基于單元整體觀視角的高中圓錐曲線概念教學
——以“雙曲線的簡單幾何性質”為例

邢富根 (江蘇省南京市高淳區淳輝高級中學 211300)

1 問題提出

對于高中解析幾何內容的教與學,很多師生都有類似的感觸:理解難、計算繁．以圓錐曲線性質為背景的題目也是高考熱點之一,學生在解題思路的尋找、解題方法探尋、數學工具的靈活應用上能力不足．反觀教學環境,教師在教學活動過程中往往以“知識簡單呈現→例題精講技法→練習變換鞏固”的結構為主,課堂教學中過度注重例題解題技巧的傳授與挖掘,忽視概念的文化背景、生成邏輯與數學理解．在這種大容量、快節奏的“填鴨式”課堂里,學生缺乏對解析幾何數學思想與方法論統一性的沉淀;同時學生也缺少時間去思考問題、發表觀點,這也扼殺了學生的創新能力,顯然違背課標精神．

概念是思維的細胞．數學的學習離不開推理,離不開判斷,而判斷是以概念為基礎的[1]．實施有效的概念教學,就要搞清楚概念的“來龍去脈”,形成體系化的大概念認知結構,這也是一切數學活動的基礎．圓錐曲線教學中,應該在整體觀視角下加強概念教學,把認識曲線的基本套路作為核心目標之一;指導學生通過數學活動,抽象、概括,漸進式地提升認知水平;利用概念的辨析、細化過程,完成數學知識的系統化與結構化．

2 圓錐曲線的本質特點

2.1 解析幾何的學科特點

笛卡爾創立解析幾何的原動力是基于數學內部,出于對數學方法普遍性、統一性的追求,以完成“任何問題→數學問題→代數問題→方程求解”的論證．因此,教師在教學中要把“解析幾何是一種方法論”作為教學的核心定位[2]．用數形結合的思想研究幾何曲線問題,應貫徹“幾何呈現,代數論證”的策略．對每一種曲線的研究,都要基于圖形直觀與概念抽象相結合．解析幾何研究的一般套路可以遵循:背景→概念→方程→性質→應用,注重用坐標法與方程研究幾何問題的規范．

2.2 圓錐曲線的單元理解與教學建議

《普通高中數學課程標準(2017年版)》將圓錐曲線的內容要求確定為:(1)了解圓錐曲線的實際背景,感受其在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用;(2)經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握其定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質;(3)了解雙曲線和拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質;(4)了解橢圓、拋物線的簡單運用,通過學習進一步體會數形結合的思想[3-4]．

圓錐曲線在新課標與新教材中體現的改革思路總體上看是以“精簡”為主基調,各版本教材在內容選擇上重點圍繞圓錐曲線的核心概念,以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質及應用為重點,做到“削支強干”;在結構體系上,用類比、同化等手法強調知識發生發展的邏輯合理性,并加強背景和應用;思想方法上,緊扣“幾何呈現,代數論證”的普遍性與統一性原則,重視數形結合的滲透與理解(表1)．

表1 圓錐曲線單元知識建構

在圓錐曲線學習的活動中,知識的內在統一性是一條明線,用代數的方法研究幾何,深刻認識數與形的辯證統一是一條暗線．因此,圓錐曲線的教學中要體現單元設計的思想,要以聯系的觀念,從整體觀的視角認識學科知識,落實課標要求,保證教學活動的有效開展．

3 《雙曲線的簡單幾何性質》的教學設計

3.1 內容解析

人教版A版普通高中教科書數學(2019版)教材編排上從橢圓的性質類比開始,由標準方程研究其幾何性質,指導探尋雙曲線與橢圓性質結構的共性與差異,其中雙曲線的漸近線是本節課的教學難點．通過深入研究雙曲線,能靈活運用雙曲線的定義、方程、性質,形成穩定的解題基礎,更能使學生理解、體會解析幾何這門學科的研究方法,培養學生的解析幾何觀念,提高學生數學學科核心素養．

3.2 目標解析

教學目標:(1)了解雙曲線的簡單幾何性質,如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等．(2)再次感受運用方程研究雙曲線幾何性質的思想方法．(3)能用雙曲線的方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．

3.3 教學問題診斷分析

建構主義學習理論認為學生是知識意義的主動構建者,教師是教學過程的組織者、指導者,意義構建的幫助者、促進者．教師要站在“理解數學,理解學生,理解教學”的高度設計好教學過程,在教學設計中要發揮“先行組織者”的作用,類比橢圓內容學習探索的方法工具,通過聯系與歸納創設理解情境,讓教材成為學生主動構建意義的對象．

問題1 比較雙曲線與橢圓的性質:范圍、對稱性、頂點、離心率屬于同類范疇．

其研究手段與方法具有一致性,可利用幾何圖形進行觀察、歸納,綜合曲線方程的代數運算刻畫規律．本項目建立在橢圓的經驗學習之上,學生通過主動探索與合作交流,可以獨立完成目標學習．

問題2 雙曲線漸近線的學習．

在利用類比的方法研究了雙曲線一些幾何特征之后,開始研究雙曲線的特殊性質——漸近線．教學上,漸近線的學習過程包含:(1)漸近線的發現;(2)漸近線的方程;(3)漸近線的論證．其研究方法與其他性質無異,但發現、理解、論證的深度更大,更抽象,教師需要在學生的最近發展區設置精準問題,把已有知識經驗作為新知識的生長點,引導學生通過實驗、獨立探究、合作學習等方式完成學習目標,并培養學生批判性的認知加工策略．

基于以上分析,本節課的教學難點是雙曲線漸近線的概念建構．

3.4 問題串設計(片段)

本節課概念教學過程有兩條主線構成.

主線1:研究對象的抽象過程

橢圓的性質→雙曲線的常規性質→雙曲線的漸近線→實際問題

主線2:雙曲線性質的研究過程(圓錐曲線的基本思想:坐標法、數形結合)

雙曲線方程→雙曲線性質圖象呈現→圖象與方程的聯系→雙曲線性質代數論證→概念生成

通過主線1達成教學目標(1)(3);通過主線2達成教學目標(2)(3)．教學過程設計中,要破除“知識點教學”的陋習,體現單元教學整體設計的思想,把握整體性的知識結構,通過創設教學情境,設計系列化的數學活動,提出合適的問題(或者問題串)推進學生主動學習．

(2)如何研究這些性質?請各小組討論分析,嘗試描述相應性質．

師生活動 學生回答問題1(1):結合雙曲線圖象,類比橢圓性質的學習過程,認為雙曲線應該有范圍、對稱性、頂點、離心率等性質．

學生回答問題1(2):可結合圖象(類比橢圓圖象)得出雙曲線的各種性質,建立表格,形成對比．

追問1 由圖形觀察得到的性質存在不可靠性,必須要有嚴謹的論證才可以當作結論,如何完成論證呢?

類比橢圓,通過問題引導讓學生關注性質呈現的方法邏輯,讓學生把關注點落在曲線方程上．

追問2 總結橢圓與雙曲線性質的相同點與不同點．

設計意圖選用支架式教學,通過問題引導,用圓錐曲線學習與研究的大框架引領雙曲線幾何性質的學習,這是本節課的研究思路．以思想方法引領,讓主線2貫穿始終．通過協作學習、比較分析,在共享集體思維成果的基礎上,達到對幾何性質的全面了解,完成數學知識的意義建構．同時,像這種單元內并列式的知識教學對思想方法的理解層次要有螺旋上升,用以發展數學學科素養．

問題2類比橢圓我們發現,橢圓的長短軸可以有效控制橢圓的形狀,橢圓的離心率也是控制橢圓形狀的量,緣于a,b,c,e之間存在數量關系．雙曲線的實軸、虛軸與離心率之間同樣存在數量關系,離心率同樣是反應雙曲線形狀的量,那a,b如何影響雙曲線的形狀呢?你又如何論證?

師生活動 (1)學生思考,小組討論．

(2)教師引導:解析幾何解決問題的方法與手段存在普遍性與統一性,即通過圖形觀察發現特征,通過曲線方程完成論證．我們緊扣這一點,先來觀察以下圖象,嘗試尋找結論．

圖1

追問1 觀察圖象,聯系實軸與虛軸、雙曲線的形狀、離心率e,請問它們三者存在關聯嗎?

圖2 圖3

生4:以上操作可進行優化,根據相似三角形,把垂直距離優化為豎直距離,距離函數可更加簡潔．其中設M(x,y)為雙曲線在第一象限的點,作MN垂直于x軸,與漸近線相交于點P(圖3)．

追問4 漸近線的學習與其他性質的學習,方法上是否具有一致性?

學生概括總結,形成結論,升華為解決問題的統一性方法．

設計意圖選用拋錨式教學,教師通過創設情境,引導學生在各個特征量的數量關系中找到邏輯關聯,提出問題．教師在整個問題2的指導過程中,圍繞有關線索與證據設問,培養學生的自學能力,整個課堂教學的過程就是學生探索方法、解決問題的過程．

雙曲線的漸近線概念教學也可看作是在雙曲線范圍概念上的外延,生1回答的視角,是在“漸近線”與“范圍”之間建立起遞進的邏輯關系,其所用的極限思想同時也是論證“漸進”的思想方法,使前后具有一致性(圖4)．

圖4

極限思想、數形結合是高中數學教學中常見的思想方法,概念之間也有關聯性．關聯1:后一課時的拋物線是橢圓與雙曲線在一定約束條件下無限演變后的一種極限形態．關聯2:下一章節是導數內容,極限是導數概念生成的數學思想．

4 結束語

通過對“雙曲線的簡單幾何性質”的教學設計我們可以發現:(1)教學活動要基于整體性的視角,加強“先行組織者”的應用,以邏輯連貫、環環相扣的“問題串”為腳手架,設計系列化的數學活動,以提高學生的學習主動性[2]．(2)“幾何呈現,代數論證”是本節課的方法論,也是研究圓錐曲線的方法論,單元與課時之間存在統一性．(3)概念教學要利用新舊知識之間的不同關系,選擇不同的學習方式,創造相應的同化與順應機會．

基于單元整體觀視角的高中圓錐曲線概念教學是實現有效概念教學、透徹理解數學的重要方法,也符合認識論和認知心理學的基本觀點．暗線中內涵的數學思想和方法,是數學學習的靈魂,是知識建構與問題解決的關鍵．