2023年新高考Ⅰ卷第22題解法探究

李園園 (江蘇省蘇州市吳中區(qū)蘇苑高級中學(xué) 215128)

2023年新高考Ⅰ卷第22題考查了軌跡問題以及內(nèi)接矩形周長范圍問題,該題體現(xiàn)了課標(biāo)的要求:掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,會用坐標(biāo)法推導(dǎo)拋物線的方程,突出理性思維的考查;回歸數(shù)學(xué)本源,突出學(xué)科基礎(chǔ)性．本文從圓錐曲線知識與函數(shù)、不等式、參數(shù)方程等知識綜合的視角,給出該題的多種解法,并提出若干教學(xué)建議．

1 問題呈現(xiàn)

圖1

(1)求W的方程;

2 解法探究

反思 將拋物線頂點(diǎn)平移到原點(diǎn),可以簡化計算．將AB,AD用k表示出來后,利用參數(shù)k與x0的關(guān)系合理放縮,消去x0得到k的函數(shù)結(jié)構(gòu),再通過導(dǎo)函數(shù)求出最值．放縮這一步是難點(diǎn),在教學(xué)過程中遇到類似的情況,教師要正確合理地引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用．

證法3(平移、雙變量之主元變量法、“尖底鍋”型)我們先來認(rèn)識一些絕對值函數(shù)有關(guān)最值的模型:

反思 雙變量之主元變量法是我們解決函數(shù)最值、恒成立問題等的通法,對于“尖底鍋”型模型的學(xué)習(xí)和運(yùn)用可以正確地理解函數(shù)最值情況,再結(jié)合配湊三元基本不等式可以有效地解決最值．

圖2

3 方法活用

下面我們解決一個類似的問題:

(1)求拋物線E的方程;

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1>

4 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．2023年高考數(shù)學(xué)命題打破常規(guī),改變了相對固化的試題模式．出題者更加注重考查內(nèi)容的全面性,引導(dǎo)教師依標(biāo)施教;試題突出對學(xué)科概念、原理的考查,強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)之間內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識系統(tǒng);更加注重本原性方法,淡化特殊解題技巧,強(qiáng)調(diào)對通性通法的深入理解和運(yùn)用,促進(jìn)學(xué)生將學(xué)科知識納入自身的知識體系．雖然命題趨勢不定,但是重視基礎(chǔ)概念和掌握通性通法不會改變,教學(xué)的著力點(diǎn)應(yīng)放在數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的培育上．

(1)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

新高考Ⅰ卷設(shè)計現(xiàn)實(shí)性和綜合性問題,實(shí)現(xiàn)對邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)綜合考查．學(xué)生在系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法上,不可以脫離課本,在復(fù)習(xí)的過程中應(yīng)學(xué)會串聯(lián)概念、定理和公式．平時要求學(xué)生讀題、審題時了解涉及哪些概念,可以得到哪些結(jié)論或者還缺少哪些條件等,解題后多引導(dǎo)學(xué)生反思,舉一反三、觸類旁通．

(2)創(chuàng)新能力

應(yīng)對新穎性題型的策略是要根據(jù)數(shù)學(xué)“萬變不離其宗”的特點(diǎn),圍繞基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法,通過問題的變式,掌握透過現(xiàn)象看本質(zhì)的本領(lǐng)．不管命題方向如何變化,邏輯分析推理能力至關(guān)重要,從試題信息找到聯(lián)系并列出關(guān)系,根據(jù)線索發(fā)現(xiàn)破題方法．

教師一方面要正確引導(dǎo)學(xué)生掌握基本功,夯實(shí)基礎(chǔ),另一方面要鼓勵學(xué)生不要有畏難情緒,敢于聯(lián)想,敢于挑戰(zhàn),以提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和能力．