自組織視域下的“回想-聯想-猜想-反思”教學模式初探
——以2022年新高考Ⅰ卷第17題為例*

郭建華 (江蘇省南京市金陵中學 210005)

蔡 欣 (江蘇省南京市中華中學 210019)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》非常重視學生自主學習的能力,這恰恰體現了教學本源的回歸和自組織學習狀態的重要性．后現代課程的自組織教學模式為我們提供了一個開放的、師生平等對話的從被組織(該組織只有在外界干預下才能進行演化．它的組織化不是自身的自發、自主的過程,而是在外部驅動下的組織過程或結果[1])向自組織(如果一個系統在獲得空間的、時間的或功能的結構過程中,沒有外界的特定干涉,我們便說該體系是自組織的．這里“特定”一詞是指那種結構或功能并非外界強加給體系的,而且外界是以非特定的方式作用于體系的[1])轉變的教學過程．將自組織理論應用于數學教學活動中,將會不斷促進和深化數學教學改革．在教學活動中,要不斷探索和創新教學模式,不僅重視如何教,更要重視如何學,將數學學科核心素養貫穿于教學活動的全過程．

1 自組織視域下的教學過程

教學過程的自組織是指在教師的引導下,學生的知識、技能和方法等參量之間進行相互協同和競爭,當學生的大腦進入從無序到有序的臨界狀態時,導致只有少數參量支配學生的認知系統,最終實現認知從無序變為有序,達到“教是為了不教”的目的[2]．

一般認為,構成教學過程的要素包括學生、教師、教材和環境等．其中教材是教學的客體,學生是教學的主體,而教師起主導作用,它們之間是多方向的、連續的協同作用．基于自組織理論的廣泛適用性,特別是心理學家在腦、行為和認知方面研究的成功范例,將自組織理論應用于教學系統,實現了教學過程從被組織到自組織的轉變,進一步深化新一輪課程改革．

教學的功能是由其結構決定的,要充分發揮數學課堂教學的育人功能,就必須對課堂教學系統進行優化組合,使教學各要素之間相互協作、相互促進,使其發揮出“整體大于部分之和”的整體效益,為探究有益的教學模式帶來很多啟示．

2 自組織視域下的“四想”教學模式

2.1 模式的認識

“回想-聯想-猜想-反思”(簡稱“四想”)教學模式是指圍繞某個具體的數學問題,開展自主探究、合作交流,讓學生在“四想”教學模式實踐中解決問題．“四想”教學模式是以自組織理論為理論基礎,在教師的引導和啟發下,讓學生自己發現和提出問題,實現真實的交流,在開放的教學過程中讓學生的思維處于非平衡態,敢于質疑和批判,在原有認知的基礎上發生協同或競爭,使得學生的認知結構得到“充實和變革”,形成自組織,實現自我建構．

2.2 模式的操作

“四想”教學模式的基本程序是:創設情境(回想)—分析研究(聯想)—猜測歸納(猜想)—操作驗證(反思)—反饋評析(評價),其教學流程如圖1所示．

圖1 “四想”教學模式流程圖

教學過程中一定要發揮教師、學生、教材和環境的多向性協同作用,注重“四基”的落實和“四能”的培養,培育學生的探究精神和創新意識,促進數學核心素養的達成．現對圖1作如下說明:

(1)情境的設置是教學過程轉變的基本因素

圍繞本質的概念、原理和解決問題的思維方式來創設教學情境,問題的設計要具有開放性和多樣性,為學生提供解決問題的機會．引導學生“回想”,從而建立新舊知識的關聯．它是教學過程轉變的基本因素．

(2)教師的引導是教學過程轉變的重要因素

在交流互動、方法構建、總結提升等環節中,教師的角色要從“講深講透”式向“畫龍點睛”式轉變,為學生提供“反思”和“體悟”的“時空”;學生的學習要從“被動接受”式向“主動獲取”式轉變．教會學生學會學習,實現教學方式的根本變革．因此,教師是把教學從他組織轉變為自組織的重要因素．

(3)方法的出現是教學過程轉變的決定因素

方法是數學教學自組織過程演化的靈魂.根據協同學理論和林崇德“教育與發展”的教學實驗,邢紅軍等人提出:教學過程的序參量就是方法[2]．學生是否掌握了科學的思想和方法,直接影響教學效果的好壞．

在教學過程中,只有通過相互協同作用的學生,用科學的方法將所學的知識進行網絡化、系統化,才能不斷吸納新的信息并完善自己的認知結構,從而實現教學過程從被組織向自組織轉變．在“四想”教學模式的教學實踐中,注重教會學生研究問題的一般方法,即從一般到特殊的演繹推理(回想),再從特殊到一般的合情推理(聯想和猜想),讓演繹推理和合情推理相互協同,交織進行,把不同的知識結構轉化為學生頭腦中的認知結構(反思)．充分利用一般化與特殊化之間的辯證關系進行教學,使得教學過程遠離平衡態,讓學生自由靈活地思考、探究、交流,使學生的知識、技能在相互作用下發生“協同”或“競爭”．當學生的知識體系從無序到達有序的臨界狀態時,通過隨機漲落現象(比如:鼓勵學生大膽猜測和提出問題,師生、生生進行思想的交流和辯論,產生認同的理論知識與價值、態度取向等),學生創造性地、頓悟式地接受知識、掌握技能和領悟方法,實現其認知從無序走向有序,真正實現學習方式的變革．

教學系統具有明顯的自組織特性．將自組織理論作為我們研究教學規律的理論基礎,既符合教育科學的規律,又符合我國基礎教育新一輪課程改革所面臨的挑戰,更有助于從一個新的視角來研究教與學的內部機制,為教學帶來更多有益的啟示(圖2)．具體說明如下．

圖2 教學系統的自組織過程

要實現教學過程自組織轉變,它需要滿足以下條件:首先,要滿足開放的教學環境,發揮學生的主觀能動性,主動發現和提出問題、分析和解決問題;其次,教學過程應遠離平衡態,使學生原來的認知狀態被遠離平衡態的刺激所打破,發生“協同”或更深刻的“競爭”過程,使認知結構得到充實或變革,達到新的水平和新的平衡;再次,促進教學過程非線性相互作用的發展(協同學理論指出,只有在系統內各要素之間存在著非線性相互作用的情況下,才能形成自組織結構[3]);最后,利用漲落實現教學過程從被組織向自組織轉變,通過師生、生生的對話,在思維的交流和碰撞中激起共鳴,進而實現“漲落導致有序”．

基于自組織理論,我們對教學過程有了一個更全面、科學的認識,使得數學教學建立在更加科學的基礎之上,更有利于提升學生的數學素養,引導學生會用數學眼光觀察世界,會用數學思維思考世界,會用數學語言表達世界．

3 教學案例

教學是教師與學生的雙邊活動．要實現教學過程從被組織向自組織轉變,課堂必須以發展學生的數學核心素養為根本出發點和歸宿點,轉變學生傳統的學習方式,讓學生學會合作與探究、交流與反思,在掌握科學的思想和方法的前提下學會應用與創新．

下面以“2022年新高考Ⅰ卷第17題”的教學實踐與同行交流．

3.1 真題再現

(1)求{an}的通項公式;

本題主要考查數列通項公式的求法,并結合“裂項相消法”證明不等式．體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養,實現了對“四基”和“四能”的考查．由于數列{an}的通項公式求法的切入點較多,學生付出的時間成本也不盡相同,這為本題帶來探究的價值．

3.2 思路探究

正確求解數列{an}的通項公式是解決本題的關鍵,下面針對第(1)問作如下探究．

環節1合理設計關聯問題,善于回想

回想其實就是進行從特殊到一般的演繹推理,把一般的定義、原理和方法用于解決具體的問題．

為學生創造自由民主的課堂學習氛圍,鼓勵學生自己發現問題和提出問題．

繼續讓學生思考:是否還存在其他的變形形式?通過問題引發思維出現漲落,再通過非線性相干和連鎖效應將其迅速放大,導致學習系統發生突變,形成新的有序結構,于是產生如下解題思路．

環節2分析研究對象結構,類比聯想

聯想其實就是從特殊到特殊的一種類比推理,它是探索解題途徑的一種方法．

在教師引導下,分析主導解題演化方向的關鍵因素,讓學生在解題中類比聯想,轉換思維,探索解題新途徑,推動學習系統達到“臨界值”,學生的思維才會出現“協同”或“競爭”,實現自組織學習．同時,也將進一步完善已有的認知體系,從而形成更加穩固的新認知結構．

根據自組織理論,直覺思維是一種非線性思維(用猜測、跳躍的方式,直接迅速找到解決問題的方案)．為了促進教學過程的自組織轉變,必須重視發展學生的直覺思維,于是產生如下解題思路．

環節3調動已有知識經驗,大膽猜想

猜想1:an-an-1=n．

其正確性還要通過嚴格的證明來確認.如何驗證猜想呢?在以上各種解法的基礎上,鼓勵學生去主動探究和發現證明的思路.其證明如下:

以上證明利用“化同原則”,找到條件與結論之間的內在聯系,也就找到了轉換途徑和思維方向,即先消去Sn,再構造常數列．

這種通過猜想獲得結論的方式更為直接,而歸納推理得到的結論通常具有猜測的性質,需要嚴格的邏輯證明．學生發現已知條件與要證結論差異太大,很難建立它們之間的聯系．在教師引導下,探尋證明思路,發現它是與正整數有關的數學命題,從而嘗試選擇數學歸納法,證明如下:

猜想其實就是從特殊到一般的推理形式,它是一種不完全歸納推理．

歸納推理是一種具有創造性的推理．通過歸納推理得到的猜想還可以作為進一步研究的起點,幫助我們發現和提出問題,對問題再作進一步的探究和推廣．

3.3 思維升華

讓學生反思以上兩種猜想和各種解法,還會有什么新發現?

圖3 楊輝三角

新高考已經釋放了明顯的素養評價信號,學生思維水平的提高是重中之重[4]．在“四想”教學模式的實踐中,為學生創設自由民主的課堂氛圍,鼓勵學生大膽提出新想法,讓學生進行思維上的交流與碰撞,使得教學過程遠離平衡態,將學生原有的認知狀態被“新想法”所打破,發生“協同”或“競爭”,使原有的認知結構得到強化和變革,從而達到新的平衡,形成自組織．教學過程要充分尊重學生的個體差異,培養學生的直覺思維和科學洞察力,因為它是產生“漲落”的主要誘因之一,使得數學教學活動從無序走向有序,進而提升課堂教學效益．

4 結束語

基于自組織理論的“四想”教學模式,需要教師轉變教學觀念,以學生發展為本,實踐新課程理念,重視數學核心素養的達成．只有將教師、學生、環境、內容等多方因素協同,為學生提供思考、表達、體驗和反思的機會,才能真正實現教學過程的“自組織”轉變,從而保證學生的主體地位和開放的教學過程．在教學過程中教師要適時啟發和引導學生靈活地思考問題,這樣才能保證學生的思維遠離平衡態,學生的認知結構才能達到新的水平和新的平衡[5]．在教師的引導下,將學生的知識、技能和方法等參量之間進行相互“協同”或“競爭”,實現學生的自適應、自設計、自批判、自改造、自創生、自完善,從而挖掘學生的學習潛能,激發學生的學習興趣,培養學生的數學核心素養,實現學生的認知從無序走向有序,達到“教是為了不教”的目的．