基于仿真實驗的板式換熱器動態特性模型

趙 晴, 王 威, 王 芃

(1.哈爾濱工業大學 建筑學院, 黑龍江 哈爾濱 150090; 2.寒地城鄉人居環境科學與技術工業和信息化部重點實驗室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

1 概述

板式換熱器數學模型的建模方法可分為理論建模、實驗建模,兩種建模方法可以互為補充[1]。理論建模方法是通過機理分析建立數學模型,首要條件是機理必須已經被人們充分掌握。王書中等人[2]、李珍[3]在考慮了流體沿流動方向的軸向擴散效應、相位滯后效應、流量非一致性的前提下建立了機理模型,利用數值模擬的方法得到了出水溫度響應曲線,但局限于對響應曲線的分析,沒有得到定量的結果。徐益峰等人[4]、Khan等人[5]從集總參數模型出發,對板式換熱器的動態特性進行了理論和實驗分析,提出了有純滯后的傳遞函數模型,但模型未考慮流量的不均勻分布和物性參數的變化。

實驗建模法中數學模型是利用測量數據構建的[6]。周宴平[7]、王美萍[8]采用時域實驗建模的方法,從實驗數據的分析和計算中得出換熱器各環節的傳遞函數,但受實驗條件所限,輸入量計算不準確,輸出量設為供回水平均溫度,因此得到的結果誤差比較大。Srihari等人[9-10]利用理論建模和實驗建模方法,研究了流道間流動不均對板式換熱器瞬態響應的影響。結果表明,在瞬態和穩態條件下瞬態特征,如初始延遲、時間常數、過渡過程時間嚴重依賴不均勻分布的程度。但出于簡化求解的考慮,文獻直接選擇了帶純滯后的一階系統傳遞函數,沒有與二階系統傳遞函數進行對比。

為準確獲得板式換熱器(簡稱換熱器,板片材質為不銹鋼)進水溫度、質量流量階躍變化對出水溫度的影響,本文建立一階系統、二階系統傳遞函數模型。以分布參數模型仿真結果作為真值,分析一階系統、二階系統傳遞函數計算結果的相對誤差,尋找具有較高計算準確性且建模、仿真效率更高的傳遞函數模型。

2 分布參數模型

分布參數模型依據控制容積法將換熱器劃分為多個微元,對每個微元建立控制方程。分布參數模型雖然建模過程復雜、計算量大,但具有較高精度。

2.1 設定條件

① 忽略換熱器向環境散熱,忽略流體與密封片、墊圈換熱,考慮首端、尾端板片僅與相鄰流道內流體換熱。

② 忽略板片寬度方向的導熱。與對流傳熱相比,沿板片長度方向導熱的階數要低得多[11],因此也忽略沿板片長度方向的導熱。

③ 流體(水)的物性參數按可變參數[12]考慮,避免常物性參數帶來的較大仿真誤差[13]。

④ 忽略換熱器內壓降對傳熱的影響。

⑤ 在能量方程中引入導熱擴散項來描述流道中流量的不均勻分布。

⑥ 相同時間、同一流道內各處流體流速、平均傳熱系數相等。

以單流程逆流換熱器作為建模對象(見圖1)。將板片、流道連續編號:板片編號為1,3,…,2N+1,流道編號為2,4,…,2N。以第1條流道的流體流動方向為x軸正方向,流道編號遞增的方向為y軸正方向。在x軸正方向上,將流道內流體及板片均分成M段微元。對于上下貫穿各板片的冷熱流體分配管、匯集管所在行分別記為j=0、j=M+1。N、M均為正整數。圖中L為板片長度。

2.2 數學模型

① 數學模型

各流道內流體微元質量控制方程為:

式中ρ——流體密度,kg/m3

v——y軸方向流速,m/s

y——y軸坐標,m

各流道內流體微元能量控制方程為:

式中θ——流體溫度,℃

t——時間,s

div——散度算子

u——x軸方向流速,m/s

λ——水的熱導率,W/(m·K)

cp——水的比定壓熱容,J/(kg·K)

grad——梯度

S——流體黏性耗散項

板片微元能量控制方程為:

式中ρw——板片密度,kg/m3

θw——板片溫度,℃

h——板片表面傳熱系數,W/(m2·K)

cw——板片比熱容,J/(kg·K)

本文采用有限差分法求解上述微分方程組,將溫度關于空間的一階導數向后差分,二階導數中心差分,溫度關于時間的導數采用隱式差分格式的向后差分。隱式差分格式中截斷誤差為o(Δt),當時間步長Δt趨近0時,截斷誤差o(Δt)趨近0,隱式差分方程與微分方程相容[14]。隱式離散格式無條件穩定[15],而相容離散格式的穩定性與收斂性等價[16],因此本文中的隱式差分方程無條件收斂。將微分方程組轉化為各迭代時間內的差分方程組,采用高斯-賽德爾方法求解[14]。利用MATLAB軟件編程,實現數值模擬功能。

② 初始條件和邊界條件

初始條件:各流道流體及板片溫度均等于二級側進水溫度。

沿y軸方向,首端、尾端板片外表面為絕熱邊界條件。一級側流體邊界條件為:x=0處一級側進水溫度恒定,x=L處為絕熱邊界條件。二級側流體邊界條件:x=0處為絕熱邊界條件,x=L處二級側進水溫度恒定。

2.3 分布參數模型驗證

采用文獻[17]中的實驗換熱器作為模型驗證的參照對象。初始時刻一、二級側進水溫度分別為10、9 ℃,質量流量分別為0.038、0.035 kg/s。當一級側進水溫度由10 ℃階躍至56 ℃時,一二級側出水溫度分布參數模型仿真結果與實驗結果隨時間的變化見圖2。與實驗結果相比,一、二級側出水溫度分布參數模型仿真結果的平均相對誤差分別為5.3%、4.1%。因此,可認為分布參數模型的仿真結果可信。

圖2 一級側進水溫度由10 ℃階躍至56 ℃時一二級側出水溫度分布參數模型仿真結果與實驗結果隨時間的變化

2.4 換熱器結構參數與流體參數

換熱器結構參數見表1。換熱器一二級側均為單流程,每個流程內的流道數均為16個。

表1 換熱器結構參數

換熱器準則關聯式為:

Nu=0.101 4Re0.792 8Prβ

Eu1=1 398Re-0.212 7

Eu2=933Re-0.168 9

式中Nu——流體努塞爾數

Re——流體雷諾數

Pr——流體普朗特數

β——指數,計算一級側流體時取0.3,計算二級側流體時取0.4

Eu1、Eu2——一、二級側流體歐拉數

2.5 微元數與時間步長

根據多組微元數M、時間步長Δt的仿真結果,當微元數M為30、時間步長Δt為0.1 s時的精度和計算時間均在可接受范圍。因此,微元數M取30,時間步長Δt取0.1 s。

3 基于傳遞函數的動態系統實驗法建模

3.1 換熱器輸入與輸出關系

圖2反映了換熱器一級側進水溫度的階躍變化對一、二級側出水溫度的影響,即以一級側進水溫度為輸入量、一級側出水溫度為輸出量,以及一級側進水溫度為輸入量、二級側出水溫度為輸出量的2個SISO系統(將關聯了一二級側多參數的換熱器分解為多個單輸入單輸出的系統,稱為SISO系統)。若分別以換熱器一二級側進水溫度、質量流量為輸入量,一二級側出水溫度為輸出量,則可以排列組合出8個SISO系統,分別描述換熱器兩兩物理量間的關系。

經典控制理論是以傳遞函數為數學模型,研究SISO系統動態特性的理論方法。本文采用傳遞函數模型來描述換熱器的8個SISO系統。傳遞函數可以通過實驗法建模求解,其中階躍輸入得到的響應曲線動態特征明顯,是實驗法建模的首選輸入信號。由階躍響應曲線(即階躍輸入得到的響應曲線)確定傳遞函數,先要根據曲線的形狀,選定傳遞函數的基本形式。根據階躍激勵-響應實驗結果,可選取一階或二階系統傳遞函數模型,并考慮將容量滯后按純滯后處理[18]。

3.2 傳遞函數模型

一階系統、二階系統傳遞函數模型建立方法見文獻[18]。

① 一階系統傳遞函數模型

具有純滯后的一階系統傳遞函數可表示為[18]:

式中G(s)——傳遞函數

s——復變量

K——增益

tp——時間常數,s

td——滯后時間,s

② 二階系統傳遞函數模型

具有純滯后的二階系統傳遞函數由兩個慣性環節與純滯后環節組成,表達式為[18]:

式中tp1、tp2——二階系統的特征參數,也是組成二階系統的各慣性環節的時間常數

當滯后時間為0時,一階系統、二階系統傳遞函數無純滯后環節。

4 階躍激勵-響應仿真實驗

利用換熱器分布參數模型開展一二級側進水溫度、質量流量的階躍激勵-響應仿真實驗,以獲得一二級側出水溫度的階躍響應曲線。

在輸入條件下(一級側進水溫度為110 ℃,質量流量為7.78 kg/s;二級側進水溫度60 ℃,質量流量12.48 kg/s),利用分布參數模型模擬非穩定狀態,當一、二級側出水溫度相鄰時間的相對誤差均小于10-6時,認為模型穩定。以分布參數模型非穩定狀態結束時各節點的溫度作為階躍激勵-響應實驗的初始條件,輸入量(一、二級側進水溫度、質量流量)階躍變化率分別設為±10%、±15%。

可以定性地將響應曲線分為3個階段:滯后段:輸出量未發生明顯變化,持續時間稱為滯后時間。過渡段:輸出量顯著變化,達到穩定(響應曲線值與穩態輸出值的相對誤差絕對值為5%)前的階段,持續時間稱為過渡時間。穩定段:響應曲線值與穩態輸出值的相對誤差絕對值小于5%。

一級側進水溫度、質量流量階躍變化率分別為±10%、±15%時,一、二級側出水溫度的階躍響應曲線分別見圖3、4。由于各響應曲線3個階段的分界點存在微小差異,因此圖中兩階段的分界點為各階躍響應曲線分界點變化范圍的中間值,以下相同。

圖3 一級側進水溫度階躍變化率分別為±10%、±15%時一、二級側出水溫度的階躍響應曲線

由圖3可知,在一級側進水溫度的階躍激勵下,二級側出水溫度響應無明顯滯后,而一級側出水溫度響應滯后時間約4.06 s。這說明換熱器的熱惰性主要體現在一級側出水溫度響應的滯后。一級側出水溫度的變化幅度明顯小于二級側出水溫度,達到穩定所需時間(滯后時間與過渡時間的和)也更長。對于二級側進水溫度的階躍激勵-響應仿真實驗,結論為:二級側出水溫度響應有明顯滯后,溫度變化幅度更小,達到穩定所需時間更長。

由圖4可知,在一級側質量流量的階躍激勵下,一級側出水溫度響應滯后時間約1.02 s,二級側出水溫度響應滯后時間約0.33 s。一二級側出水溫度響應滯后時間均比較短。二級側出水溫度的響應比一級側出水溫度快,說明二級側的出水溫度對質量流量的變化更敏感。一級側出水溫度的變化幅度小于二級側出水溫度,達到穩定所需時間也更長。對于二級側質量流量的階躍激勵-響應仿真實驗,結論為:二級側出水溫度的響應比一級側出水溫度快,一級側出水溫度的變化幅度小于二級側出水溫度,達到穩定所需的時間更長。

圖4 一級側質量流量階躍變化率分別為±10%、±15%時一、二級側出水溫度的階躍響應曲線

5 傳遞函數模型對比

在基于換熱器分布參數模型的仿真實驗中,針對每一對輸入量和輸出量構成的SISO系統,設計4個階躍激勵-響應仿真實驗,輸入量的階躍變化率分別為±10%、±15%,記錄各次仿真實驗結果。根據傳遞函數模型建立方法,求解各SISO系統傳遞函數。其中,時間常數、滯后時間、增益取4個仿真實驗結果的平均值。

5.1 SISO系統傳遞函數

① 以進水溫度為輸入量

以進水溫度為輸入量的SISO系統傳遞函數見表2。其中一級側進水溫度-二級側出水溫度、二級側進水溫度-一級側出水溫度在二階系統建模時,退化為一階系統。

表2 以進水溫度為輸入量的SISO系統傳遞函數

② 以質量流量為輸入量

以質量流量為輸入量的SISO系統傳遞函數見表3。其中一級側質量流量-二級側出水溫度、二級側質量流量-二級側出水溫度在二階系統建模時,退化為一階系統。

表3 以質量流量為輸入量的SISO系統傳遞函數

5.2 傳遞函數的驗證

以一級側質量流量-一級側出水溫度SISO系統為例,根據表3一階系統、二階系統傳遞函數分別計算一級側質量流量階躍變化率為±10%、±15%時一級側出水溫度的響應。以換熱器分布參數模型得到的仿真結果為真值,各時刻傳遞函數計算結果的相對誤差曲線見圖5、6。

圖5 一級側質量流量-一級側出水溫度SISO系統一階系統傳遞函數計算結果的相對誤差

圖6 一級側質量流量-一級側出水溫度SISO系統二階系統傳遞函數計算結果的相對誤差

由圖5、6可知,與分布參數模型仿真結果相比,一階系統、二階系統傳遞函數計算結果的相對誤差均在±0.3%范圍內,且結構簡單的一階系統傳遞函數計算結果的相對誤差與二階系統傳遞函數相當。

將既得一階系統、二階系統傳遞函數模型應用于輸入量階躍變化率為-25%的激勵-響應實驗,以分布參數模型仿真結果為真值,對比傳遞函數計算結果與分布參數模型仿真結果。輸入量階躍變化率為-25%時,一階系統、二階系統傳遞函數計算結果的最大、平均相對誤差絕對值分別見表4、5。

表4 輸入量階躍變化率為-25%時一階傳遞函數計算結果的最大、平均相對誤差絕對值

表5 輸入量階躍變化率為-25%時二階傳遞函數計算結果的最大、平均相對誤差絕對值

由表4、5可知,與分布參數模型仿真結果相比,在響應過程的過渡段和穩定段,一階系統、二階系統傳遞函數的計算結果平均相對誤差絕對值均小于3%。輸入量、輸出量相同條件下,一階系統傳遞函數計算結果的最大誤差絕對值小于等于二階系統傳遞函數。因此,在換熱器動態特性建模中,宜選擇建模、仿真效率更高的一階系統傳遞函數。

6 結論

① 與分布參數模型仿真結果相比,一階系統、二階系統傳遞函數計算結果的相對誤差均在±0.3%范圍內,兩種傳遞函數計算結果的相對誤差相當。

② 在換熱器動態特性研究中,宜選擇一階系統傳遞函數。