等軸雙曲線的一個優美性質
——從一道高三模擬試題談起

魏國兵 (江蘇省南京市溧水區教育局教學研究室 211200)

王芬芬 (江蘇省溧水高級中學 211200)

1 試題呈現

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設雙曲線C的左頂點為A,直線l2平行于l1,且交雙曲線C于M,N兩點,求證:△AMN的垂心在雙曲線C上．

2 解法探究

又因為AH⊥MN,所以H為△AMN的垂心．因為H在雙曲線C上,所以△AMN的垂心在雙曲線C上．

3 問題溯源

本題第(2)題的背景是等軸雙曲線的一個優美性質:設A,B,C是等軸雙曲線E上的三個點,則△ABC的垂心H也在雙曲線E上．為了給出這個性質的初等證明,先證明兩個常用的結論:

證明AB,CD斜率不存在的情形顯然成立.

若A,B,C,D四點共圓,即曲線系方程為圓方程,則必有k1+k2=0．

綜上,結論1成立．

說明此結論對于橢圓及拋物線都是成立的．

證明 設A(x1,y1),C(x2,y2),則B的坐標為(-x1,-y1),所以

說明橢圓也有類似的性質．

下面給出等軸雙曲線優美性質的證明．

由A′,B,C,D四點共圓,根據結論1有kA′C+kBD=0,再由結論2有kA′CkAC=1,故kACkBD= -1,即AC⊥BD．從而D為△ABC的垂心,即△ABC的垂心在雙曲線E上．

說明此證明中沒有考慮斜率不存在的情形(顯然成立)．另外還可將等軸雙曲線進行旋轉變換,轉化成反比例函數來證明,但對于高中學生而言不太合適[1]．本文先利用曲線系方程證明了雙曲線上四點共圓的充要條件及一個常用結論,然后構圖進行證明,方法巧妙簡潔．

4 命題反思

此道試題由筆者命制并提供,全市的平均得分為4分左右,特別是第(2)題有較好的區分度．問題較為新穎,且有一定的思維量,考查學生的基礎知識與基本技能,體現了解析幾何的基本思想,教師們對該題的評價較高．

筆者命題時就以等軸雙曲線的這條優美性質為來源,采用特殊化的思想進行改編．考慮到高中學生不適合直接證明此性質(常規方法運算量非常大),因此將三個點固定一個(雙曲線頂點A),讓M,N為動點(即一條動直線),但此時的運算量依舊很大,作為考題還是不適合,所以考慮讓動直線MN定方向或過定點．權衡之后,最終確定讓直線MN定方向(斜率不變),因為此時△AMN的一條高所在直線方程就確定了,可以求出它與雙曲線的交點,問題化歸為只要證明此交點為垂心即可．

從學生答題情況來看,大多數學生試圖求出兩條高的交點,但運算非常復雜、參數多,最后基本上都做不下去．只有部分學生能夠變換思維方式:求一條高與雙曲線的交點,證明此交點即為垂心,從而順利解決問題．