學懂悟透新高考精神，探究數學運算能力培養策略

黃偉杰

［摘? 要］ 數學運算既是數學教學傳統，同時在新高考背景下又蘊含著新的內涵，在當下的數學教學當中必須予以高度重視. 在新高考背景下，要想培養學生的數學運算能力，教師有必要學懂悟透新高考精神，知道新高考對于數學運算能力的培養來說意味著什么；同時也必須在日常的教學當中，通過具體的教學實踐，總結出一套行之有效的數學運算能力培養策略. 數學運算不只是數學運算法則的運用，其背后有著復雜的心理過程，數學運算實質上是學生運用數學語言表征內在思維的過程.

［關鍵詞］ 新高考精神；學懂悟透；數學運算能力

當高中數學開啟新高考模式后，越來越多的省份采用了新高考模式. 這種變化對于高中數學而言，意味著新的變化與挑戰. 作為高中數學教師，應當認識到這種變化是在核心素養的背景下發生的，通過各個學科教學來發展學生的核心素養，通過數學學科教學來發展學生的數學學科核心素養，讓學生經歷數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象以及數據分析的過程，以讓這些數學學科核心素養要素能夠順利落地，成為當前高中數學教學的主要任務之一.

對于這些數學學科核心素養的組成要素，教師有必要進行個體分析與整體分析. 就數學運算這一要素而言，筆者注意到這既是數學教學傳統，同時在新高考背景下又蘊含著新的內涵，因此在當下的數學教學中必須予以高度重視. 在新高考背景下，要想培養學生的數學運算能力，教師有必要學懂悟透新高考精神，知道新高考對于數學運算能力的培養來說意味著什么；同時也必須在日常教學當中，通過具體的教學實踐，總結出一套行之有效的數學運算能力培養策略.

就新高考精神而言，其實站在數學學科教學的角度來看，可以發現其核心就是通過題目優化，讓學生的數學運算有一個更加具體的情境，而在這樣的情境當中，學生的數學運算能力就可以得到很好的培養. 當然，并不是說學生經歷了數學運算過程，學生的數學運算能力就一定能夠得到培養，其原因在于如果不掌握良好的策略，如果不能強調學生在數學運算過程中的主體地位，那么學生所經歷的數學運算過程可能就只是一個低水平的重復過程，學生的數學運算能力也就無法得到可持續發展. 這自然不利于數學運算素養的落地，也不利于整個數學學科核心素養的培育. 基于這樣的思考，筆者認為可以采用比較研究的方法，對傳統的數學運算與新高考背景下的數學運算進行比較與辨析，從而形成準確的理解，并且探究得出有效的數學運算能力培養策略.

學生視角下的數學運算的理解及辨析

站在學生的角度去看傳統的數學運算，具有非常重要的現實意義. 這是因為當下的數學教學強調以學生為本，而數學運算能力說到底是學生自己的能力，只有站在學生的角度去看數學運算，才知道他們對數學運算以及對數學運算能力有著怎樣的理解與態度. 在日常數學學習中，遇到難題學生常常會說“這道題不會算”；做錯了題，則會說“題目算錯了”. 從線性邏輯的角度來看，如果能杜絕運算錯誤，那么許多學生的數學成績肯定會有很大的進步. 這是一個基本正確的判斷，之所以說是基本正確，是因為杜絕了運算錯誤后，確實可以提升學生的數學成績. 問題在于學生的運算錯誤有著各種各樣的原因，很多時候一些看似簡單的錯誤的背后，實際上蘊含著學生數學運算的缺陷. 所以筆者認為，認識高中生的數學運算能力，需要站在學生的角度去尋找制約學生數學運算能力提升的因素. 通過觀察研究與梳理，筆者得出兩點基本認識：

其一，數學運算不只是數學運算法則的運用，其背后有著復雜的心理過程.

其實不少教師都存在著這樣一種認識：數學運算就是利用數學運算法則，對可運算的對象進行加工. 應當說，這樣的理解只是對數學運算表面現象的認識，實際上真正的數學運算，是一個復雜的心理過程，在具體的題目當中，學生需要通過自己的主觀判斷，尋找出參與數學運算的對象，然后進一步尋找、選擇并確定數學運算法則；在借助數學運算法則進行運算的時候，學生還要通過認知乃至元認知判斷自己的數學運算過程，以確保數據運算過程與結果是正確的.

其二，數學運算實質上是學生運用數學語言表征內在思維的過程.

數學運算最終呈現出來的結果，是用數學語言來表達的. 無論是學生自己還是教師，又或者是其他的評價者，都是通過學生數學語言運用的結果來判斷其數學運算能力的. 從信息加工的角度來看，這里有一個信息加工與輸出的過程，需要學生用準確的數學語言來描述自己的數學運算思維，只有當這兩者形成完整的匹配關系時，數學運算的結果才能真正表征數學運算的過程. 舉一個例子：

當學生遇到這道題目時，首先反映這是比較兩個正切值大小的題目，于是在大腦當中就會調用與正切值相關的知識，并且還有比較正切值大小的方法——這是數學運算最核心的環節之一，這樣才能保證學生在第一時間內能夠下手去解決題目. 就本道題目而言，其實更多涉及正切函數的基本性質，也就是說學生必須知道，要將正切值轉化為正切函數，然后利用正切函數的單調性來解題，只有這樣才能完成一個準確的解題過程. 本題具體的運算過程如下：

通過上面的分析以及具體的例子可以發現，站在學生的角度，去理解數學運算過程中的思維運用，能夠比較準確地把握學生的數學運算心理. 而如果真正達成了這一目標，那么就可以在具體的實踐當中尋找出具有極強針對性的數學運算能力培養策略.

新高考引導下的數學運算能力培養策略

綜合上述分析，在繼承傳統數學運算能力良好教學方法的基礎上，立足對學生數學運算心理的把握，進而通過具體的教學實踐去探究數學運算能力培養策略，并且在此過程中貫穿新高考精神，就是數學運算能力培養策略的理論基礎. 而具體到教學實踐中，這一策略的理論基礎還可以演繹為具體的操作策略：教師研究學生的數學運算實際情況，結合新高考的要求尤其是數學運算的要求，精心選擇能夠培養學生數學運算能力的題目，然后讓學生獨立體驗數學運算過程，初步形成關于數學運算的認識；隨后通過合作學習、有意義的講授等方式，提升學生關于數學運算的認識，并且在后續訓練當中將這些認識進一步轉化成數學運算能力. 應當說，對于當下的高中生而言，這樣的數學運算能力培養策略既具有理論上的正確性，又具有實踐上的可行性，經得起理論與實踐的檢驗. 下面仍然通過一道題目的數學運算及教學，來闡述這一策略的價值.

例題2 在同一平面直角坐標系中，函數y=f（x）和y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱． 現將y=g（x）的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移1個單位，所得圖象是由兩條線段組成的折線（如圖1所示），則函數y=f（x）的表達式為（? ）

從數學運算能力培養的角度來看，這道題目對于學生來說，價值在于學生能夠認識到一道題目可以同時綜合哪些知識點，而這些知識點又可以進行哪些組合與運用，這些組合與運用又能夠從哪些角度提升自己的數學運算能力. 很顯然本題當中，兩個函數“關于直線y=x對稱”，蘊含著基本函數與圖象中心對稱的相關知識，這也就意味著學生解題時，必須調用這些知識參與數學運算. 與此同時，本題還涉及圖象平移，而圖象平移又對應著函數當中相關的量值發生變化，學生能否認識到這一點，也是提升數學運算能力的一個重要契機.

因此對于這類題目的數學運算，教師應當著力引導學生去思考并判斷. 比如學生獨立解題的時候，教師要觀察學生的解題過程，看看學生在數學運算的過程中有哪些可圈可點的地方，又有哪些值得注意的地方；在隨后組織學生進行合作學習以及點撥的時候，就要結合自己對這個環節的判斷，進而有針對性地進行指導.

筆者教學時觀察發現有些學生最初無法下手，很顯然出現這種問題的原因在于學生沒有尋找到正確的解題思路——本質上就是學生沒有尋找到正確的數學運算的知識，或者說不能夠將自己所儲備的知識與題目中的信息相結合. 那么幫助學生突破這一點的時候，就可以引導學生進一步閱讀題目中的信息，然后將自己認為有用的信息做個記號（從學習心理學的角度來看，實際上就是這些信息必須引起“注意”），同時再度審視自己認為不重要的信息（這是為了防止數學運算時，有用的信息不被注意）. 通常情況下學生有了這些自主努力以及自我提醒，在數學運算時就會更加顯著地自我認識——這是數學運算能力培養的核心，可以說只有當學生在數學運算的過程中有著強烈的、類似元認知的心理過程時，學生對數學運算的體驗才是深刻的，學生的數學運算能力培養也才是最有效的.

當然必須注意到的是，這個時候學生對數學運算的認識還是略顯粗糙的，教師應當在學生產生這一心理后精當點評與引導，使學生模糊的認識變得清晰，讓學生的思維更具邏輯性. 只有做到這一點，才能將數學運算“潛力”變成真正的數學運算“實力”.

比如例題2的教學，筆者引導時，就特別強調從題目中的平移進行突破——這里所說的強調就是面向學生的強調，要讓學生認識到這道題目之所以看起來具有一定的難度，是因為其中存在著“平移”這一動態變化. 注意到這一變化，就能把握數學運算的核心，所以筆者引導學生認識到，只要將圖象沿y軸向下平移1個單位，再沿x軸向右平移2個單位，就可以得到如圖2所示的圖象，

事實證明，通過上述點撥，很多學生都有恍然大悟之感，他們瞬間感覺到自己對這道題目通透理解，而當學生有了這一感覺后，就意味著他們的數學運算能力得到了切實有效的培養和提升.

基于學生核心素養的數學運算能力前瞻

運算能力是思維能力和運算技能的結合，是高考考查的重點. 在新高考的背景下，數學運算能力的培養，無疑是高中數學教學的重中之重. 教師認識到這一重要性的同時，能夠有一套行之有效的數學運算能力培養策略，顯然是最為迫在眉睫的事情. 根據筆者的實踐經驗，感覺其中最重要的就是在正確理解新高考模式下，在吃透新高考精神的前提下，確定正確的關于數學運算能力培養的方向.

要知道數學運算的培養，雖然是指向能力培養的，但如果忽視了對數學運算的理解，這種能力培養的方向與路徑都有可能發生錯誤. 筆者認為，新高考伴隨著數學學科核心素養，同時來到高中數學課堂上，本質上想通過日常的課堂教學，讓學生形成更好的數學學習體驗. 就拿數學運算來說，數學運算不是簡單的數值計算，數學運算能力的培養也不是重復解題就能實現的. 讓學生在數學運算的過程中，學會從整體角度把握有關的信息，學會新舊知識的有效結合，然后通過嚴密的邏輯推理，從已知信息走向等待解答的問題，并在此過程中形成冷靜思考、嚴密運算的意識與能力，這才是數學運算能力培養的落腳點.

筆者認為，學生是數學運算的主體，應當讓學生在數學運算的過程中充分表現，應當努力發現學生在運算過程中的閃光點，然后適當放大. 比如例題2的解決，就有學生想到可用特殊點來檢驗自己的判斷，實際上這就是關于數學運算的一個重要收獲. 類似于此的閃光點可以成為學生數學運算能力提升的臺階.