關于高中生自學數學課本的一點探究

杜 平 (上海市市北中學 200071)

1 提出問題

自學能力,是指沒有其他人的指導和教師的教學,通過自己獲得一定的知識或技能,并掌握其應用和提升素養的一種學習能力．自學過程中,只有自己一個人,但是可以運用不同的工具、書籍等．

今日世界科技日新月異,知識爆炸．由于互聯網的作用,知識得以海量地傳播并快速更新,因而要求人們具備一定的自學能力,以適應新時代終身學習的需要．中科院院士盧仲衡指出:“未來的文盲不再是不認識字的人,而是沒有學會怎樣學習的人．”

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出[1]3:提倡獨立思考、自主學習．培養學生自學能力,完全契合這一理念,日常的教學有助于該理念得到切實的落實．

相對于小學、初中學生,高中生學習的自覺性、注意力大為增強,對事物的感知能力、領悟能力和獨立思維能力大為提高,是培養自學能力的黃金時期．因而在高中數學教學中,如何培養學生的數學自學能力是一個值得重視的問題．由于學生每天要學習多門學科,能用于學習數學的時間有限,故每次選取大約一節課容量的課本內容組織學生展開自學活動,可把學生的自學融于日常的教學之中,既切合實際又便于實施．本文的意圖是以此作為切入點,探尋學生開展較為科學的自學活動的方法,為提高學生的數學自學能力作些探討．

2 學生自學的一次嘗試

2.1 自學任務布置

學生來自一所上海市重點中學的高一年級,為了解學生自學能力的現狀,筆者在沒有對學生進行自學方法指導的情況下布置了如下作業:自學課本第112～114頁上的“8.3.1向量基本定理”,完成第115頁上的練習8.3(1),并做自學筆記,把你認為重要的記下,要求用時大約四十分鐘．并告訴學生,在第二天數學課上,對自學情況進行反饋．所用教材為上海市2020年版高中數學新教材[2]．

2.2 自學情況反饋

第二天課上,先讓學生閱讀課本,復習溫故自學內容．然后,為較真實地反映自學情況,要求學生只能看筆記,不得看課本,回答下列問題:

1．這段課本內容講述的主旨是什么?

2．該內容有怎樣的層次結構?

3．該內容涉及的定理是什么?寫出該定理．課本是怎么發現這個定理的?請給出該定理的證明,說說你對該定理的認識．

4．該內容涉及的概念是什么?課本是怎么引入的,又是如何定義的?說說你對該定義的認識．

5．新引進的數學符號是什么?

6．例題涉及什么問題?與上述定義、定理有怎樣的關系?你能概括出它的解法嗎?

7．在處理這些問題的過程中,使用了哪些數學思想與方法?

8．給出第115頁上練習8.3(1)的解答,課本設置這些練習的意圖是什么?

9．自學過程中,你對課本內容進行了( )．

|A．有選擇的瀏覽 |B．完整的瀏覽

C．完整的閱讀 D．完整的研讀

10．你有自學的目標和規劃嗎?( )

A．沒有,隨意閱讀

B．只覺得要看定義、定理、例題

C．有,但比較模糊

D．有明確的目標和規劃

學生答完后,收交批閱,根據學生回答的合理性程度打分:若基本答不上,得0分;能答上一點,但與正確答案有較大的偏差或缺漏,得1分;能回答出正確答案的要點,但有些小偏差或小缺漏,得2分;能正確解答問題,得3分;問題9、問題10選A,B,C,D依次得0,1,2,3分．

2.3 自學情況分析

表1給出了學生答題的得分情況,具體分析如下．

表1 學生答題的得分情況

問題1:明確自學內容的主旨有助于明了自學內容所表達的用意或目的,把握自學內容的要點．這個問題學生得分不高,大部分學生只是給出了課本的標題,對主旨的認識是模糊的、表面的．這說明很多學生自學時并不關注這一點．

問題2:揭示自學內容的框架結構是對問題來龍去脈的宏觀把握．學生在這個問題上得分偏低,大多數人回答不出,說明其自學行為缺乏大局觀,易被一些只言片語所吸引．

問題3:大多數學生能回答出課本介紹的是向量基本定理,借助筆記能寫出定理．但是,關于定理的發現、證明以及對定理的深層次理解,學生回答得不理想．這說明他們只是被動接受定理,缺乏領會的習慣與能力．

問題4:大多數學生由筆記能寫出基的定義,但與定理的自學類似,對定義的認識回答的正確率、合理性不高．學生自學時,不去、也不善領悟和揭示概念的本質,更注重的是對定義的機械記憶．

問題5:數學符號是數學的重要組成部分,可使數學問題表達簡潔明了、思維簡約．大多數學生答不出向量基本定理結論中的符號表示a=λe1+μe2,表明數學符號不被學生關注．

問題6:在介紹定義、定理之后,通常課本會設置與定義、定理有關的例題,這種相關性被忽視,很多學生對例題解法的表述不得要領,說明學生對課本設置例題的意圖和解法未加揣摩．

問題7:很多學生答不出這個問題．自學時,他們關注更多的是數學知識層面,而對技能技巧和數學思想方法方面關注不夠．

問題8:大多數學生解答得較好,主要原因可能是問題比較簡單,且有例題模仿．但對設置練習的意圖回答正確率不高．說明學生只管做題、不問目的,沒有反思意識．

問題9:選D的學生最少,選A,B,C的相差不多．反饋發現,凡仔細研讀的,自學的效果普遍較好．數學語言抽象、符號奇特、極具邏輯、充滿探索,數學學習對學生有很高的領悟和思維能力要求,學習時需要仔細琢磨、認真體會,方能領會．而瀏覽性閱讀缺少深入理解的環節,難于領悟課本內容的確切含義．

問題10:大多數學生選擇B,選D的幾乎沒有．這反映出學生學習無計劃,目標模糊．這樣的自學,學生無法把控好自己的學習活動,難免會出現迷茫、不知所云,最終無功而返．

以上10個問題學生的平均總得分剛過半,并且從上面的分析可知,被測學生的自學行為存在諸多問題,效果不佳．其原因是不知如何自學,亟待尋求有效措施加以轉變．

3 對自學的分析

3.1 關于自學的對象

高中數學教材是按章節順序編排的,通常每章分為若干節．如一節內容較多,又分若干小節．再按大約一節課的教學容量,將每小節又分成若干部分．一般地,每個部分通過實例、創設問題情境等手段,引導學生導出數學的概念與命題(包括公理、定理、法則、公式、性質等)．通過例題、練習,幫助學生對教材內容進行強化、加深理解、掌握應用,并讓學生得到訓練,形成一定的技能．這個過程中,借助了一些技能技巧、思想方法來解決上述問題．教材的編寫考慮到了便于學生自學．

普通高中數學課程目標所表述的大概要點為[1]8:通過高中數學課程的學習,學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”,提高數學角度的“四能”．在學習數學和應用數學的過程中,發展學生的“六個核心素養”,培育學生學習數學的情感與態度等,這些在教材里均得到了體現與落實．由此可見,高中學生的數學學習是多維的,在學習過程中需作出多方面的考量．

3.2 關于課堂教學中教師的作用

課堂教學是中學生學習的主陣地,教師起著主導作用,是學生學習過程的布局者、學生學習目標的確定者、學生學習活動的監察與調控者、學生學習的授業解惑者、學生學習情感與態度的培育者以及學生學習成效的評價者．這樣的課堂教學,就學生學習而言是他控學習．

3.3 關于學生的自學活動

自學的本質,是與學生他控學習相對應的自我調控學習．自學時,自學者的學習不可無章法地進行,須承擔起教師在課堂教學中所起的作用,方能順利地展開學習活動．這對學生來說具有挑戰性,如何做到呢?

申克和齊默爾曼將自我調節學習界定為[3]272-279:學習者系統地引導自己的思維、情感和行為而使它們指向目標實現的一種過程．由此可看到,自我調節學習是主動建構的一種過程,是由自己確定目標并引導學習過程,圍繞目標對自己的認知、情感、動機進行監督、調節與控制．自我調節學習涉及學習者認知方面的因素與動機方面因素的整合．

溫內和哈德溫的學習過程模型把自我調節學習分為四個階段[3]272-279——分析任務、設置目標與制定計劃、實施策略、調節學習．這個過程不是直線進行的,而是循環往復的．

4 自學的實施

針對課本一節課內容的自學,怎么開展自學活動?下文主要以自學向量基本定理為例作些探究．

4.1 分析任務

自學應從閱讀課本開始．首先,通讀瀏覽,就是艾德勒和范多倫所說的檢視閱讀[4],著重關注閱讀材料的層次結構,關注閱讀材料研究的主旨,看不懂的暫且先放一下．據此分析知,課本向量基本定理這一小節的邏輯結構為:提出問題,在平面坐標系內,起點在原點的向量與其終點坐標一一對應,如何用向量知識對其表述?并給予解決→進一步提出,如何推廣到一般情形?引出向量基本定理→向量基本定理的證明→介紹基的概念以及向量基本定理的另一種表述方式→進行向量的線性表示→鞏固練習．這節內容表述的主旨是,介紹向量基本定理和基的概念及向量的線性表示．由此可見,通過通讀瀏覽,可從“揭示結構”“明確主旨”兩個方面分析任務．

4.2 設置目標

該小節的學習目標確定為:理解向量基本定理及存在性的構造法和唯一性的同一法證明,理解基的概念,體驗向量基本定理的發現和證明及基的概念的形成過程,會用基表示向量,培養勇于探索的進取精神．關于教學目標,當前普遍的共識是分為三個方面[5]:知識與技能、過程與方法、情感與態度．“四基四能”和“六個核心素養”涵蓋于前兩個之中．關于學習目標的確定,根據前述“分析任務”,也應該從三個方面進行提煉．在平時的教學中,應向學生介紹目標中的一些常識,比如核心素養、情感與態度等．這些在他控學習時學生未必關注,但在自學時會直接影響學習目標的制定,學生應當提前知道．

4.3 實施策略

此環節要對課本內容進行精讀鉆研,可沿“分析任務”中揭示出的邏輯結構逐一展開．

·命題的學習

(1)特例分析

如何用向量知識描述平面向量與有序實數對一一對應的關系?這為抽象的向量基本定理提供了具體的指稱對象,從而使向量基本定理不至于太抽象．學生不宜直接閱讀課本,而應自己先去探討,這有利于其積累活動經驗,為處理推廣情形作好鋪墊．

圖1 向量與坐標的一一對應關系

(2)推廣探究

圖2 向量分解

(3)命題發現

讓學生試著得出向量基本定理,這種注重自我構建得到的命題表述也許不太準確,甚至是錯誤的,但與直接接受課本的表述相比較,對發展學生的數學抽象素養,培養學生發現、提出問題的能力,培養勇于探索的精神,以及對定理本質的準確把握、數學語言的準確表達所起的作用,不可相提并論．向量基本定理可表達為:如果e1,e2是同一平面內的兩個不平行的向量,那么對于這一平面內的任一向量a,都可以唯一表示為e1,e2的線性組合,即存在唯一一對實數對λ,μ,使得a=λe1+μe2．

(4)命題理解

得出定理后,應該對定理的界定仔細斟酌,進行再認識．此時要做好三件事:一是“二明確”,明確條件是什么、結論是什么.對向量基本定理,條件涉及三個向量e1,e2,a,它們共面,e1,e2不平行,a任意．結論為a可用e1,e2的線性組合表示,這種表示唯一,線性組合指a=λe1+μe2,唯一由存在唯一一對有序實數對λ,μ體現．二是“三表達”,用文字語言、符號語言、圖形語言分別表示定理,當然不是所有定理都有三種表示,盡量用多種方式表達．如向量基本定理,同時重視文字、圖形(如這里用了平行四邊形法則)和符號(如這里的a=λe1+μe2)表示．三是對定理本質的揭示,如向量基本定理的本質為“平面上任何一個向量,都可唯一地分解成平面上兩個不平行向量的線性組合”．隨著學習的推進,還需再深入地去領悟與揭示．

(5)命題證明

先自證,再閱讀課本證明．經歷了自主探求,更易領悟課本的證明,證后還需揭示證明過程中所用的知識與思想方法．向量基本定理的證明分存在性和唯一性兩個步驟.由(2)知,證明存在性用了構造法,構造出平行四邊形實現論證;而證明唯一性,用了同一法．這在以往教材中沒有明確提及,學生會不理解,或誤認作反證法,因而自學時常會遇到困難．這一方面要求學生勇于探索、堅定意志,不要輕易放棄．另一方面,注意適可而止,可通過查詢圖書資料,或利用網絡,或尋求他人(包括老師)幫助而獲得解決．這也是當今時代人們獲取新知的重要途徑和所需具備的一種求知技能．

由(1)(2)(4)以及將要討論的“例題與練習的學習”可以看到,為順利地進行自學,學生需要具備一定的分析、解決問題的方法和能力,才能更好地理解課本的表述．在數學學習中,這是需要著力培養的數學核心能力．為此,根據波利亞的解題理論[6],設置問題解決的分圖3．圖3給出了解題所遵循的一般程序和思維的方式方法,對重要環節說明如下．

圖3 解題所遵循的一般程序和思維的方式方法

弄清問題 解決問題的出發點和歸宿是問題,順利解決問題的前提是對問題的深入了解．應把弄清問題貫穿于問題解決的始終,注意反復、多次進行,切忌臆想．善于借助圖象與引入符號認識問題．

雙向探求 由條件(已知)推出結論(所求)所需,由結論(所求)尋求所證(求)之途．這是數學探求最常用、最基本的模式．

展開聯想 波利亞解題表的精髓是啟發解題者去聯想,其目的是建立手頭問題與相關知識、方法和曾經歷過的問題的連接,再通過合情推理等手法找到解決問題的途徑．解題表中“你曾見過它嗎”等建議,是產生聯想的有效途徑．

善于轉化 問題解決的過程,其實是不斷轉化的過程,解題者需要掌握一些重要的轉化方式、方法．

注意切換 復雜問題總會涉及較多的知識和方法,要有思維從一個場景切換到另一個場景中去的意識,以促使知識、方法間的融會貫通．

多維思考 問題有多面性,會多種視角考慮問題．

反思深化 反思問題解決過程,揭示所用思想方法,思考如何改進、優化、拓展自己的思維,提出新問題．

(6)命題習得

借鑒文獻[7]關于數學命題教學的三種模式,設置如下學生習得數學命題的分圖4．

圖4 學生習得數學命題

對于引入命題,課本通常采用三種模式:①發生型模式．構造問題情境,將問題開放化、特殊化,或進行變式,讓學生感知、體驗、概括、抽象,從而歸納出命題．②結果型模式．直接給出命題．③問題解決模式．創設問題情境,通過問題的解決產生數學命題．其實,課本關于向量基本定理的引入,是發生型和問題解決模式綜合應用的結合．圖4中的后面兩個環節,將在后續學習中加以研究．對于命題,學生應著力訓練這三種模式下的自學能力．

·概念的學習

課本在介紹了向量基本定理之后,直接引入了基的概念:給定平面上的一組向量,如果平面上的任意向量都可以唯一表示為這組向量的線性組合,那么稱這組向量是平面向量的一個基．由此可知,向量基本定理是基的概念的上位知識．要理解基的概念,應結合向量基本定理．由向量基本定理和基的概念依次可知:一組向量不平行?任意向量都可以唯一表示為這組向量的線性組合?這組向量稱為一個基(*)．于是,課本直接給出了向量基本定理的另一種表述:平面上任意兩個不平行的向量都組成平面向量的一個基．這是基的概念的下位知識．不難得出,(*)中推出符號連接的三個命題等價．因而,基的概念應該也可表述為:若平面上一組向量不平行,那么稱這組向量是平面向量的一個基．而課本為什么不這樣定義呢?事實上,課本的定義更能突出“基”的內涵:所有向量都可由這兩個向量表示,這兩個向量便成了所有向量的根基．根據上述認知得:平面向量的基是兩個不平行的向量,即可以唯一線性表達平面內任一向量的兩個向量．基不唯一,有無數個．以上對基與基本定理作出了兩種不同的表述,形成了概念、定理域(系),這一多角度揭示有助于深入理解．

借鑒數學概念教學的三種模式,設置如下學生習得數學概念的分圖5．

圖5 學生習得數學概念

對于引入概念,課本通常采用三種模式:①概念形成模式．通過具體例子進行分析、概括抽象而得出概念．②概念同化模式．利用所學概念的上位、下位或并列關系為新概念的引入作鋪墊,仔細辨認新概念與學過的相關概念之間的異同,剖析概念結構,揭示概念內涵,明辨概念外延,充分利用已有概念同化新概念．③問題引申模式．創設問題情境,通過問題的解決引入概念．不難看到,基的定義的引入,利用了概念同化模式．隨著學習的推進,還要進一步做好對概念的理解、強化、應用、形成概念域等工作,方可習得概念．對于概念,學生應著力訓練這三種模式下的自學能力．

·例題與練習的學習

在討論概念和命題之后,課本常會設置關于概念與命題的正誤辨析、應用問題、相關技能和方法的訓練,即落實圖4和圖5中位于后面的環節．

比如,設e1,e2是不平行的兩個向量,找出①e1與e1+e2,②e1-2e2與e2+2e1,③e1-2e2與2e1-4e2,④e1+e2與e1-e2中不能作為平面內的一組基.通過練習,加深學生對“不平行的向量才能為基”的印象,豐富向量基本定理和基的概念的正反例證．

通過應用,也可深化學生對概念和命題的認識,有助于在紛繁復雜的問題中辨認、調動相關的概念和命題,促成問題的解[3]75-79．

圖6

用基的思想處理向量問題時,把一個向量表示成基的線性組合是必備的前提,需要形成一定的技能．課本安排的練習中共有3道練習題,都設置了這方面的問題,以便讓學生進行一定強度的訓練．

圖7 習得基本技能

·筆記與反思

做學習筆記是一種良好的治學習慣,它迫使學習者對學習內容進行梳理概括,形成系統,分清主次,揭示要點．完成這些工作需要采用復述、精加工、組織等認知策略,因而可增強學生的認知能力．筆記內容通常由概念、命題、例題、技能技巧、思想方法等組成,并使之形成有內在聯系的系統,還要記錄概念、命題、例題的注解,自己獨到的見解,注意點等,用一些符號、彩色筆等強調重要的內容．同時,考慮圖4和圖5中位于最后環節的探討．

反思時,要檢查有沒有完成學習目標,回顧學習中哪些學習方式方法是成功的、哪些要改進,不斷總結自學的經驗教訓,提高學習中的元認知能力．

5 自學導圖

由以上探究,歸納梳理出如圖8所示的自學導圖．

圖8 自學導圖

盡管每次自學只有一節課的容量,但涵蓋了中學數學的概念、命題、應用及伴隨的“四基”“四能”等核心要素．同時,自學活動涉及到學習心理學的眾多理論,這些理論對自學活動起著重要的指導作用．導圖開頭,突出了自學是自我調控的學習,要求自學者時刻把控整個學習的進程與行為．導圖后續,遵循了溫內和哈德溫的學習過程模型,給出了自學的程序、目標與任務,使自學具有計劃性和條理性,易于激發學生從宏觀到微觀的學習動機,提升自學效率和自學效果．習得學習內容,需多次循環往復．據此,導圖很多環節間有雙向連接．四個分圖是導圖中精讀鉆研環節的細化,提供了怎樣去認知課本內容的程序與策略,隸屬于自學導圖．培養自學能力的核心有兩個:一是對自學過程的合理把控;二是科學的認知策略．

6 教學建議

6.1 循序漸進

由導圖可知,自學其實是較復雜的程序性知識的學習．可以按照安得森的ACT模型三階段理論展開自學活動．剛開始時,教師先向學生介紹自學導圖并進行自學示范,使學生有一個初步的認識．然后,選擇較易自學的課本內容讓學生進行自學,使其獲得感悟和體驗,熟悉自學流程,再逐漸加大自學內容的難度,著力培養認知能力．建議學生將自學導圖及其分圖和數學課本放在一起,把其當成“座右銘”,常研讀、勤實踐,與自己的自學行為習慣多對照、促改進．逐步進入第二階段,不用導圖也可自如地進行自學活動．課本劃分的適合一節課的學習內容五花八門,導圖所給的只是比較典型的情形．比如,解三角形在測量中的應用,教材只介紹了兩個例題．又如概率初步第一課時,只介紹了一系列概念,無定理與例題,這就需要進行泛化和辨別的訓練,來達到第三階段的要求．以后可擴大到不止一個課時內容的自學,到了長假,還可試著進行一個單元的自學,逐步實現教會學生學習的教學理想．

6.2 持之以恒

數學自學是一項復雜的工作,學生學會自學貴在堅持,非一日之功,教師應該常抓不懈,讓學生的自學行為形成常態,日積月累,不斷豐富并加以完善,逐步形成良好的自學能力．

6.3 三者協同

指導、反饋、交流,是自學教學過程中的三個 重要方面．教師是學生自學的導師,要承擔起學生自學的組織、指導、評價工作,這樣才能保證自學活動有序、合理、高效地展開．教師要關注學生的自學行為,了解學生自學狀況,以便取得及時的反饋,給予學生恰到好處的評價、指導、糾正．教師要組織學生交流自學經驗與方法,相互比較、相互借鑒、相互啟發、相互激勵,因為同學間的交流最易產生共鳴與啟示．

6.4 適時運用

在日常的教學過程中,教師應當始終樹立學生自主學習的理念,能讓學生自己做的,教師不要替代,充分發揮學生學習的主觀能動性．但是,考慮到教學的效率和效益,學生的自學也不可完全代替教師的教學,應該在合適的時機選用,以能取得最佳教學效果與效益為準繩來決定選取合適的教學方式．只有這樣,學生的自學才有意義．