中國古代數(shù)學(xué)的圖騰:趙爽弦圖(續(xù))

張維忠 唐慧榮 (浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

2.4 數(shù)學(xué)中考試題中的“趙爽弦圖”

由于“趙爽弦圖”中蘊藏著豐富的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化,近些年來,它已成為各地數(shù)學(xué)中考題的熱門題材．下面,我們再來看看數(shù)學(xué)中考試題中有哪些關(guān)于“趙爽弦圖”的內(nèi)容．

圖11

圖12

(3)(2021·貴陽)(a)閱讀理解:我國是最早了解勾股定理的國家之一,它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅如圖13所示的“弦圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程．

圖13 圖14 圖15

(b)問題解決:勾股定理的證明方法有很多,如圖14是古代的一種證明方法:過正方形ACDE的中心O,作FG⊥HP,將它分成4份,所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC=12,BC=5,求EF的值．

(c)拓展探究:如圖15,以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長為定值n,小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α,當(dāng)角α(0°<α<90°)變化時,探究b與c的關(guān)系式,并寫出該關(guān)系式及解答過程(b與c的關(guān)系式用含n的式子表示)．

圖16

圖17 圖18

這些中考題注重知識的產(chǎn)生和應(yīng)用,體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重視．“趙爽弦圖”在中考中的應(yīng)用,還會被深入地挖掘[4]．

通過對“趙爽弦圖與勾股定理”的探究,可以發(fā)現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)是非常注重實用的一門科學(xué)．

3 勾股定理的古代及現(xiàn)代應(yīng)用

3.1 勾股定理的古代應(yīng)用

在四大文明古國的歷史中,勾股定理的應(yīng)用不勝枚舉．在古埃及,人們在建造宏偉壯觀的金字塔時用到了勾股定理,金字塔底部四角都是嚴(yán)格的直角;在古巴比倫,后人找到了一塊編號為“普林頓322”的泥板(圖19),上面記載了很多勾股數(shù);在古印度,人們用它來建造祭壇(圖20);在我國古代,利用勾股定理更是有大量實例,如數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和其他數(shù)學(xué)著作中就記載了大量勾股定理應(yīng)用于實際生產(chǎn)和生活中的案例．

圖19 “普林頓322”泥板 圖20 祭壇

(1)應(yīng)用勾股求長度

如著名的“引葭赴岸”問題(圖21):今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊．問水深、葭長各幾何?

圖21 引葭赴岸 圖22 圖23

譯文:有一個邊長為10尺的正方形水池,正中央長有一棵蘆葦,高出水面1尺,把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊,蘆葦頂部剛好碰到岸邊．問水多深?蘆葦多高?(注:尺、丈均為舊制長度單位,1丈=10尺)

解 如圖22,設(shè)水深A(yù)C為x尺,蘆葦AD(=AB)的長為(x+1)尺,可列方程x2+52=(x+1)2,解得x=12,即水深12尺,蘆葦長13尺．

還有“折竹抵地”問題(圖23):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”

譯文:一根竹子高一丈,折斷后竹子的頂端落在了距離竹子底端3尺的位置,折斷處距離地面的高度是多少?(注:1丈=10尺)

(2)勾股應(yīng)用于行程問題

“行程問題”:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三．乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何?”

譯文:甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā),甲的速度為7,乙的速度為3,乙一直向東走,甲先向南走十步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙分別走了多少?

(注:“步”為舊制長度單位,一步等于五尺．不同的朝代,“步”的長度不一樣．)

解 如圖24,設(shè)經(jīng)過x秒,甲乙在B處相遇,這時乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x．因為AC=10,所以BC=7x-10．又因為∠A=90°,根據(jù)勾股定理,可列方程(7x-10)2= 102+(3x)2,解得x=3.5,則甲的路程是7×3.5=24.5(步),乙的路程是3×3.5=10.5(步)．

圖24

除了以上兩個例子,《九章算術(shù)》中還提到了非常多的相關(guān)應(yīng)用．另外,李冶的《測圓海鏡》有一著名的“圓城圖式”(圖25);劉徽在《海島算經(jīng)》中用到勾股定理進(jìn)行山高或谷深的計算(圖26)．

圖25 “圓城圖式” 圖26 山高計算

不難看出,古時候人們已經(jīng)能夠廣泛地運用勾股定理解決與直角相關(guān)的問題．

3.2 勾股定理的現(xiàn)代應(yīng)用

隨著人們對世界的探索,在現(xiàn)代,勾股定理廣泛地應(yīng)用于不同的學(xué)科中．如圖27,物理學(xué)中的合力計算涉及到了勾股定理;在地理學(xué)中,結(jié)合當(dāng)?shù)囟寥盏恼缣柛叨?利用勾股定理來計算樓距是常見的方法(圖28)[5]．

圖27 圖28

勾股定理在生活和生產(chǎn)中更是隨處可見．房子驗收時需要檢測墻角是否為直角(圖29),常見的辦法是分別測量墻邊的兩條邊長和一條對角線,看這三邊是否滿足勾股定理即可;工廠生產(chǎn)帶直角的零件時,一般是以直角尺(圖30)為基準(zhǔn),但對于一些較大尺寸的零件來說,使用這么小的直角尺會產(chǎn)生較大的誤差,這時便可以用勾股定理確定直角的方法彌補(bǔ)工具的不足;在直角樓梯上鋪設(shè)地毯時,可以利用勾股定理進(jìn)行地毯長度的計算(圖31);三角屋頂是我國常見的屋頂構(gòu)造之一(圖32),此類屋頂?shù)脑O(shè)計與勾股定理息息相關(guān);太陽能熱水器的集熱效率與太陽光照時長有直接關(guān)系,可利用勾股定理計算太陽能熱水器安裝角度(圖33),得到更多的日照．

圖29 圖30

圖31 圖32

圖33

3.3 大千世界與勾股定理

大自然的奇妙逃不過數(shù)學(xué)家的眼睛,大千世界里的許多現(xiàn)象都涉及到了勾股定理．下面我們以“聰明的葛藤”和“臺風(fēng)的勢力”為例找一找勾股定理的影子．

葛藤是一種聰明的植物(圖34),為了獲得更多的陽光和雨露,葛藤常常以高大的樹木為依托,纏繞其樹干盤旋而上．它總是沿著最短路徑——螺旋線繞樹干攀升．若將樹干的側(cè)面展開成一個平面(圖35),可清楚地看出葛藤在這個平面上是沿著直線向上生長的．

圖34 葛藤 圖35

如圖36,假如樹的橫截面周長是30 cm,葛藤繞一圈便升高40 cm,則它繞樹爬行一圈的最短路程是多少?(將樹視為圓柱體)

圖36 圖37

將樹干側(cè)面展開,如圖37,可知爬行一圈的最短路程是AB′的長度．利用勾股定理,可列AB2+BB′2=AB′2,即302+402=2 500,因此AB′=50 cm,即它繞樹爬行一圈的最短路程是50 cm．

如果該葛藤繞樹干爬行5圈就到達(dá)樹頂,則藤蔓長多少?

方法1 已知AB′=50 cm,從圖38可知,藤蔓的總長為5×50=250 cm．

圖38 圖39

方法2 如圖39,將完整的路徑展開,可知AF′為藤蔓總長,即1502+2002=6 250,所以AF′=250 cm．

數(shù)學(xué)真是無處不在!除了植物的生長,大千世界中的其他現(xiàn)象與勾股定理還有什么聯(lián)系呢?

在夏秋季節(jié),每年都會有多個臺風(fēng)來影響我國,為了降低臺風(fēng)帶來的不利影響,氣象學(xué)家會進(jìn)行臺風(fēng)移動路徑和影響范圍的預(yù)測．在預(yù)測時,光有氣象學(xué)知識是不夠的,還要結(jié)合數(shù)學(xué)知識才能進(jìn)行相關(guān)的計算．

例如,據(jù)氣象觀測,沿海城市A的正南方向220 km的B處有一臺風(fēng)中心正在以15 km/h的速度沿北偏東30°方向移動,且中心風(fēng)力不變,離臺風(fēng)中心160 km范圍內(nèi)都會受到臺風(fēng)影響,A市是否會受到臺風(fēng)影響?請說明理由;若會受到影響,則影響的時間多長?

解 如圖40,設(shè)臺風(fēng)沿BF方向移動,過點A作AC⊥BF于點C．在Rt△ABC中,由AB=220 km,∠B=30°,得AC=110 km．因為離臺風(fēng)中心160 km范圍內(nèi)都會受到臺風(fēng)影響,所以A市會受到臺風(fēng)影響．

圖40

一直以來,勾股定理以簡單的形式和深刻的內(nèi)涵與大千世界緊密相連,為人類解讀大自然的語言提供了重要橋梁．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲,它存在的歷史意義值得我們回味．我們從古人的智慧談起,借助“趙爽弦圖”了解了勾股定理．從長遠(yuǎn)的歷史來看,這些數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生和發(fā)展蘊含著一代又一代數(shù)學(xué)家們的辛勤付出．

(續(xù)完)