例論常規(guī)方法受阻時(shí)的解題教學(xué)*

孔祥武 (江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

羅海兵 (江蘇省淮安市淮陰區(qū)教師發(fā)展中心 223399)

1 問(wèn)題的提出

章建躍博士認(rèn)為:注重通性通法才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)[1]．淡化技巧﹑注重通性通法也早已成為教師們的共識(shí)．然而,就算知道并熟悉了這些常規(guī)的通性通法,當(dāng)碰到一些非典型問(wèn)題時(shí),解題者依然會(huì)捉襟見(jiàn)肘．有些看上去挺正常的題目,做起來(lái)卻不是那么回事,或是因?yàn)閺?fù)雜的運(yùn)算而畏葸不前,或是因?yàn)槌Ｒ?guī)方法不具可操作性而難以為繼,這時(shí)解題者常常陷入進(jìn)退兩難的尷尬境地．當(dāng)常規(guī)方法受阻時(shí),解題者如何在常規(guī)方法和變換方法的糾結(jié)中突圍?同時(shí),倘若常規(guī)方法失效了,我們被迫選擇了非常規(guī)方法,有些教師不知不覺(jué)中又把解題教學(xué)搞成了“題型+技巧”的展示,淡化了通性通法,突顯了特殊技巧．加之2022年新高考Ⅰ卷整體難度頗大,現(xiàn)在各校高三教學(xué)隨之普遍加大了難度,變化多端的技巧讓學(xué)生無(wú)所適從,作為解題指導(dǎo)者的我們?cè)撊绾纹凭?

2 常用教學(xué)形式

講題容易破局難,成敗關(guān)鍵在教研．筆者以為碰到常規(guī)方法受阻的問(wèn)題,一定要加強(qiáng)研究．只有建立在自己深入研究的基礎(chǔ)上,才能更好地指導(dǎo)學(xué)生解題．研究有了深度,課堂才有力度,教學(xué)才有效度．筆者經(jīng)常基于這些非常規(guī)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生從以下四個(gè)維度展開學(xué)習(xí),現(xiàn)擷取一例以說(shuō)明問(wèn)題．

(1)求圓D的方程．

①若圓D關(guān)于直線l1對(duì)稱,求n的值;

②若m>0,n>0,求證:mn+m-n為常數(shù)．

前面的思路自然清晰,但運(yùn)算過(guò)程讓人望而生畏,解題陷入窘境,常規(guī)方法似乎失效了,怎么辦?

2.1 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)求變,另辟蹊徑

解題受阻時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)換一個(gè)視角看問(wèn)題．正因?yàn)榍蠼稽c(diǎn)復(fù)雜,代入后繁上加繁,我們可不可以另辟蹊徑轉(zhuǎn)而設(shè)出這個(gè)交點(diǎn)呢?

正所謂退一步海闊天空,窮則思變,換一個(gè)角度,調(diào)整思維的觸角,通過(guò)主動(dòng)求變來(lái)突破．解題教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“及時(shí)止損”,勇敢地放棄原來(lái)的想法,或許會(huì)“柳暗花明又一村”．

2.2 引導(dǎo)學(xué)生知難而進(jìn),調(diào)整優(yōu)化

常規(guī)方法真的無(wú)效嗎?有時(shí)可行與不可行也是相對(duì)的,因人而異的．解題者囿于自身水平,倘若實(shí)在想不出其他有效方法,也可以選擇不忘初心,迎難而上．解題教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)審視自己原來(lái)的常規(guī)思路,進(jìn)行調(diào)整優(yōu)化．沿續(xù)最初的解法,我們選擇硬算解之,“明知山有虎,偏向虎山行”．初步嘗試后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)項(xiàng)比較多,式比較亂．在學(xué)生經(jīng)歷“苦楚”之后,筆者適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生以m為主元進(jìn)行整理,整理成m的二次方程后再觀察,得到如下解法．

但這種方法需要強(qiáng)大的“運(yùn)算修為”作支撐,同時(shí)要運(yùn)用因式分解技巧,因此曲高和寡,很少有人能“修成正果”．

2.3 引導(dǎo)學(xué)生尋根究底,追本溯源

多一些想,方能少一點(diǎn)算．學(xué)生都十分驚嘆,為解法的簡(jiǎn)潔美所折服．像這樣沿著命題者的足跡,居高臨下,往往會(huì)產(chǎn)生優(yōu)美的解法．

2.4 引導(dǎo)學(xué)生躬身自省,解題反思

題不僅要會(huì)解,更要會(huì)“品”．引導(dǎo)學(xué)生解題后反思也是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié),可以幫助學(xué)生把理念升華．教師大致可以引導(dǎo)學(xué)生從以下角度再回顧:反思有無(wú)其他解法——拓展思維多樣性;反思有無(wú)疏漏之處——確保思維嚴(yán)密性;反思提煉活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)——形成方法遷移性;反思策略是否合理——提升解題實(shí)戰(zhàn)性．筆者在引導(dǎo)學(xué)生反思該例題的時(shí)候,總覺(jué)得“不淋漓盡致,不痛快”．解法2的解答過(guò)程總覺(jué)得過(guò)于驚心動(dòng)魄,其中因式分解提取公因子3m+1和3n+1在解題中具有很大的不確定性,這就使得這種方法缺少很好的適用性．難道這一因式分解過(guò)程就不能從其他角度發(fā)現(xiàn)端倪嗎?筆者順勢(shì)把問(wèn)題拋給了學(xué)生．

每一個(gè)解題的人都有自己的經(jīng)驗(yàn),可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出若干條有用的要訣．教學(xué)中教師要善于引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題反思,提煉活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).比如,就本題學(xué)生提煉出如下解題啟示:做解析幾何題要注意數(shù)形結(jié)合思想;解交點(diǎn)困難時(shí)可以設(shè)交點(diǎn);對(duì)于凌亂的式子,要選擇一個(gè)主元進(jìn)行整理;遇到復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式要注意因式分解技巧．這樣的解題心法與經(jīng)典例題相結(jié)合,有血有肉,使解題方法更有生命力,有助于實(shí)現(xiàn)方法遷移．

3 幾點(diǎn)教學(xué)啟示

3.1 要重視非常規(guī)問(wèn)題挖掘——忌淺嘗輒止

常規(guī)方法受阻了,恰恰說(shuō)明我們碰到的問(wèn)題非典型、不一般,教師要深入研究,往往能積極促成自己更新解題觀念,拓寬解題思路,彌補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)不足．同時(shí)筆者認(rèn)為“常規(guī)”與“非常規(guī)”具有相對(duì)性和階段性．現(xiàn)在的“非常規(guī)”問(wèn)題隨著研究的深入或是將來(lái)的“常規(guī)”問(wèn)題．高考題中必然會(huì)有一定比例的“非常規(guī)”試題,以更好地實(shí)現(xiàn)甄別和選拔功能．就像f(x)=x·ex與g(x)=lnx·x相類似的同構(gòu)技巧,剛開始出現(xiàn)時(shí),大家往往驚嘆于它的神奇,覺(jué)得“非常規(guī)”,但隨著高考題推波助瀾,逐漸引起大家關(guān)注,如今大家都已見(jiàn)怪不怪,覺(jué)得很“常規(guī)”了,所以我們的解題研究和教學(xué)要有前瞻性．比如解法2中提及的因式分解和主元整理技巧,看上去技巧性過(guò)強(qiáng),有些“非常規(guī)”,卻與2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷的第22題有異曲同工之妙;解法3中用斜率來(lái)表示角的思想與2021年八省適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)卷第21題如出一轍．因此,我們平常碰到常規(guī)方法失效的問(wèn)題時(shí),一定不能簡(jiǎn)單冠以“非常規(guī)”的帽子,淺嘗輒止．這些問(wèn)題的出現(xiàn)恰恰是提升我們解題能力的重要契機(jī),也許不經(jīng)意間會(huì)與高考題來(lái)一場(chǎng)美麗的“邂逅”．

3.2 不要輕易否定常規(guī)方法——忌劍走偏鋒

碰到常規(guī)方法受阻的問(wèn)題,我們也不能輕易否定常規(guī)方法．常規(guī)方法暫時(shí)失效,不代表真的無(wú)效．常規(guī)方法通常有著廣泛的“群眾基礎(chǔ)”,具有普適性,脫離了常規(guī)方法玩技巧,容易劍走偏鋒,未必能達(dá)到好的教學(xué)效果．常規(guī)方法也屬于通性通法．堅(jiān)持通性通法,不僅能經(jīng)常回顧和復(fù)習(xí)基本知識(shí)﹑基本方法和基本技能,而且能以“不變”的思考方式來(lái)應(yīng)對(duì)“萬(wàn)變”的數(shù)學(xué)問(wèn)題[2]．解題教學(xué)中碰到常規(guī)方法不能解決的問(wèn)題時(shí),若能想出不同于常規(guī)方法的解法,同時(shí)又能基于常規(guī)方法作改進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生從失敗走向成功,這樣的教學(xué)往往更能直擊學(xué)生要害,更具說(shuō)服力,能引起學(xué)生認(rèn)同．

3.3 要暴露思維調(diào)控的過(guò)程——忌包辦代替

非常規(guī)性問(wèn)題的解題教學(xué)活動(dòng)中教師要注意暴露自己的思維調(diào)控過(guò)程,向?qū)W生展示預(yù)判﹑調(diào)整﹑抉擇的真實(shí)過(guò)程,給他們示范自己是如何從失敗走向成功的．只有真實(shí)的解題教學(xué),才會(huì)使學(xué)生受到啟迪,引導(dǎo)他們正視困難、面對(duì)挫折,從解題模仿到解題創(chuàng)造．哪怕常規(guī)方法最終被確定是無(wú)效的,教師也切忌包辦代替,直接把自己成功的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論告訴學(xué)生,因?yàn)椴唤?jīng)歷挫折的經(jīng)驗(yàn)“來(lái)也匆匆,去也匆匆”．讓學(xué)生經(jīng)歷其中,才更容易幫他們理解﹑接受和形成遷移．

常規(guī)問(wèn)題,要做到熟練化,熟是純熟自如,化是出神入化,不熟不化,更要多練,待到后來(lái),自然熟能生巧,變化無(wú)窮．由此看來(lái),常規(guī)方法如能嫻熟運(yùn)用也很有威力．碰到常規(guī)方法受阻的問(wèn)題,思考時(shí)要堅(jiān)持先常規(guī)方法后非常規(guī)方法,教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持通性通法為主,巧解妙招為輔,這樣的教學(xué)才能既扎實(shí)又靈動(dòng),讓不同層次的學(xué)生各有所得．