非平坦宇宙中相互作用的鬼場(chǎng)暗能量模型①

袁通全， 張德維

1.河池學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，廣西 河池 546300；2.馬來西亞英迪國際大學(xué) 工程學(xué)系，尼萊 71800，馬來西亞

1 鬼場(chǎng)暗能量模型

2 相互作用鬼場(chǎng)暗能量模型

相互作用鬼場(chǎng)暗能量模型假定冷暗物質(zhì)和暗能量之間存在非引力相互作用.而且, 假定暗能量來自鬼場(chǎng)的貢獻(xiàn).由于WMAP 5年的數(shù)據(jù)[56]在95%的置信度水平下約束現(xiàn)有宇宙的曲率為-0.017 5<Ωk<0.008 5, 并且鬼場(chǎng)暗能量是宇宙物質(zhì)的一部分, 所以將平坦宇宙推廣到非平坦宇宙.描述4維均勻各向同性宇宙的線元, 被稱為FLRW時(shí)空, 可寫成[57]:

(1)

其中:a(t)是以宇宙時(shí)t為自變量的尺度因子, 而K=-1, 0, 1分別對(duì)應(yīng)于開放的、平坦的和閉合的宇宙.宇宙動(dòng)力學(xué)是通過解愛因斯坦場(chǎng)方程:

Gμν=8πGTμν

(2)

來得到的.對(duì)于度規(guī)(1), 愛因斯坦場(chǎng)方程的(00)分量給出[57]:

(3)

(4)

用無量綱能量密度表示, Friedman方程(3)變成:

Ωm+ΩD+Ωk=1

(5)

零壓強(qiáng)冷暗物質(zhì)和暗能量守恒方程分別被假定為:

(6)

和

(7)

(對(duì)應(yīng)于引入Q項(xiàng)后能量動(dòng)量張量Tμν的每個(gè)分量守恒), 其中ωD=PD/ρD是暗能量壓強(qiáng)與其密度的比值, 即暗能量狀態(tài)方程參量,Q(ρm,ρD)表示可以取不同形式的非引力相互作用項(xiàng).本研究將非引力相互作用函數(shù)設(shè)為Q=3Hδρm,δ為相互作用因子.值得注意的是, 連續(xù)性方程意味著非引力相互作用函數(shù)應(yīng)該是一個(gè)以時(shí)間倒數(shù)為單位的量(第一個(gè)自然選擇可以是哈勃因子)乘以能量密度.因此, 非引力相互作用項(xiàng)可以取不同的形式, 例如文獻(xiàn)[45,48]考慮了Q∝H(ρm+ρD), 選擇Q的形式是最簡單的, 物理意義更清晰.從等式(6)可以得出ρm=ρm0a-3(1-δ).為了使冷暗物質(zhì)的密度隨著a的增加而降低, 相互作用因子δ必須小于1.然而, 觀測(cè)到暗能量狀態(tài)方程參量的當(dāng)前值ωD0仍然對(duì)相互作用因子δ有更嚴(yán)格的限制.利用(4)式中無量綱的能量密度,(6)式變?yōu)?

(8)

同時(shí)(7)式變成:

(9)

由(5)、(8)和(9)式可得:

(10)

(11)

從而暗能量狀態(tài)方程和無量綱暗能量密度分別為:

(12)

和

其中已經(jīng)令a=a0=1時(shí),H=H0,ΩD=ΩD0.由(3)式可得:

(13)

應(yīng)該注意的是, 與(13)式一起還有另一個(gè)解是E(a= 1)=0, 對(duì)應(yīng)于最后縮小的宇宙, 被省略了.因此:

ΩD=ΩD0E-1,Ωm=Ωm0E-2a-3(1-δ),Ωk=Ωk0a-2E-2

(14)

這些能量密度是解析形式的.圖1顯示了無量綱能量密度隨宇宙尺度因子a的變化, 圖2顯示了無量綱能量密度隨相互作用因子δ的變化, 其中取Ωm0=0.26,ΩD0=0.73和Ωk0=0.01.圖1中相互作用因子δ=0的線對(duì)應(yīng)于冷暗物質(zhì)與暗能量間不存在相互作用的情況.圖像顯示, 隨著宇宙尺度因子a的增加, 在沒有非引力相互作用的情況下, 冷暗物質(zhì)的無量綱能量密度從初始最大值逐漸減小, 而無量綱暗能量密度由于鬼場(chǎng)的貢獻(xiàn)而從最小值逐漸增加.非引力相互作用的出現(xiàn), 使得冷暗物質(zhì)的能量密度立即降低, 即轉(zhuǎn)化為暗能量.這是因?yàn)棣谼0的天文觀測(cè)值要求相互作用因子δ為正, 導(dǎo)致非引力函數(shù)Q為正值.與文獻(xiàn)[58]不同, 其中Q=3Hδ(1+ωD)ρD, 對(duì)于ωD>-1的情況, 能量從冷暗物質(zhì)到暗能量流動(dòng), 而對(duì)于ωD<-1, 能量流動(dòng)方向相反.當(dāng)宇宙尺度因子在圖2中的4種情況下恒定時(shí), 暗能量和冷暗物質(zhì)之間的非引力相互作用使Ωm減少,ΩD增加, 即零壓強(qiáng)冷暗物質(zhì)轉(zhuǎn)化為暗能量.如果當(dāng)前的無量綱曲率Ωk0接近0.01(K=-1), 則宇宙是開放的.從方程可以看出, 無量綱曲率密度隨宇宙尺度因子的增大而逐漸減小.在95%置信水平下, 來自WMAP 5年數(shù)據(jù)和其他觀測(cè)數(shù)據(jù)的暗能量狀態(tài)方程的邊界為-1.29<ωD0<-0.790[56].從(12)式可以看出,ωD0和相互作用因子δ之間存在簡單的反線性關(guān)系.狀態(tài)方程的現(xiàn)值ωD0限制了δ∈(0.004 8, 0.894)的范圍.不同δ值的狀態(tài)方程的演變見圖3.相互作用因子δ=0.378的線對(duì)應(yīng)于狀態(tài)方程ωD0=-1.相互作用因子δ=0,Ωk0=0時(shí)的ωD0=-0.784以及相互作用因子δ=0,Ωk0=0.01時(shí)ωD0=-0.787, 兩個(gè)ωD0的值顯然都超出了其觀測(cè)的取值范圍.因此, 可以得出結(jié)論, 宇宙是平坦的, 暗能量和冷暗物質(zhì)之間的相互作用不存在, 這可能是不允許的.當(dāng)然, 由于觀測(cè)到的Ωk0∈(-0.017 5, 0.008 1)非常小, 可以認(rèn)為宇宙是近似平坦的, 但暗能量和冷暗物質(zhì)之間必須存在相互作用, 因此將Ωk0的值取為0.01.

圖1 無量綱能量密度隨宇宙尺度因子a的變化

圖2 無量綱能量密度隨相互作用因子δ的變化

圖3 暗能量狀態(tài)方程隨宇宙尺度因子a的變化

還可以計(jì)算宇宙減速參數(shù), 其定義為:

(15)

把(11)式代入(15)式后, 可得:

(16)

能量密度Ωm,ΩD和ΩK的表達(dá)式已在(14)式給出.相對(duì)于宇宙尺度因子的宇宙減速參數(shù)見圖4.可以在圖4中看到, 減速參數(shù)q0(a=1)∈[-0.91,-0.38]的所有值均為負(fù)值, 這與宇宙加速膨脹的天文觀測(cè)結(jié)果一致.本研究的結(jié)果與參考文獻(xiàn)[59]一致, 其中q0=-0.48±0.1來自192顆超新星的樣品數(shù)據(jù)值,q0=-0.65±0.5來自射電星系數(shù)據(jù)值.此外, 還看到宇宙減速參數(shù)與相互作用因子δ有關(guān).相互作用越強(qiáng), 減速參數(shù)越負(fù), 宇宙加速膨脹越快.

圖4 宇宙減速參數(shù)隨宇宙尺度因子a的變化

3 結(jié)論

本研究求解了相互作用的鬼場(chǎng)暗能量模型, 其中在總能量密度守恒的條件下, 可以引入冷暗物質(zhì)和暗能量之間的非引力相互作用函數(shù).該模型的優(yōu)點(diǎn)是可以解析地給出無量綱能量密度、狀態(tài)方程參數(shù)和宇宙減速因子.在原始的相互作用暗能量模型中, 非引力相互作用函數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的, 能量轉(zhuǎn)換可以是從冷暗物質(zhì)到暗能量, 也可以是逆流.研究發(fā)現(xiàn), 在本文給出的模型中, 冷暗物質(zhì)與暗能量之間的非引力相互作用函數(shù)更傾向于正值, 這導(dǎo)致能量從冷暗物質(zhì)轉(zhuǎn)移到暗能量.相互作用因子的值是以暗能量的當(dāng)前方程狀態(tài)為界來選擇的, 并且由相互作用因子值給出的減速因子的當(dāng)前值與觀測(cè)值非常一致.