但考慮到學生的認知基礎和知識的完整性,教師不能不提.關于點與直線、兩條直線之間的位置關系,學生基于小學的學習不難作答,但仍需教師總結歸納.首先,學生在回答如圖3所示的點與直線的位置關系時,容易得出以下兩種結論:(1)點A在直線l上,點P不在直線l上;(2)直線l經過點A,直線l不經過點P.此時教師應對這兩種答案都給予充分的肯定,并進一步解釋:“造成這兩種不同說法的原因是我們每個人看問題的角度不同”,從而讓學生做到對問題的全面認識.其次,學生雖能答出兩條直線之間的三種位置關系,但對精確的定義可能有所遺忘,故而設置追問1,幫助學生回顧定義,同時可通過兩直線相交引出交點這一新的概念.

圖3

設計意圖數量關系和位置關系是研究平面幾何的兩大維度,分別從代數和幾何的角度揭示了幾何圖形間的關系.因此本課進行位置關系的初步探索是十分必要的,能夠讓學生意識到除數量關系外,還可以從位置關系的角度去思考兩個圖形之間的關系,進一步加強學生對位置關系這一特征的感受,同時也向學生呈現位置關系在研究幾何圖形過程中的重要性,讓學生體會研究幾何對象的基本方法,為后續深入研究平行、垂直等位置關系埋下種子.

3 結語

為了有效地組織學生的學習經驗,數學教材在幾何學知識的編排上呈現出一定的順序性: 小學階段主要編排現實生活中直觀的幾何圖形,初中階段開始從思維抽象層面編排平面幾何,到后面的高中階段編排對學生幾何思維提出更高要求的立體幾何與解析幾何.本節課是在學生剛接觸豐富的幾何圖形之后正式學習平面幾何的第一節課,是后續繼續學習平面幾何相關知識的基礎,為后續平面幾何的教學奠定了基本范式.因此,初中階段“線段、射線、直線”的教學應準確地抽象出三線的概念,讓學生掌握這些幾何圖形的表示方法及其性質,并開始探索平面幾何中的數量關系和位置關系,讓學生初步體會幾何與代數間的聯系,明晰研究平面幾何的一般方法,進而落實數學抽象、直觀想象和邏輯推理等學科核心素養的發展.