APOS理論下培養數學代數思維的研究

李士英

【摘要】APOS理論在小學數學中的應用可以培養學生的自主思維，對于促進代數思維能力的提升有著積極的作用。結合教學實際，論述APOS理論在小學數學教學中培養學生代數思維能力的應用過程，分析各環節的教學策略，并結合實際案例證明了該方法的有效性。

【關鍵詞】APOS理論；小學數學；代數思維

APOS理論的本質在于強化學生的學習過程，增強過程體驗從而達到深化學生認知促進代數思維能力主動建構的目的。本文將APOS理論在小學數學中的應用劃分為“前方程”孕育、關系式過渡以及系統建構，通過這三個思路在不同的教學階段強化學生對代數方法的感知，提升學生的代數運算能力，進而促使學生建立代數模型，實現代數思維的培養和提升。

一、“前方程”，有意孕育

小學數學教學中代數思維的培養是一個長期的滲透過程，并不僅僅存在于高年級的方程階段。因此，教師應挖掘前期教材中與方程代數相關的數學描述，有意識地結合“前方程”向學生展示代數思維的具體表述形式，從一種具象表述的角度輔助學生建立對代數的初步認知，促進后續代數思維能力的培養。

1.創設情境，認識等號性質

在低年級階段學生的思維以具體形象思維為主，這就要求教師能夠創設直觀生動的可視化情境，助力學生在情境中感知代數思想。從算數思維到代數思維轉換的核心之一在于對等號關系性質的深度認識，將其與大于、小于這兩種比較大小的符號做出區分，明確“相等”的概念，深度認識等號的相等關系。

結合學生的生活經驗創設活動情境，可以有效地把握滲透代數思維的契機，提升學生學習的積極性。比如，在學習“6～10認識和加減法”時，在課本中通常會有6=□+□=□+□的問題，針對這些問題，創設活動情境：“同學們喜歡玩蹺蹺板嗎？如果我們想讓其保持平衡應該怎么做呢？”根據生活經驗同學們會回答需要兩邊有相等的質量才會平衡。此時教師通過多媒體設備給出蹺蹺板的簡畫，并在其左側畫出6顆糖果，并給出6個卡片選項，其中每個卡片上分別畫有1～6顆糖果，讓學生選擇用哪兩個卡片放在右側可以使蹺蹺板平衡。根據活動經驗，同學們會給出答案分別為6和0；1和5；2和4以及兩個3，并得出對應的算式為6=6+0=5+1=2+4=3+3。通過觀察式子并聯系生活經驗，同學們會發現等式兩邊的位置互換以及右側兩個數的順序交換并不會影響蹺蹺板的平衡，從而深度理解了相等的含義，學生深度認識了等號在數學學科中的重要含義，為代數意識培養做好了鋪墊。

2.語言描述，滲透符號意識

符號語言描述是形成代數思維的第一步，在小學階段符號語言包括數字符號、關系符號、變元符號、字母符號以及圖示符號等幾種，分別代表了不同的數學含義，教師應引導學生大膽地使用符號語言做出數學過程描述，促使學生在自然表述的過程中理解符號所表征的數學含義，實現符號意識的孕育。

比如，在學習“運算定律”這一小節時，針對不同的運算律以及簡化運算的方式給出典型例題，鼓勵學生利用不同的語言表述方式對簡化運算的過程進行表述，比較不同表述形式的異同。給出例題如下：88+104+96、234-66-34。針對上述兩個算式均可以利用運算定律實現簡便運算，對于式1，其可以表示為88+（104+96）=88+200=288，這種方式利用了加法的結合律，用符號語言可以表示為a+b+c=a+（b+c）。對于式2，利用連減運算的定律可以表示為234-（66+34）=234-100=134，同理將其用符號語言表示為a-b-c=a-（b+c）。學生在使用不同語言形式表述的過程中不僅思路愈發清晰，同時提升了利用代數語言進行表達的能力。

3.繪制圖示，解決算術問題

代數能力的實踐運用是培養學生代數思維的最直接方式，在實踐中學生可以直觀地感受到代數的應用價值和解題方法，從而促進學生對符號代數的理解。因此，教師應結合實際算數問題的解決，鼓勵學生以繪制代數圖示的方式，將抽象的代數運算過程具象化，從而加深對代數運算的理解。

利用符號圖示表示抽象的算術運算過程，不僅可以訓練學生的符號意識，同時可以將抽象的運算過程具象化，從而深化學生的理解。比如，對于5+7、8+8、9+2等存在進位的算式，引領學生利用不同的符號對數字進行表示，規定一個○代表10，△代表5，而◇代表1，用符號替換上述算式然后分析運算過程，發現對于算式5+7會得到兩個△和兩個◇，其中兩個△正好表示一個○，所以對其進行替換，隨后得到一個○和兩個◇，也就是說最后的運算結果為12，其中兩個△替換為一個○的過程就表征了算術運算中的進位過程。在上述課堂教學過程中，學生通過繪制圖示的方式直觀地表示了復雜抽象的算術運算過程，在這種表述轉換的過程中學生直觀地感受到了代數圖示的魅力，對于學生代數思維的孕育有著積極的作用。

二、“關系式”，做好過渡

小學中年級階段是代數思維能力培養的過渡階段，發揮著承上啟下的作用。在這一階段教師應在“前方程”孕育的基礎上，深度挖掘這一階段需要了解的關于公式計算以及運算定律等代數關系式，引領學生細致分析代數關系式與算術運算之間的關聯，做好算術運算與代數運算之間的過渡講解。

1.多元表征，分析數量變化

鼓勵學生通過多元表征描述數量變化是培養學生代數思維的高效方法。通過多種形式的表征方法不僅可以培養學生的數學表述能力，同時在不同描述方式的轉變過程中有助于培養學生對數量關系的本質特征理解，助力學生深度理解代數內容和實際問題之間的關聯。

適當的課堂提問是引領學生積極參與多元表征的常見手段。比如，在學習“倍的認識”這一小節內容時，需要學生建立并理解倍的概念，結合實操活動和課堂提問帶領學生積累感性經驗，用不同語言形式表達數量之間的關系。首先讓學生自己在草稿紙上分別繪制出2、6、10個小蘋果，然后分析3幅圖中蘋果之間的數量關系。同學們首先利用已知的數量關系表達方式分析出前兩堆蘋果的數量相差4，后兩堆蘋果數量相差也是4這一數量關系。在此基礎上教師引導學生用倍的方式去理解這一關系，此時學生的表述轉換為第二堆蘋果相當于三堆第一幅畫中蘋果數量的和，而第三幅圖則需要5堆第一幅畫中的蘋果數量。從而可以帶出后兩堆的數量分別是第一堆數量的3和5倍這一數量關系。不同的表征方式會牽扯出不同的數量關系，教師應給予學生充分的鼓舞，引導學生通過多元表征的轉換感知數量關系的不同分析方法，理解熟練關系的本質特征，促進代數思維的發展提升。

2.科學變式，熟悉公式定律

公式定律是利用代數對數學關系的抽象表示，是最能體現代數思維的知識點。針對公式定律的學習，教師應有意識地引導學生結合實際問題開展科學變式，從不同的角度理解公式的具體含義，從代數表述的轉換過程中熟悉公式定律。

根據已有的公式定律，轉換已知條件求解未知量是科學變式的常見方法。在學習“面積”時，需要同學們掌握面積計算公式，并且能夠根據該公式合理的變式計算不同的未知量。在課堂教學中提出問題：“一個長方形操場的長和寬分別是26米和14米，問該場地的面積是多少？”上述問題是考查了學生對面積公式的掌握程度，但是需要學生根據已知條件合理地對S=長×寬進行變式，在已知長和寬分別為26和14，根據S=a×b可以計算出S=26×14=364平方米。在變式運算的過程中學生能夠深度地感受公式中蘊含的代數思想，理解不同數學量在運算中的實際含義。通過科學變式練習，學生在熟悉公式定律的同時對代數思維的實際運用有了深刻的理解，在解決有關數量關系計算的問題時也能夠更加得心應手，從不同的角度利用代數方式思考問題。

3.題組練習，提升綜合能力

代數思維的培養不能脫離數學學科在生活中的實際應用，大量的生活公式和問題在提煉為數學問題后都是通過代數表示的，因此教師應有針對性地設計題組練習，強化學生提煉生活問題轉換為數學代數模型的能力，從而促進學生代數思維能力的提升。

及時地開展應用問題專題教學，組織學生提煉應用問題中的數學代數模型是提升學生文化綜合能力的有效手段。比如，設計應用專題課堂，引導學生在總價、單價與數量；路程、速度和時間等生活應用問題中感知代數表示的數量關系。提出問題如下：“一支圓珠筆售價5元，小紅需要購買五只這樣的圓珠筆應準備多少錢才夠用？”根據已有的數量關系公式，同學們對上述問題進行提煉，應根據總價=單價×數量求解，單價和數量均是5，計算出總價為25元。通過有針對性的題組練習，學生可以在解題過程中深刻理解不同的數量公式對應的應用場景，在熟練掌握應用數學計算解決問題的同時深化對于公式代數描述的理解，從而促進學生代數意識的發展，為代數思維能力的發展做好鋪墊。

三、“系統性”，建構模型

代數思維的培養應具有系統性的培育架構，在實現“前方程”代數意識孕育以及代數關系式的過渡發展后，教師應結合簡易方程的教學以及數學模型思想的滲透系統性地為學生建立代數思維的概念，落實代數內容的本質教學。

1.數形結合，強化函數思想

函數從數量的變換角度分析了數量之間的關系，是代數思想的重要體現之一。在學習代數內容時教師應充分利用函數思想，引導學生分析變量、因變量以及常量之間的數學關系。最后，教師借助圖形內容直觀地展示數量之間的關聯，助力學生建立圖形與代數關系之間的關聯，感受變與不變的數量本質特征。

比如，在學習“簡易方程”時，提出問題如下：“現需要在一面墻的周圍圍上三面籬笆，與墻面組成一個長方形，現在已知墻面的長度為3米，請問如何表達所需的籬笆總長度呢？”針對這一問題教師應首先帶領學生繪制出相應的幾何圖形模型，在圖形中直觀地感受數與形的關聯。通過圖形繪制學生發現墻面充當了長方形的一條邊，根據長方形的周長公式L=2×（長+寬）可表達出所需籬笆的長度L為3+2×邊長。在這一代數表達式中，L和邊長都是未知量，并且L隨著邊長變化而變化，此時教師及時地滲透函數思想，以邊長分別為2和4為例，讓學生理解籬笆長度隨著這一邊長變化而變化的關系。通過圖形的繪制，助力學生迅速地建立數學模型，基于抽象的文字表述提煉出對應的數量關系，進而通過未知數設定寫出其對應的代數表達式。

2.動手操作，抽象知識本質

代數思維的培養應注重學生在課堂學習中的主體性，設置生動有趣的課堂活動，引領學生在動手操作中獲取豐富的代數運算體驗，實現對抽象知識本質的理解，促進代數運算模型的建構，落實從算數思維到代數思維的轉變。

強化課堂學習中的實踐操作環節，將抽象的代數文字表述轉換為學生可以實際觸摸的實物，可以有效地落實代數本質的感知。在學習“用字母表示數”時，組織課堂活動，在一個盒子內防止不同形狀的紙片，紙片上用字母的形式給出了形狀參數，比如，在其中三角形紙片內寫著底邊為a，高為h，長方形紙片上標有長為a，寬為b。學生依次抽取紙片，根據抽取的紙片形狀以及紙片上標有的形狀參數寫出對應的紙片面積大小。這一過程不僅需要學生掌握每種形狀的面積公式，同時需要學生實際運用代數方法對面積公式進行表述，比如對于三角形紙片學生應給出答案S=a×h÷2，長方形紙片則給出S=a×b。在游戲活動中，學生的積極性得到了充分的調動，在歡快的氛圍中迅速掌握了用字母表示數的數學本質。教師應結合符號代數的抽象特性靈活地開展動手活動，促使學生在實際操作中感受代數本質，實現算術運算到代數表示的轉變。

3.聯系生活，指導整體代入

方程是與實際生活應用聯系十分緊密的知識點，同時也是最直接地體現出代數思維在實際生活中應用方式的學習內容。因此，教師應有意識地在課堂教學中聯系生活實際問題，引領學生在生活情境下整體代入方程與代數知識，在應用過程中提升學生的代數思維能力。

結合實際生活問題，引領學生針對實際問題提煉出等量關系并通過設定未知數實現方程求解是培養學生代數思維能力的最直接方法。在學習“交易方程”時，引入生活問題“已知光在空氣中每秒可以傳播30萬千米，這個距離十分長，比地球赤道長度的7倍還大2萬千米，請計算地球的赤道長度？”對于這一問題，首先帶領學生明確題干中給出的等量關系為光速和赤道長度之間的數量關系，并且光速已經給出，此時設赤道長度為x，結合兩者之間的數量關系可以列出方程30=7x+2，解方程可得x=4，從而計算出地球的赤道長度為4萬千米。通過實際問題的引入，鼓勵學生通過分析題意明確等量關系進而將生活問題整體代入到數學方程求解的問題中可以迅速地實現實際問題的求解，同時完成APOS理論教學的最后應用建構環節，促進學生代數思維應用能力的提升。

綜上所述，小學數學教學中的代數思維培養不能局限于高年級階段的教材內容，應充分挖掘貫穿于不同階段的代數相關內容和“前方程”雛形，基于APOS理論將代數思維的培養劃分為三個主要階段，從代數內容的具體形式、具象形式以及抽象形式三個環節促進學生代數思維能力的培養提升。

【參考文獻】

[1]王倩.“數的運算”教學中學生數學思維能力的培養[J].教學與管理，2021（35）.

[2]潘修鑾.數學實驗教學中凸顯“思維可視化”的策略[J].教學與管理，2021（02）.