模式識別:結構化的深度教學*

童玉峰 (江蘇省蘇州高新區第五初級中學校 215151)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》課程理念部分要求設計體現結構化的課程內容,強調課程內容是實現課程目標的載體．在組織課程內容時,重點是對內容進行結構化整合,探索發展學生核心素養的路徑．重視數學結果的形成過程,處理好過程與結果的關系;重視數學內容的直觀表述,處理好直觀與抽象的關系;重視學生直接經驗的形成,處理好直接經驗與間接經驗的關系[1]．

模式識別是初中幾何教學重視知識的結構化整合,是結構化的深度教學,是完成上述任務的教學手段與載體．

1 深度教學

深度教學源于深度學習．黎加厚教授等人[2]在布魯姆教育目標分類學的基礎上,認為深度學習是指在理解學習的基礎上,學習者能夠批判性地學習新的思想和事實,并將它們融入原有的認知結構中,能夠在眾多思想間進行聯系,并能夠將已有的知識遷移到新的情境中,作出決策和解決問題的學習．

郭元祥教授在對深度學習進行研究的基礎上,認為從深度學習走向深度教學有著必然性．深度教學是基于變革教學價值觀、知識觀、學習觀、教學過程觀、教學資源觀和評價觀的一整套教學理念和策略,是促進學生學科知識、學科思想、學科能力和學科經驗發展的教學模型[3]9．

余文森教授主張從如下四個視角理解深度教學的特征與要求[4]:(1)從學科的教學講,有深度的教學指的是體現和反映學科本質的教學．用學科特有的精神和文化去打造學生的學科素養,用學科特有的魅力和美感去激發學生的學習動力,這才是課堂教學應有的深度．(2)從知識的角度講,有深度的教學指的是超越知識表面結構而進入深層結構的教學．深層結構是蘊含在知識中的思維方式和價值傾向,它揭示的是知識的深層意義及知識背后的智慧意義、文化意義和價值觀念,反映的是人的精神世界和價值世界．(3)從教師角度講,有深度的教學指的是教師對教材鉆得深、研得透的教學．不能簡單地把深度教學理解為僅僅是教學內容有深度和難度,還需要學生學習活動有深度和高度．(4)從學生角度講,有深度的教學就是讓學生進行深度思維的教學．要求教師在傳授教材的知識內容的同時,引導學生的思維深入到知識的發現或再發現的過程中去．

郭元祥教授還認為,深度教學有助于發展 學科核心素養,教學中要關注學科知識結構化、學科思想體系化、學科能力表現化和學科經驗連續化[3]160-164．

如上所述,數學教學應是結構化的深度教學,以完善學生的認知結構,形成學生的學習結構,促進深度學習．初中幾何解題教學中的模式識別就是一種結構化的深度教學．

2 模式識別

2.1 模式識別概述

在幾何解題教學中,模式識別是基本圖形(或基本問題)的基本結論、基本思想和基本方法．我們往往可以通過對基本圖形(或基本問題)進行各種變式,在解決問題的過程中探尋出基本圖形(或基本問題)及諸多變式的共同特征,概括出它們的一般規律,總結出基本圖形(或基本問題)的基本結論,歸納出一般的數學思想和方法,構建出解決問題的模式．運用遷移、化歸等數學思想方法,進行直接識別應用、間接識別應用、轉化識別應用、變式識別應用、遷移識別應用、拓展識別應用,最終達到問題解決的目的．

圖1

2.2 模式識別舉例

2.2.1 模式的構建與理解

例1如圖2,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D．

圖2

問題1 你能從題中得出哪些與角有關的結論,是如何得出的?

問題2 △ABC被AD所截得到的兩個三角形之間有什么關系,你是如何得到的?

問題3 由這兩個三角形相似,可以得到哪些線段之間特殊的數量關系?

問題4 根據上面的探究,你還能得出什么類似的結論,你是如何得到的?

問題5 你能對上述的探究和結論做一個小結嗎?(在直角三角形中,斜邊上的高將其分成兩個小的直角三角形,它們與原三角形相似．并且,存在著三組有比例中項的比例式．)

這個模式就是射影定理．初中階段不學習這一定理,而它恰是一類結構特殊的相似三角形(有公共邊的兩個三角形)的特殊結論——存在以公共邊為比例中項的比例式．模式的構建過程就是一個定理的探究過程,學生經歷角相等到三角形相似,再到比例式的存在,最后得到等積式,是一個在逐步探究中逐步得到結論并形成結構的過程,有利于對這一類幾何問題的解決．

例2如圖3,⊙O的半徑為2,點A是⊙O上的動點,點P是⊙O外一點,且OP=3,連接AP．

圖3 圖4

教學時,教師可以提出如下的問題串:

問題1 觀察圖形,結合已知條件,在點A的運動過程中,你能發現什么規律?

問題2AP的長度是如何變化的?你能通過計算來說明AP的最小值嗎?

問題3 你能通過計算來說明AP的最大值嗎?通過例題,可以得到什么樣的結論?(連接圓外一點與圓心并延長,與圓有兩個交點,該點與遠交點的距離就是最大值,與近交點的距離就是最小值.)

問題4 在問題解決過程中,重要的依據是什么?

例題從具體的問題出發,在點A的運動過程中,觀察點A的位置與AP長度之間的關系,進而猜想并證明AP的最大值與最小值,發展學生的幾何直觀,以及發現問題、合情推理能力;通過“兩點之間線段最短”這一基本事實進行證明,進一步發展學生的推理能力,使其體會合情推理、演繹推理之間的相輔相成．

接著展示下面的問題:如圖4,⊙O的半徑仍然為2,點A仍是⊙O上的動點,將點P改變為⊙O上一點,連接AP．教師繼續提出問題:

問題5 你能得到類似上面的問題嗎?如何去解決呢?

問題6 你還想探究什么問題?可以得到什么結論?你會證明嗎?

問題7 通過對前面三種不同位置關系的研究,同學們可以得到怎樣的一般結論?

問題8 你會用圖形語言和符號語言來表示上面的結論嗎?(表1)

表1 用圖形語言和符號語言刻畫研究問題

在上面解決問題的過程中,構建出一個“模式”——基本圖形的基本結論、基本思想和基本方法．基本圖形——連接點與圓上的一點.基本結論——點連接圓心并延長,與圓有兩個交點,該點與遠交點的距離就是最大值,與近交點的距離就是最小值．基本思想——構造三角形．證明這一結論的基本方法——利用基本事實“兩點之間線段最短”．

如上的研究,是平面內定點到圓上動點的距離最值問題．通過點與圓的三種不同位置關系的分類討論,研究了特殊位置關系與特殊數量關系的相互轉化,并找到了不同位置關系中數量關系的共性,歸納出不同圖形的共同特征與本質屬性,進而構建出模式．

2.2.2 模式的識別與應用

·直接識別應用

例3如圖5,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,AD=4,BD=9,則CD的長為．

圖5

此題中,可以直接識別出例1中的模式,由△ACD∽△CBD得到比例式,進而得CD2=BD·AD=9×4=36,舍去負值,得到CD=6．

這里是對模式的直接識別和直接應用,這是一種直覺思維,式是幾何直觀的外部表征．直接識別和應用模式,可以縮短思維路徑,增加解題效果,增強學生學習數學的成就感,激發學生學習數學的興趣,增強數學學習信念．

·間接識別應用

例4如圖6,在矩形ABCD中,動點E,F分別從C,D兩點同時出發在邊BC,CD上移動(其中一點到達終點時另一點也隨之停止),其中點F的運動速度是E的兩倍,連接AF和ED交于點P,由于點E,F的移動,使得點P也隨之運動．若AD=4,CD=2,則CP的最小值是．

圖6 圖7

這里的⊙Q是隱形的,需要根據Rt△APD找出隱圓,再結合圖形的結構間接得到例2中的模式,然后運用模式的結論與思想方法去解決問題．

·轉化識別應用

例5如圖8,△ABC中,AB=AC,BC=16,AD⊥BC于點D．AD=6,P是半徑為4的⊙A上一動點,連接BP, 若E是BP的中點,連接DE,則DE長的最大值為．

圖8

本題考查的是點和圓的位置關系、等腰三角形的性質、勾股定理以及三角形中位線定理,根據題意將DE長的最大值轉化為CP的最大值,再結合例2中的模式來解決問題．

·變式識別應用

例6圖9是某小區內“兒童樂園”的設計示意圖．已知⊙O的直徑AB為24 m,點C在⊙O上,且CA=CB．P為AB上一動點,連接CP并延長,交⊙O于點D．連接AD,BD．過點P分別作PE⊥AD,PF⊥BD,垂足分別為E,F．按設計要求,四邊形PEDF內部為沙坑,陰影部分地面鋪設塑膠,圓內其余部分為綠化區．研究設計方案后發現,沙坑(四邊形PEDF)的面積為49 m2時,整體布局比較合理．試求當四邊形PEDF的面積為49 m2時AP的長．

圖9

這里的△ACP與△DCA是例1的變式,雖然圖形不完全相同,但是它們都是通過兩角相等證明兩個三角形相似,然后通過對應邊成比例得到比例式,進而得到以公共邊為比例中項的比例式．所以,在用模式識別來解決數學問題時,不僅要注意外形上的分析,還應該對題目的結構進行分析,而且要注意內容上的理解,要能夠從一個孤立靜止的數學形式中找出關聯的數學內容．在解題過程中,不僅要注意方法、技巧和已有數學結論的應用,而且要揭示數學內容上的轉化,注意從內容的聯系上去尋找解題思路[6]．

2.2.3 模式的反思與完善

上述的例1和例2是從基本圖形的屬性探究和不同分類中概括和抽象出模式的,在這一構建的過程中,需要不斷地對過程、方法、結論等進行反思,不斷地認清模式的數學本質．在模式識別應用的過程中,模式本身也在不斷變化,需要我們不斷反思與完善．

如例1中的模式,從特殊的有公共邊的直角三角形相似結構變化為有公共邊的一般三角形相似結構;還可以和其他數學知識進行綜合,如例6中,將變式后的模式嵌入圓的背景中,就是模式的進一步發展．

再如例2中的模式,從一般的結構發展成例4的隱圓結構,再發展到例5中通過三角形中位線定理轉化的模式．

3 模式識別教學是深度教學

3.1 模式識別教學是問題解決的深度教學

初中幾何模式識別符合一般問題解決的理論,是一個問題解決的認知模式:通過對基本圖形的屬性探究和不同分類的研究,探尋其共同特征和共同屬性,概括一般規律,總結基本結論,歸納蘊含的數學思想和方法,構建解決問題的模式．運用遷移、化歸等數學思想方法,進行直接識別應用、間接識別應用、轉化識別應用、變式識別應用、遷移識別應用、拓展識別應用等,探尋出解決這類問題的一般思路和方法,最終達到數學問題解決的目的．

如圖10所示,模式的構建是一個開放多元的概括和抽象的過程,模式的識別是一個化歸的過程,模式的應用是一個遷移的過程．因此,學生運用模式識別學習是一種深度學習,教師運用模式識別教學是一種基于問題解決的深度教學．

圖10

3.2 模式識別教學是結構化的深度教學

·模式識別教學有助于完善學生的認知結構

在模式識別教學中,教師通常可以采用如下的教學策略:

(1)以“模式的構建—理解—識別—應用—反思—完善”為教學與學習過程．在過程中引入知識,關注知識之間的聯系,在體系中去學習知識,產生方法、經驗,擴充原有的認知結構,形成新的認知結構．

(2)以結構形成方式進行教學．以若干例證為觀察對象,概括出這些例證共同的、本質的特征與屬性,構建模式,形成圖式．這樣形成的圖式有助于學生識別新的例證,更有助于識別模式和應用模式．

(3)讓學生在學習的過程中提出樣例．模式識別的課堂教學需要更加開放,鼓勵學生提出新圖式的樣例,并將其與基本圖形的基本結論進行比照,加深對模式的理解．這樣的認識和練習將使學生養成發現和提出問題、分析和解決問題的習慣．

(4)知識的綜合應用．模式的構建過程中會用到許多知識,并且在識別應用的過程中會更多地關注知識之間的內在關聯,形成特定的知識結構,在將陳述性知識轉換為程序性知識的同時形成過程性知識．這樣的教學,會使得學生的認知結構更加優化、更加完善．

如上的闡述,形成了如圖11所示的一個學習和教學的過程,所以初中幾何模式識別進一步強調知識結構化、方法和經驗的積累與遷移．讓學生在模式的構建與理解中學會用數學的眼光觀察世界,在模式的識別和應用中學會用數學的思維分析世界,在模式的反思和完善中學會用數學的語言表達世界,通過模式識別落實“四基”和“四能”,促成數學課程標準的落地．

圖11

·模式識別教學有助于形成學生的學習結構

模式識別教學是通過對基本圖形的屬性探究和對基本圖形不同分類的研究,抽象出不同例證的共同特征與共同屬性來構造模式——基本圖形的基本結論、基本思想與基本方法,在學生理解模式的基礎上構建了一個全新的解決這類問題的例證．在后續出現要解決的例證時,將其與構建的模式進行比照,發現圖形的共性、方法的共性,即識別出模式．然后運用模式中蘊含的基本思想和基本方法得到基本結論,即應用模式．在模式的構建、識別和應用過程中,對模式進行反思,包括反思圖形、結論、方法等,對模式進行矯正和完善,也有可能形成新的模式．這樣便構成了一個教學結構,如圖12所示．

圖12

在這樣的教學的長期影響下,學生會在快速、高效解決問題的過程中獲取成功的體驗,進而產生一種積極的心態,在這種積極心態的影響下,學生也會自主、主動地嘗試著去發現和構建新的模式,并嘗試著運用模式識別去解決問題．當他們再次有了成功體驗后,這種嘗試便得到了強化．那么這樣的教學過程就是一個學生學習的過程,這樣的教學結構滋生出一個高效的學習結構．

總之,模式識別這種結構化的深度教學有助于促進學生的深度學習,有助于發展學生的數學核心素養,有助于落實數學的育人價值．